函數(shù)的單調(diào)性（教案）一

一、三維目標(biāo) （一）、知識(shí)與技能 1、理解函數(shù)單調(diào)性的概念，會(huì)根據(jù)函數(shù)的圖像判斷函數(shù)的單調(diào)性； 2、能夠根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在某一區(qū)間上的單調(diào)性。 （二）、過(guò)程與方法 1、培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)概念進(jìn)行概括的能力； 2、通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的探究，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力和語(yǔ)言表達(dá)能力；通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的證明，提高學(xué)生的推理論證能力。 （三）情感態(tài)度與價(jià)值觀 1、通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)，啟發(fā)學(xué)生養(yǎng)成細(xì)心觀察，認(rèn)真分析，嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好習(xí)慣； 2、通過(guò)問(wèn)題鏈的引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，學(xué)生通過(guò)積極參與教學(xué)活動(dòng)，獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，簡(jiǎn)歷學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。 二、教學(xué)重點(diǎn) 領(lǐng)會(huì)函數(shù)單調(diào)性的實(shí)質(zhì)，明確單調(diào)性是一個(gè)局部概念。 三、教學(xué)難點(diǎn) 利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明具體函數(shù)的單調(diào)性。 四、教學(xué)過(guò)程 （一）創(chuàng)設(shè)情景，引入新課 師：同學(xué)們，在初中的時(shí)候我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了函數(shù)圖像的一些基本畫法，而且我們也知道，函數(shù)的圖像在一定的程度上能夠反映一個(gè)函數(shù)的基本性質(zhì)。那么現(xiàn)在就讓我們通過(guò)函數(shù)的圖像來(lái)進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)。請(qǐng)同學(xué)們觀察下面兩組在相應(yīng)區(qū)間上的函數(shù)圖像，然后指出這兩組圖像有什么區(qū)別？ （多媒體顯示下面兩組圖像） 第一組： 第二組：   （請(qǐng)一位同學(xué)回答：從第一組函數(shù)的圖像可以看到，圖像從左到右是上升的；第二組函數(shù)圖像，從左到右是下降的。 師總結(jié)：對(duì)，這位同學(xué)回答得很好。在第一組圖像中，我們可以看到，在給定的區(qū)間上圖像呈上升趨勢(shì)；在第二組圖像中，在給定區(qū)間上呈下降趨勢(shì)。函數(shù)圖像的“上升”“下降”反映了函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)——單調(diào)性。那么如何描述函數(shù)的“上升”“下降”呢？ （請(qǐng)一位同學(xué)回答。也許學(xué)生回答得不全，老師可適當(dāng)提示和引導(dǎo)，以 為例。） 生：函數(shù) 的圖像在區(qū)間 上“上升”，也就說(shuō)當(dāng) 在區(qū)間 上取值時(shí)，隨著 的增大，相應(yīng)的 值也增大；函數(shù) 的圖像在區(qū)間 上“下降”，也就是說(shuō)當(dāng) 在區(qū)間 上取值時(shí)，相應(yīng)的 值反而減小。 師：對(duì)，這正是兩組函數(shù)的主要區(qū)別．當(dāng)x變大時(shí)，第一組函數(shù)的函數(shù)值都變大，而第二組函數(shù)的函數(shù)值都變�。�雖然在每一組函數(shù)中，函數(shù)值變大或變小的方式并不相同，但每一組函數(shù)卻具有一種共同的性質(zhì)．我們?cè)趯W(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)以及冪函數(shù)時(shí)，就曾經(jīng)根據(jù)函數(shù)的圖象研究過(guò)函數(shù)的函數(shù)值隨自變量的變大而變大或變小的性質(zhì)．而這些研究結(jié)論是直觀地由圖象得到的．在函數(shù)的集合中，有很多函數(shù)具有這種性質(zhì)，因此我們有必要對(duì)函數(shù)這種性質(zhì)作更進(jìn)一步的一般性的討論和研究，這就是我們今天這一節(jié)課的內(nèi)容． （點(diǎn)明本節(jié)課的內(nèi)容，既是曾經(jīng)有所認(rèn)識(shí)的，又是新的知識(shí)，引起學(xué)生的注意．） （二）新課講解 師：請(qǐng)同學(xué)們打開課本第33頁(yè)，大家一起把增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間的定義朗讀一遍． （學(xué)生朗讀．） 師：通過(guò)剛才閱讀增函數(shù)和減函數(shù)的定義，請(qǐng)同學(xué)們思考一個(gè)問(wèn)題：這種定義方法和我們剛才所討論的函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大或減小是否一致？如果一致，定義中是怎樣描述的？ 生：我認(rèn)為是一致的．定義中的“當(dāng) 時(shí)，都有 ”描述了y隨x的增大而增大；“當(dāng) 時(shí)，都有 ”描述了y隨x的增大而減少． 師：說(shuō)得非常正確．定義中用了兩個(gè)簡(jiǎn)單的不等關(guān)系“ ”和“ 或 ”，它刻劃了函數(shù)的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的性質(zhì)．這就是數(shù)學(xué)的魅力！ （通過(guò)教師的情緒感染學(xué)生，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．） 師：現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們和我一起來(lái)看剛才的兩組圖中的第一個(gè)函數(shù) 和 的圖象，體會(huì)這種魅力．   （指圖說(shuō)明．） 師：圖中 對(duì)于區(qū)間[a，b]上的任意 ， ，當(dāng) 時(shí)，都有 ，因此 在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)遞增的，區(qū)間[a，b]是函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間；而圖中 對(duì)于區(qū)間[a，b]上的任意 ， ，當(dāng) 時(shí)，都有 ，因此 在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)遞減的，區(qū)間[a，b]是函數(shù) 的單調(diào)減區(qū)間． （教師指圖說(shuō)明分析定義，使學(xué)生把函數(shù)單調(diào)性的定義與直觀圖象結(jié)合起來(lái)，使新舊知識(shí)融為一體，加深對(duì)概念的理解．滲透數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想方法．） 師：因此我們可以說(shuō)，增函數(shù)就其本質(zhì)而言是在相應(yīng)區(qū)間上較大的自變量對(duì)應(yīng)…… （不把話說(shuō)完，指一名學(xué)生接著說(shuō)完，讓學(xué)生的思維始終跟著老師．） 生：較大的函數(shù)值的函數(shù)． 師：那么減函數(shù)呢？ 生：減函數(shù)就其本質(zhì)而言是在相應(yīng)區(qū)間上較大的自變量對(duì)應(yīng)較小的函數(shù)值的函數(shù)． （學(xué)生可能回答得不完整，教師應(yīng)指導(dǎo)他說(shuō)完整．） 師：好．我們剛剛以增函數(shù)和減函數(shù)的定義作了初步的分析，通過(guò)閱讀和分析你認(rèn)為在定義中我們應(yīng)該抓住哪些關(guān)鍵詞語(yǔ)，才能更透徹地認(rèn)識(shí)定義？ （學(xué)生思索．） 學(xué)生在高中階段以至在以后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)遇到一些概念（或定義），能否抓住定義中的關(guān)鍵詞語(yǔ)，是能否正確地、深入地理解和掌握概念的重要條件，更是學(xué)好數(shù)學(xué)及其他各學(xué)科的重要一環(huán)．因此教師應(yīng)該教會(huì)學(xué)生如何深入理解一個(gè)概念，以培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題，認(rèn)識(shí)問(wèn)題的能力． （教師在學(xué)生思索過(guò)程中，再一次有感情地朗讀定義，并注意在關(guān)鍵詞語(yǔ)處適當(dāng)加重語(yǔ)氣．在學(xué)生感到無(wú)從下手時(shí)，給以適當(dāng)?shù)奶崾荆��?生：我認(rèn)為在定義中，有一個(gè)詞“給定區(qū)間”是定義中的關(guān)鍵詞語(yǔ)． 師：很好，我們?cè)趯W(xué)習(xí)任何一個(gè)概念的時(shí)候，都要善于抓住定義中的關(guān)鍵詞語(yǔ)，在學(xué)習(xí)幾個(gè)相近的概念時(shí)還要注意區(qū)別它們之間的不同．增函數(shù)和減函數(shù)都是對(duì)相應(yīng)的區(qū)間而言的，離開了相應(yīng)的區(qū)間就根本談不上函數(shù)的增減性．請(qǐng)大家思考一個(gè)問(wèn)題，我們能否說(shuō)一個(gè)函數(shù)在x=5時(shí)是遞增或遞減的？為什么？ 生：不能．因?yàn)榇藭r(shí)函數(shù)值是一個(gè)數(shù)． 師：對(duì)．函數(shù)在某一點(diǎn)，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)（注意這四個(gè)字“唯一確定”），因而沒(méi)有增減的變化．那么，我們能不能脫離區(qū)間泛泛談?wù)撃骋粋�(gè)函數(shù)是增函數(shù)或是減函數(shù)呢？你能否舉一個(gè)我們學(xué)過(guò)的例子？ 生：不能．比如二次函數(shù) ，在y軸左側(cè)它是減函數(shù)，在y軸右側(cè)它是增函數(shù)．因而我們不能說(shuō) 是增函數(shù)或是減函數(shù)． （在學(xué)生回答問(wèn)題時(shí)，教師板演函數(shù) 的圖像，從“形”上感知．） 師：好．他（她）舉了一個(gè)例子來(lái)幫助我們理解定義中的詞語(yǔ)“給定區(qū)間”．這說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，但這不排斥有些函數(shù)在其定義域內(nèi)都是增函數(shù)或減函數(shù)．因此，今后我們?cè)谡務(wù)摵瘮?shù)的增減性時(shí)必須指明相應(yīng)的區(qū)間． 師：還有沒(méi)有其他的關(guān)鍵詞語(yǔ)？ 生：還有定義中的“屬于這個(gè)區(qū)間的任意兩個(gè)”和“都有”也是關(guān)鍵詞語(yǔ)． 師：你答的很對(duì)．能解釋一下為什么嗎？ （學(xué)生不一定能答全，教師應(yīng)給予必要的提示．） 師：“屬于”是什么意思？ 生：就是說(shuō)兩個(gè)自變量 ， 必須取自給定的區(qū)間，不能從其他區(qū)間上�。� 師：如果是閉區(qū)間的話，能否取自區(qū)間端點(diǎn)？ 生：可以． 師：那么“任意”和“都有”又如何理解？ 生：“任意”就是指不能取特定的值來(lái)判斷函數(shù)的增減性，而“都有”則是說(shuō)只要 ， 就必須都小于 ，或 都大于 ． 師：能不能構(gòu)造一個(gè)反例來(lái)說(shuō)明“任意”呢？ （讓學(xué)生思考片刻．） 生：可以構(gòu)造一個(gè)反例．考察函數(shù) ，在區(qū)間[-2，2]上，如果取兩個(gè)特定的值 ， ，顯然 ，而 ， ，有 ，若由此判定 是[-2，2]上的減函數(shù)，那就錯(cuò)了． 師：那么如何來(lái)說(shuō)明“都有”呢？ 生： 在[-2，2]上，當(dāng) ， 時(shí)，有 ；當(dāng) ， 時(shí)，有 ，這時(shí)就不能說(shuō) ，在[-2，2]上是增函數(shù)或減函數(shù)． 師：好極了！通過(guò)分析定義和舉反例，我們知道要判斷函數(shù)y=f（x）在某個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)或減函數(shù)，不能由特定的兩個(gè)點(diǎn)的情況來(lái)判斷，而必須嚴(yán)格依照定義在給定區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)自變量 ， ，根據(jù)它們的函數(shù)值 和 的大小來(lái)判定函數(shù)的增減性． 師：反過(guò)來(lái)，如果我們已知f（x）在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么，我們就可以通過(guò)自變量的大小去判定函數(shù)值的大小，也可以由函數(shù)值的大小去判定自變量的大小．即一般成立則特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立．這恰是辯證法中一般和特殊的關(guān)系．

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