小學(xué)四年級(jí)奧數(shù)下冊(cè)教案：排列組合的綜合應(yīng)用

小學(xué)四年級(jí)奧數(shù)下冊(cè)教案：排列組合的綜合應(yīng)用 　　原文來(lái)源：小學(xué)奧數(shù)輔導(dǎo)網(wǎng) http://www.aoshufudao.com 　　排列組合是數(shù)學(xué)中風(fēng)格獨(dú)特的一部分內(nèi)容.它具有廣泛的實(shí)際應(yīng)用.例如：某城市電話號(hào)碼是由六位數(shù)字組成，每位可從0～9中任取一個(gè)，問該城市最多可有多少種不同的電話號(hào)碼?又如從20名運(yùn)動(dòng)員中挑選6人組成一個(gè)代表隊(duì)參加國(guó)際比賽.但運(yùn)動(dòng)員甲和乙兩人中至少有一人必須參加代表隊(duì)，問共有多少種選法?回答上述問題若不采用排列組合的方法，結(jié)論是難以想像的.(前一個(gè)問題，該城市最多可有1000000個(gè)不同電話號(hào)碼.后一個(gè)問題，代表隊(duì)有20196種不同選法.) 　　當(dāng)然排列組合的綜合應(yīng)用具有一定難度.突破難點(diǎn)的關(guān)鍵：首先必須準(zhǔn)確、透徹的理解加法原理、乘法原理;即排列組合的基石.其次注意兩點(diǎn)：①對(duì)問題的分析、考慮是否能歸納為排列、組合問題?若能，再判斷是屬于排列問題還是組合問題?②對(duì)題目所給的條件限制要作仔細(xì)推敲認(rèn)真分析.有時(shí)利用圖示法，可使問題簡(jiǎn)化便于正確理解與把握. 　　例1 從5幅國(guó)畫，3幅油畫，2幅水彩畫中選取兩幅不同類型的畫布置教室，問有幾種選法? 　　分析 首先考慮從國(guó)畫、油畫、水彩畫這三種畫中選取兩幅不同類型的畫有三種情況，即可分三類，自然考慮到加法原理.當(dāng)從國(guó)畫、油畫各選一幅有多少種選法時(shí)，利用的乘法原理.由此可知這是一道利用兩個(gè)原理的綜合題.關(guān)鍵是正確把握原理. 　　解： 符合要求的選法可分三類： 　　不妨設(shè)第一類為：國(guó)畫、油畫各一幅，可以想像成，第一步先在5張國(guó)畫中選1張，第二步再在3張油畫中選1張.由乘法原理有 5×3=15種選法.第二類為國(guó)畫、水彩畫各一幅，由乘法原理有 5×2=10種選法.第三類油畫、水彩各一幅，由乘法原理有3×2=6種選法.這三類是各自獨(dú)立發(fā)生互不相干進(jìn)行的. 　　因此，依加法原理，選取兩幅不同類型的畫布置教室的選法有 15+10+ 6=31種. 　　注 運(yùn)用兩個(gè)基本原理時(shí)要注意： 　�、僮プ�兩個(gè)基本原理的區(qū)別，千萬(wàn)不能混. 　　不同類的方法(其中每一個(gè)方法都能各自獨(dú)立地把事情從頭到尾做完)數(shù)之間做加法，可求得完成事情的不同方法總數(shù). 　　不同步的方法(全程分成幾個(gè)階段(步)，其中每一個(gè)方法都只能完成這件事的一個(gè)階段)數(shù)之間做乘法，可求得完成整個(gè)事情的不同方法總數(shù). 　�、谠谘芯客瓿梢患�工作的不同方法數(shù)時(shí)，要遵循“不重不漏”的原則.請(qǐng)看一些例：從若干件產(chǎn)品中抽出幾件產(chǎn)品來(lái)檢驗(yàn)，如果把抽出的產(chǎn)品中至多有2件次品的抽法僅僅分為兩類：第一類抽出的產(chǎn)品中有2件次品，第二類抽出的產(chǎn)品中有1件次品，那么這樣的分類顯然漏掉了抽出的產(chǎn)品中無(wú)次品的情況.又如：把能被2、被3、或被6整除的數(shù)分為三類：第一類為能被2整除的數(shù)，第二類為能被3整除的數(shù)，第三類為能被6整除的數(shù).這三類數(shù)互有重復(fù)部分. 　�、墼谶\(yùn)用乘法原理時(shí)，要注意當(dāng)每個(gè)步驟都做完時(shí)，這件事也必須完成，而且前面一個(gè)步驟中的每一種方法，對(duì)于下個(gè)步驟不同的方法來(lái)說(shuō)是一樣的. 　　例2 一學(xué)生把一個(gè)一元硬幣連續(xù)擲三次，試列出各種可能的排列. 　　分析 要不重不漏地寫出所有排列，利用樹形圖是一種直觀方法.為了方便，樹形圖常畫成倒掛形式解： 　　由此可知，排列共有如下八種： 　　正正正、正正反、正反正、正反反、 　　反正正、反正反、反反正、反反反. 　　例3 用0～9這十個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù). 　　分析 此題屬于有條件限制的排列問題，首先弄清楚限制條件表現(xiàn)為：①某位置上不能排某元素.②某元素只能排在某位置上.分析無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的千位、百位、十位、個(gè)位的限制條件：千位上不能排0，或說(shuō)千位上只能排1～9這九個(gè)數(shù)字中的一個(gè).而且其他位置上數(shù)碼都不相同，下面分別介紹三種解法. 　　解法1：分析 某位置上不能排某元素.分步完成：第一步選元素占據(jù)特殊位置，第二步選元素占據(jù)其余位置. 　　解： 分兩步完成： 　　第一步：從1～9這九個(gè)數(shù)中任選一個(gè)占據(jù)千位，有9種方法. 　　第二步：從余下的9個(gè)數(shù)(包括數(shù)字0)中任選3個(gè)占據(jù)百位、十位、個(gè)位，百位有9種.十位有8種，個(gè)位有7種方法. 　　由乘法原理，共有滿足條件的四位數(shù)9×9×8×7=4536個(gè). 　　答：可組成4536個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù). 　　解法2：分析 對(duì)于某元素只能占據(jù)某位置的排列可分步完成：第一步讓特殊元素先占位，第二步讓其余元素占位.在所給元素中0是有位置限制的特殊元素，在組成的四位數(shù)中，有一類根本無(wú)0元素，另一類含有0元素，而此時(shí)0元素只能占據(jù)百、十、個(gè)三個(gè)位置之一. 　　解： 組成的四位數(shù)分為兩類： 　　第一類：不含0的四位數(shù)有9×8×7×6=3024個(gè). 　　第二類：含0的四位數(shù)的組成分為兩步：第一步讓0占一個(gè)位有3種占法，(讓0占位只能在百、十、個(gè)位上，所以有3種)第二步讓其余9個(gè)數(shù)占位有9×8×7種占法.所以含0的四位數(shù)有3×9×8×7=1512個(gè). 　　∴由加法原理，共有滿足條件的四位數(shù) 　　3024+1512=4536個(gè). 　　解法3：從無(wú)條件限制的排列總數(shù)中減去不合要求的排列數(shù)(稱為排除法).此題中不合要求的排列即為0占據(jù)千位的排列. 　　解： 從0～9十個(gè)數(shù)中任取4個(gè)數(shù)的排列總數(shù)為10×9×8×7，其中0在千位的排列數(shù)有9×8×7個(gè)(0確定在千位，百、十、個(gè)只能從9個(gè)數(shù)中取不同的3個(gè)) 　　∴共有滿足條件的四位數(shù) 　　10×9×8×7-9×8×7 　　=9×8×7×(10-1) 　　=4536個(gè). 　　注 用解法3時(shí)要特別注意不合要求的排列有哪幾種?要做到不重不漏. 更多》》……  

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