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一元二次不等式的解法導(dǎo)學(xué)案
一元二次不等式解法中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法——《一元二次不等式的解法》導(dǎo)學(xué)案
邵麗云
內(nèi)容分析：
一元二次不等式的解法是在初中學(xué)習(xí)了一元一次不等式、一元一次不等式組后而學(xué)習(xí)的內(nèi)容。一元二次不等式的解法是研究函數(shù)的重要工具，是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考�？嫉膬�(nèi)容。一元二次不等式的解溝通了三個“二次”即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式的聯(lián)系，蘊(yùn)含諸多重要的數(shù)學(xué)思想方法，如數(shù)形結(jié)合，函數(shù)方程，分類討論，轉(zhuǎn)化化歸等重要的思想方法。本節(jié)主要是通過不等式的解法教學(xué)，讓學(xué)生了解、掌握一些重要的思想和方法
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1.經(jīng)歷探索一元二次不等式求解的推理過程，會解一元二次不等式。
2.找出一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。
3.體悟數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程、分類討論、轉(zhuǎn)化和化歸等數(shù)學(xué)思想與方法。
學(xué)習(xí)重點：
一元二次不等式的解法。
學(xué)習(xí)難點：
一元二次不等式的解法的分類討論。
學(xué)習(xí)關(guān)鍵：
找出一元二次方程、一元二次不等式和二次函數(shù)之間的關(guān)系。
學(xué)習(xí)過程：
環(huán)節(jié)1：設(shè)疑導(dǎo)思
設(shè)疑：當(dāng)x取什么值的時候，2x-7的值)等于0；大于0；小于0。
思考：可以用幾種方法求解上題？
提出問題：類比上述圖象解法，能否解決不等式x2-x-6＞0，x2-x-6＜0？
如何解決？
(學(xué)生獨立完成，一名學(xué)生板)
觀察黑板上圖象可得：當(dāng)x＜-2或x＞3時，x2-x-6＞0。
當(dāng)-2＜x＜3時，x2-x-6＜0。
【設(shè)計意圖：揭示一元二次函數(shù)和一元二次方程、一元二次不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系，滲透數(shù)學(xué)結(jié)合,函數(shù)方程思想方法�！�
環(huán)節(jié)2：探究方法
問題1：怎樣確定一元二次不等式ax2+bx+c＞0與ax2+bx+c＜0的解集？
組織討論：
思考方向：(1)確定一元二次不等式的解的關(guān)鍵是什么？
(2)有根的前提下，兩根之內(nèi)還是兩根之外由什么決定？
解題策略：使a值為正，求得兩根，“＞”則兩根之外；“＜”則兩根之內(nèi)。
【設(shè)計意圖：歸納方法，滲透由特殊到一般的思想方法�！�
從上例出發(fā)，結(jié)合學(xué)生的回答結(jié)果，歸納出一元二次不等式解法，
老師引導(dǎo)，學(xué)生總結(jié)：
�、賿佄锞�y=ax2+bx+c(a＞0)與x軸的相關(guān)位置，由二次方程ax2+bx+c=0根的判別式△=b2-4ac的情況確定，分△＞0、△=0、△＜0三種情況。
②a＜0可轉(zhuǎn)化為a＞0。
黑板顯示出：三個二次之間的關(guān)系 由學(xué)生填空.并歸納解一元二次不等式的步驟(學(xué)生總結(jié)，教師歸納補(bǔ)充)：
�、倩雾椣禂�(shù)a為正；
�、谇蟆�；
③解對應(yīng)的一元二次方程；
�、茏詈笄蠼獬鲆辉尾坏仁�。
環(huán)節(jié)3：運(yùn)用鞏固
[例1] 解下列不等式：
(1) x2＋8x＋15＞0 (2)－x2－3x＋4＞0 (3) 2x2－1＜x2＋4x－2
(4) －x2＋2x＞1 (5) x2＋2x＋3＞0 (6) x2－2x＋5＜0
解題反思：你覺得在解一元二次不等式過程中有哪些注意點？
【設(shè)計意圖：熟練掌握方法，注意數(shù)形結(jié)合，函數(shù)方程等思想方法的應(yīng)用�！�
環(huán)節(jié)4：深化拓展
問題2：能否寫出一個解集為(－2，1)的一元二次不等式？這樣的不等式有幾個？能給出一個一般的形式么？（學(xué)生交流討論）
[例2]若不等式2x2－ax＋b＞0的解集為(－∞，－1)∪(3，＋∞)，求a、b值。
【設(shè)計意圖：體悟轉(zhuǎn)化化歸思想，函數(shù)方程，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法�！�
問題3：會解含參數(shù)的不等式嗎？
[例3] 解關(guān)于x的不等式：(m2－4)x＜m＋2。
反思：(1) 引起討論的原因是什么？
(2) 如何進(jìn)行討論？
[例4] 解關(guān)于x的不等式：x2－(m＋2)x＋2m＜0。
反思：(1) 引起討論的原因是什么？
(2) 如何進(jìn)行討論？
[例5] 解關(guān)于x的不等式：mx2－(m＋1)x＋1＜0。
反思：(1) 引起討論的原因是什么？
(2)如何進(jìn)行討論？
第一層次：一次不等式還是二次不等式的不確定性，對m≠0與m＝0進(jìn)行討論。
第二層次：x2前系數(shù)正負(fù)(不等號方向)的不確定性，對m＜0與m＞0進(jìn)行討論。
第三層次： 與1大小的不確定性，對m＜1、m＞1與m＝1進(jìn)行討論。
[例6] k為何值時，關(guān)于x的一元二次不等式x2＋(k－1)x＋4＞0的解集為(－∞，∞)？
變式1：k為何值時，關(guān)于x的一元二次不等式(k＋1)x2－2x＋k＋1＞0的解集為(－∞，∞)？
變式2：k為何值時，關(guān)于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x＋2＞0的解集為
(－∞，∞)？
【設(shè)計意圖：加深對不等式解的理解，滲透分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想方法。】
環(huán)節(jié)5：總結(jié)提升
請從知識、思想方法等方面談?wù)勀愕氖斋@？
體悟數(shù)學(xué)思想 活用數(shù)學(xué)方法
一、在優(yōu)化內(nèi)容時注重數(shù)學(xué)思想方法的挖掘
�。ㄒ唬┟鞔_學(xué)習(xí)內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)，挖掘教材蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。
�。ǘ⿵摹胺椒ā绷私狻八枷搿保谩八枷搿敝笇�(dǎo)“方法”。
二、在課堂教學(xué)中注重數(shù)學(xué)思想方法的體悟
�。ㄒ唬┨剿鳌胺椒ā保形颉八枷搿�。
�。ǘ┬纬伞胺椒ā�，理解“思想”。
�。ㄈ┻\(yùn)用 “方法”，內(nèi)化“思想”。
�。ㄋ模┨釤挕胺椒ā保晟啤八枷搿�。
三、在學(xué)業(yè)評價中注重數(shù)學(xué)思想方法的考評
�。ㄒ唬┖瘮�(shù)方程思想方法
（二）數(shù)形結(jié)合思想方法
�。ㄈ┺D(zhuǎn)化化歸思想方法
�。ㄋ模┓诸愑懻撍枷敕椒�
（五）特殊與一般思想方法等
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