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平行四邊形教案

時(shí)間:2023-05-23 11:29:35 教案 我要投稿

精選平行四邊形教案3篇

  作為一名無私奉獻(xiàn)的老師,通常需要用到教案來輔助教學(xué),教案是備課向課堂教學(xué)轉(zhuǎn)化的關(guān)節(jié)點(diǎn)。優(yōu)秀的教案都具備一些什么特點(diǎn)呢?下面是小編幫大家整理的平行四邊形教案3篇,希望能夠幫助到大家。

精選平行四邊形教案3篇

平行四邊形教案 篇1

  一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

 。薄⒔(jīng)歷探索多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則的過程,發(fā)展有條理的思考及語言表達(dá)能力。

  2、 會進(jìn)行簡單的多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算

  二、學(xué)習(xí)過程

 。ㄒ唬┳詫W(xué)導(dǎo)航

  1、創(chuàng)設(shè)情境

  某地區(qū)在退耕還林期間,將一塊長m米、寬a米的長方形林區(qū)的長、寬分別增加n米和b米,用兩種方法表示這塊林區(qū)現(xiàn)在的面積。

  這塊林區(qū)現(xiàn)在的長為 米,寬為 米。因而面積為________米2。

  還可以把這塊林地分為四小塊,它們的面積分別為 米2, 米2,_______米2, 米2。故這塊地的面積為 。

  由于這兩個(gè)算式表示的都是同一塊地的面積,則有 =

  如果把(m+n)看作一個(gè)整體,你還能用別的方法得到這個(gè)等式嗎?

  2、概括:

  多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則:

  3、計(jì)算

 。1) (2)

  4、練一練

 。1)

 。ǘ┖献鞴リP(guān)

  1、某酒店的廚房進(jìn)行改造,在廚房的中間設(shè)計(jì)一個(gè)準(zhǔn)備臺,要求四面的過道寬都為x米,已知廚房的長寬分別為8米和5米,用代數(shù)式表示該廚房過道的總面積。

  2、解方程

 。ㄈ┻_(dá)標(biāo)訓(xùn)練

  1、填空題:

 。1) = =

  (2) = 。

  2、計(jì)算

 。1) (2)

 。3) (4)

 。ㄋ模┨嵘

  1、怎樣進(jìn)行多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算?

  2、若 的乘積中不含 和 項(xiàng),則a= b=

  應(yīng)用題

  第三十五講 應(yīng)用題

  在本講中將介紹各類應(yīng)用題的解法與技巧.

  當(dāng)今數(shù)學(xué)已經(jīng)滲入到整個(gè)社會的各個(gè)領(lǐng)域,因此,應(yīng)用數(shù)學(xué)去觀察、分析日常生活現(xiàn)象,去解決日常生活問題,成為各類數(shù)學(xué)競賽的一個(gè)熱點(diǎn).

  應(yīng)用性問題能引導(dǎo)學(xué)生關(guān)心生活、關(guān)心社會,使學(xué)生充分到數(shù)學(xué)與自然和人類社會的密切聯(lián)系,增強(qiáng)對數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心.

  解答應(yīng)用性問題,關(guān)鍵是要學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)知識去觀察、分析、概括所給的實(shí)際問題,揭示其數(shù)學(xué)本質(zhì),將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型.其求解程序如下:

  在初中范圍內(nèi)常見的數(shù)學(xué)模型有:數(shù)式模型、方程模型、不等式模型、函數(shù)模型、平面幾何模型、圖表模型等.

  例題求解

  一、用數(shù)式模型解決應(yīng)用題

  數(shù)與式是最基本的數(shù)學(xué)語言,由于它能夠有效、簡捷、準(zhǔn)確地揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì),富有通用性和啟發(fā)性,因而成為描述和表達(dá)數(shù)學(xué)問題的重要方法.

  【例1】(20xx年安徽中考題)某風(fēng)景區(qū)對5個(gè)旅游景點(diǎn)的門票價(jià)格進(jìn)行了調(diào)整,據(jù)統(tǒng)計(jì),調(diào)價(jià)前后各景點(diǎn)的游客人數(shù)基本不變。有關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示:

  景點(diǎn)ABCDE

  原價(jià)(元)1010152025

  現(xiàn)價(jià)(元)55152530

  平均日人數(shù)(千人)11232

 。1)該風(fēng)景區(qū)稱調(diào)整前后這5個(gè)景點(diǎn)門票的平均收費(fèi)不變,平均日總收入持平。問風(fēng)景區(qū)是怎樣計(jì)算的?

 。2)另一方面,游客認(rèn)為調(diào)整收費(fèi)后風(fēng)景區(qū)的平均日總收入相對于調(diào)價(jià)前,實(shí)際上增加了約9.4%。問游客是 怎樣計(jì)算的?

 。3)你認(rèn)為風(fēng)景區(qū)和游客哪一個(gè)的說法較能反映整體實(shí)際?

  思路點(diǎn)撥 (1)風(fēng)景區(qū)是這樣計(jì)算的:

  調(diào)整前的平均價(jià)格: ,設(shè)整后的平均價(jià)格:

  ∵調(diào)整前后的平均價(jià)格不變,平均日人數(shù)不變.

  ∴平均日總收入持平.

 。 2)游客是這樣計(jì)算的:

  原平均日總收入:10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160(千元)

  現(xiàn)平均日總收入:5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175(千元)

  ∴平均日總收入增加了

 。3)游客的說法較能反映整體實(shí)際.

  二、用方程模型解應(yīng)用題

  研究和解決生產(chǎn)實(shí)際和現(xiàn)實(shí)生恬中有關(guān)問題常常要用到方程<組)的知識,它可以幫助人們從數(shù)量關(guān)系和相等關(guān)系的角度去認(rèn)識和理解現(xiàn)實(shí)世界.

  【例2】 (重慶中考題)某中學(xué)新建了一棟4層的教學(xué)大樓,每層樓有8間教室,進(jìn)出這棟大樓共有4道門,其中兩道正門大小相同,兩道側(cè)門大小也相同.安全檢查中,對4道門進(jìn)行了測試:當(dāng)同時(shí)開啟一道正門和兩道側(cè)門時(shí),2min內(nèi)可以通過560名學(xué)生;當(dāng)同時(shí)開啟一道正門和一道側(cè)門時(shí),4mln內(nèi)可以通過800名學(xué)生.

  (1)求平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過多少名學(xué)生?

  (2)檢查中發(fā)現(xiàn),緊急情況時(shí)因?qū)W生擁擠,出門的效率降低20%.安全檢查規(guī)定:在緊急情況下全大樓的學(xué)生應(yīng)在5min內(nèi)通過這4道門安全撤離.假設(shè)這棟教學(xué)大樓每間教室最多有45名學(xué)生,問:建造的這4道門整否符合安全規(guī)定?請說明理由.

  思路點(diǎn)撥 列方程(組)的關(guān)鍵是找到題中等量關(guān)系:兩種測試中通過的學(xué)生數(shù)量.設(shè)未知數(shù)時(shí)一般問什么設(shè)什么.“符合安全規(guī)定”之義為最大通過量不小于學(xué)生總數(shù).

  (1)設(shè)平均每分鐘一道正門可以通過x名學(xué)生,一道側(cè)門可以通過y名學(xué)生,由題意得:

  ,解得:

  (2)這棟樓最多有學(xué)生4×8×4 5=1440(名).

  擁擠時(shí)5min4道門能通過.

  5×2(120+80)(1-20%)=1600(名),

  因1600>1440,故建造的4道門符合安全規(guī)定.

  三、用不等式模型解應(yīng)用題

  現(xiàn)實(shí)世界中的不等關(guān)系是普遍存在的,許多問題有時(shí)并不需要研究它們之間的相等關(guān)系,只需要確定某個(gè)量的變化范圍,即可對所研究的問題有比較清楚的認(rèn)識.

  【例3】 (蘇州中考題)我國東南沿海某地的風(fēng)力資源豐富,一年內(nèi)月平均的風(fēng)速不小于3m/s的時(shí)間共約160天,其中日平均風(fēng)速不小于6m/s的時(shí)間占60天.為了充分利用“風(fēng)能”這種“綠色資源”,該地?cái)M建一個(gè)小型風(fēng)力發(fā)電場,決定選用A、B兩種型號的風(fēng)力發(fā)電機(jī),根據(jù)產(chǎn)品說明,這兩種風(fēng)力發(fā)電機(jī)在各種風(fēng)速下的日發(fā)電量(即一天的發(fā)電量)如下表:一天的發(fā)電量)如下表:

  日平均風(fēng)速v(米/秒)v<33≤v<6v≥6

  日發(fā)電量 (千瓦?時(shí))A型發(fā)電機(jī)O≥36≥150

  B型發(fā)電機(jī)O≥24≥90

  根據(jù)上面的數(shù)據(jù)回答:

  (1)若這個(gè)發(fā)電場購x臺A型風(fēng)力發(fā)電機(jī),則預(yù)計(jì)這些A型風(fēng)力發(fā)電機(jī)一年的發(fā)電總量至少為 千瓦?時(shí);

  (2)已知A型風(fēng)力發(fā)電機(jī)每臺O.3萬元,B型風(fēng)力發(fā)電機(jī)每臺O.2萬元.該發(fā)電場擬購置風(fēng)力發(fā)電機(jī)共10臺,希望購機(jī)的費(fèi)用不超過2.6萬元,而建成的風(fēng)力發(fā)電場每年的發(fā)電總量不少于102000千瓦?時(shí),請你提供符合條件的購機(jī)方案.

  根據(jù)上面的數(shù)據(jù)回答:

  思路點(diǎn)撥 (1) (100×36+60×150)x=12600x;

  (2)設(shè)購A型發(fā)電機(jī)x臺,則購B型發(fā)電機(jī)(10—x)臺,

  解法一根據(jù)題意得:

  解得5≤x ≤6.

  故可購A型發(fā)電機(jī)5臺,B型發(fā)電機(jī)5臺;或購A型發(fā)電機(jī)6臺,B型發(fā)電視4臺.

  四、用函數(shù)知識解決的應(yīng)用題

  函數(shù)類應(yīng)用問題主要有以下兩種類型:(1)從實(shí)際問題出發(fā),引進(jìn)數(shù)學(xué)符號,建立函數(shù)關(guān)系;(2)由提供的基本模型和初始條件去確定函數(shù)關(guān)系式.

  【例4】 (揚(yáng)州)楊嫂在再就業(yè)中心的扶持下,創(chuàng)辦了“潤楊”報(bào)刊零售點(diǎn).對經(jīng)營的某種晚報(bào),楊嫂提供丁如下信息:

 、儋I進(jìn)每份0.20元,賣出每份0.30元;

  ②一個(gè)月內(nèi)(以30天計(jì)),有20天每天可以賣出200份,其余10天每天只能賣出120份;

 、垡粋(gè)月內(nèi),每天從報(bào)社買進(jìn)的報(bào)紙份數(shù)必須相同.當(dāng)天賣不掉的報(bào)紙,以每份0.10元退回給報(bào)社;

  (1)填表:

  一個(gè)月內(nèi)每天買進(jìn)該種晚報(bào)的份數(shù)100150

  當(dāng)月利潤(單位:元)

  (2)設(shè)每天從報(bào)社買進(jìn)該種晚報(bào)x份,120≤x≤200時(shí),月利潤為y元,試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式,并求月利潤的最大值.

  思路點(diǎn)撥(1)填表:

  一個(gè)月內(nèi)每天買進(jìn)該種晚報(bào)的份數(shù)100150

  當(dāng)月利潤(單位:元)300390

  (2)由題意可知,一個(gè)月內(nèi)的20天可獲利潤:

  20×=2x(元);其余10天可獲利潤:

  10=240—x(元);

  故y=x+240,(120≤x≤200), 當(dāng)x=200時(shí),月利潤y的最大值為440元.

  注 根據(jù)題意,正確列出函數(shù)關(guān)系式,是解決問題的關(guān)鍵,這里特別要注意自變量x的取值范圍.

  另外,初三還會提及統(tǒng)計(jì)型應(yīng)用題,幾何型應(yīng)用題.

  【例5】 (桂林市)某公司需在一月(31天)內(nèi)完成新建辦公樓的裝修工程.如果由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合做,12天可完成;如果由甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)做,甲隊(duì)比乙隊(duì)少用10天完成.

 。1)求甲、乙兩工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程所需的天數(shù).

  (2)如果請甲工程隊(duì)施工,公司每日需付費(fèi)用200 0元;如果請乙工程隊(duì)施工,公司每日需付費(fèi)用1400元.在規(guī)定時(shí)間內(nèi):A.請甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程;B.請乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工 程; C.請甲、乙兩隊(duì)合作完成此項(xiàng)工程.以上方案哪一種花錢最少?

  思路點(diǎn)撥 這是一道策略優(yōu)選問題.工程問題中:工作量=工作效率×工時(shí).

  (1)設(shè)乙工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需x天,根據(jù)題意得:

  , x=30合題意,

  所以,甲工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需用20天,乙隊(duì)需30天.

  (2)各種方案所需的費(fèi)用分別為:

  A.請甲隊(duì)需20xx×20=40000元;

  B.請乙隊(duì)需1400×30=4200元;

  C.請甲、乙兩隊(duì)合作需(20xx+1400)×12=40800元.

  所隊(duì)單獨(dú)請甲隊(duì)完成此項(xiàng)工程花錢最少.

  【例6】 (2全國聯(lián)賽初賽題)一支科學(xué)考察隊(duì)前往某條河流的.上游去考察一個(gè)生態(tài)區(qū),他們以每天17km的速度出發(fā),沿河岸向上游行進(jìn)若干天后到達(dá)目的地,然后在生態(tài)區(qū)考察了若干天,完成任務(wù)后以每天25km的速度返回,在出發(fā)后的第60天,考察隊(duì)行進(jìn)了24km后回到出發(fā)點(diǎn),試問:科學(xué)考察隊(duì)的生態(tài)區(qū)考察了多少天?

  思路點(diǎn)撥 挖掘題目中隱藏條件是關(guān)鍵!

  設(shè)考察隊(duì)到 生態(tài)區(qū)去用了x天,返回用了y天,考察用了z天,則x+y+z=60,

  17x-25y=-1,即25y-17x=1. ①

  這里x、y是正整數(shù),現(xiàn)設(shè) 法求出①的一組合題意的解,然后計(jì)算出z的值.

  為此,先求出①的一組特殊解(x0,y0),(這里x0,y0可以是負(fù)整數(shù)).用輾轉(zhuǎn)相除法.

  25=l ×17+8,17=2×8+1,故1=17—2×8=17-2×(25—17)=3 ×17-2×25.

  與①的左端比較可知,x0 =-3,y0=-2.

  下面再求出①的合題意的解.

  由不定方程的知識可知,①的一切整數(shù)解可表示為x=-3+25t,y=-2+17t,

  ∴ x+y=42t-5,t為整數(shù).按題意0

  ∴z=60—(x+y)=23.

  答:考察隊(duì)在生態(tài)區(qū)考察的天數(shù)是23天.

  注 本題涉及到的未知量多,最終轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程來解,希讀者仔細(xì)咀嚼所用方法.

  【例7】 (江蘇省第17屆初中競賽題)華鑫超市對顧客實(shí)行優(yōu)惠購物,規(guī)定如下:

  (1)若一次購物少于200元,則不予優(yōu)惠;

  (2)若一次購物滿200元,但不超過500元,按標(biāo)價(jià)給予九折優(yōu)惠;

  (3)若一次購物超過500元,其中500元部分給予九折優(yōu)惠,超過500元部分給予八折 優(yōu)惠.

  小明兩次去該超市購物,分別付款198元與554元.現(xiàn)在小亮決定一次去購 買小明分兩次購買的同樣多的物品,他需付款多少?

  思路點(diǎn)撥 應(yīng)付198元購物款討論:

  第一次付款198元,可是所購物品的實(shí)價(jià),未 享受優(yōu)惠;也可能是按九折優(yōu)惠后所付的款.故應(yīng)分兩種情況加以討論.

  情形1 當(dāng)198元為購物不打折付的錢時(shí),所購物品的原價(jià)為198元 .

  又554=450+104,其中450元為購物500元打九折付的錢,104元為購物打八折付的錢;104÷0. 8 =130(元).

  因此,554元所購物品的原價(jià)為130+500=630(元),于是購買小呀花198 +630=828(元)所購的全部物品,小亮一次性購買應(yīng)付500×0.9+(828-500)×0.8=712.4(元).

  情形2 當(dāng)198元為購物打九折付的錢時(shí),所購物品的原價(jià)為198 ÷0.9=220(元) .仿情形1的討論,,購220+630=850{元}物品一次性付款應(yīng)為500×0.9+(850-500)×0.8=730(元).

  綜上所述,小亮一次去超市購買小明已購的同樣多的物品,應(yīng)付款712.40元或730元

  【例8】 (20xx年全國數(shù)學(xué)競賽題)某項(xiàng)工程,如果由甲、乙兩隊(duì)承包,2 天完成,需180000元;由乙、丙兩隊(duì)承包,3 天完成,需付150000元;由甲、丙兩隊(duì)承包,2 天完成,需付160000元.現(xiàn)在工程由一個(gè)隊(duì)單獨(dú)承包,在保證一周完成的前提下,哪個(gè)隊(duì)承包費(fèi)用最少?

  思路點(diǎn)撥 關(guān)鍵問題是甲、乙、丙單獨(dú)做各需的天數(shù)及獨(dú)做時(shí)各方日付工資.分兩個(gè)層次考慮:

  設(shè)甲、乙、丙單獨(dú)承包各需x、y、z天完成.

  則 ,解得

  再設(shè)甲、乙、丙單獨(dú)工作一天,各需付u、v、w元,

  則 ,解得

  于是,由甲隊(duì)單獨(dú)承包,費(fèi)用是45500×4=182000 (元).

  由乙隊(duì)單獨(dú)承包,費(fèi)用是29500×6= 177000 (元).

  而丙隊(duì)不能在一周內(nèi)完成.所以由乙隊(duì)承包費(fèi)用最少.

  學(xué)歷訓(xùn)練

 。ˋ級)

  1.(河南)在防治“SARS”的戰(zhàn)役中,為防止疫情擴(kuò)散,某制藥廠接到了生產(chǎn)240箱過氧乙酸消毒液的任務(wù).在生產(chǎn)了60箱后,需要加快生產(chǎn),每天比原來多生產(chǎn)15箱,結(jié)果6天就完成了任務(wù).求加快速度后每天生產(chǎn)多少箱消毒液?

  2.(山東省競賽題)某市為鼓勵節(jié)約用水,對自來水妁收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)作如下規(guī)定:每月每戶用水中不超過10t部分按0.45元/噸收費(fèi);超過10t而不超過20t部分按每噸0.8元收費(fèi);超過20t部分按每噸1.50元收費(fèi),某月甲戶比乙戶多繳水費(fèi)7.10元,乙戶比丙戶多繳水費(fèi)3.75元,問甲、乙、丙該月各繳水費(fèi)多少?(自來水按整噸收費(fèi))

  3.(江蘇省競賽題)甲、乙、丙三人共解出100道數(shù)學(xué)題,每人都解出了其中的60道題,將其中只有1人解出的題叫做難題,3人都解出的題叫做容易題.試問:難題多還是容易題多?多的比少的多幾道題?

  4.某人從A地到B地乘坐出租車有兩種方案,一種出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是起步價(jià)10元,每千米1.2元;另一種出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是起步價(jià)8元,每千米1.4元,問選擇哪一種出租車比較合適?

  (提示:根據(jù)目前出租車管理?xiàng)l例,車型不同,起步價(jià)可以不同,但起步價(jià)的最大行駛里程是相同的,且此里程內(nèi)只收起步價(jià)而不管其行駛里程是多少)

 。˙級)

  1.(全國初中數(shù)學(xué)競賽題)江堤邊一洼地發(fā)生了管涌,江水不斷地涌出,假定每分鐘涌出的水量相等,如果用兩臺抽水機(jī)抽水,40min可抽完;如果用4臺抽水機(jī)抽,16min可抽完.如果要在10min抽完水,那么至少需要抽水機(jī) 臺.

  2.(希望杯)有一批影碟機(jī)(VCD)原售價(jià):800元/臺.甲商場用如下辦法促銷:

  購買臺數(shù)1~5臺6~10臺11~15臺16~20臺20臺以上

  每臺價(jià)格760元720元680元640元600元

  乙商場用如下辦法促銷:每次購買1~8臺,每臺打九折;每次購買9~16臺,每臺打八五折; 每次購買17~24臺,每臺打八折;每次購買24臺以上,每臺打七五折.

 。1)請仿照甲商場的促銷列表,列出到乙商場購買VCD的購買臺數(shù)與每臺價(jià)格的對照表;

  (2)現(xiàn)在有A、B、C三個(gè)單位,且單位要買10臺VCD,B單位要買16臺VCD,C單位要買20臺VCD,問他們到哪家商場購買花費(fèi)較少?

  3.(河北創(chuàng)新與知識應(yīng)用競賽題)某錢幣收藏愛好者想把3.50元紙幣兌換成1分、2分、5分的硬幣,他要求硬幣總數(shù)為150枚,且每種硬幣不少于20枚,5分的硬幣要多于2分的硬幣.請你據(jù)此設(shè)計(jì)兌換方案.

  4.從自動扶梯上走到二樓(扶梯本身也在行駛),如果男孩和女孩都做勻速運(yùn)動且男孩每分鐘走動的級數(shù)是女孩的兩倍,已知男孩走了27級到達(dá)扶梯頂部,而女孩走了18級到達(dá)扶梯頂部(設(shè)男孩、女孩每次只踏—級).問:

  (1)扶梯露在外面的部分有多少級?

  (2)如果扶梯附近有一從二樓到一樓的樓梯,樓梯的級數(shù)和扶梯的級數(shù)相等,兩孩子各自到扶梯頂部后按原速度再下樓梯,到樓梯底部再乘扶梯(不考慮扶梯與樓梯間距離)則男孩第一次追上女孩時(shí)走了多少級臺階?

  5.某化肥廠庫存三種不同的混合肥,第一種 含磷60%,鉀40%,第二種含鉀10%,氮90%;第三種含鉀50%,磷20%,氮30%,現(xiàn)將三種肥混合成含氮45%的混合肥100?(每種肥都必須取),試問在這三種不同混合肥的不同取量中,新混合肥含鉀的取值范圍.

  6.(黃岡競賽題)有麥田5塊A、B、C、D、E,它們的產(chǎn)量,(單位:噸)、交通狀況和每相鄰兩塊麥田的距離如圖21-2所示,要建一座永久性打麥場,這5塊麥田生產(chǎn)的麥子都在此打場.問建在哪快麥田上(不允許建在除麥田以外的其他地方)才能使總運(yùn)輸量最小?圖中圓圈內(nèi)的數(shù)字為產(chǎn)量,直線段上的字母a、b、d表示距離,且b < a

  多邊形的邊角與對角線

  j.Co M

  第十四講 多邊形的邊角與對角線

  邊、角、對角線是多邊形中最基本的概念,求多邊形的邊數(shù) 、內(nèi)外角度數(shù)、對角線條數(shù)是解與多邊形相關(guān)的基本問題,常用到三角形內(nèi)角和、多邊形內(nèi)、外角和定理、不等式、方程等知識.

  多邊形 的內(nèi)角和定理反映出一定的規(guī)律性:(n-2)×180°隨n的變化而變化;而多邊形的外角和定理反映出更本質(zhì)的規(guī)律;360°是一個(gè)常數(shù),把內(nèi)角問題轉(zhuǎn)化為外角問題,以靜制動是解多邊形有關(guān)問題的常用技巧.

  將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來處理是解多邊形問題的基本策略,連對角線或向外補(bǔ)形、對內(nèi)分割是轉(zhuǎn)化的常用方法,從凸 邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引出的對角線把 凸 邊形分成 個(gè)多角形,凸n邊形一共可引出 對角線.

  例題求解

  【例1】在一個(gè)多邊形中,除了兩個(gè)內(nèi)角外,其余內(nèi)角之和為20xx°,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是 .

  (江蘇省競賽題)

  思路點(diǎn)撥 設(shè)除去的角為°,y°,多邊形的邊數(shù) 為 ,可建立關(guān)于x、y的不定方程;又0°

  鏈接 世界上的萬事萬物是一個(gè)不斷地聚合和分裂的過程,點(diǎn)是幾何學(xué)最原始的概念,點(diǎn)生線、線生面、面生體,幾何元素的聚合不斷產(chǎn)生新的圖形,另一方面,不斷地分割已有的圖形可得到新的幾何圖形,發(fā)現(xiàn)新的幾何性質(zhì),多邊形可分成三角形,三角形可以合成其他

  一些幾何圖形.

  【例2】 在凸10邊形的所有內(nèi)角中,銳角的個(gè)數(shù)最多是( )

  A.0 B.1 C.3 D.5

  (全國初中數(shù)學(xué)競賽題)

  思路點(diǎn)撥 多邊形的內(nèi)角和是隨著多邊形的邊數(shù)變化而變化的,而外角和卻總是不變的,因此,可把內(nèi)角為銳角的個(gè)數(shù)討論轉(zhuǎn)化為 外角為鈍角的個(gè)數(shù)的探討.

  【例3】 如圖,已知在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,且AD=BC=4,若將此三角形沿AD剪開成為兩個(gè)三角形,在平面上把這兩個(gè)三角形拼成一個(gè)四邊形,你能拼出所有的不同形狀的四邊形嗎?畫出所拼四邊形的示意圖(標(biāo)出圖中直角),并分別寫出所拼四邊形的對角線的長.

  (烏魯木齊市中考題)

  思路點(diǎn)撥 把動手操作與合情想象相結(jié)合 ,解題的關(guān)鍵是能注意到重合的邊作為四邊形對角線有不同情形.

  注 教學(xué)建模是當(dāng)今教學(xué)教育、考試改革最熱門的一個(gè)話題,簡單地說,“數(shù)學(xué)建!本褪峭ㄟ^數(shù)學(xué)化(引元、畫圖等)把實(shí)際問題特化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題,再運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識方法(模型)解決問題.

  本例通過設(shè)元,把“沒有重疊、沒有空隙”轉(zhuǎn)譯成等式,通過不定方程求解.

  【例4】 在日常生活中,觀察各種建筑物的地板,就能發(fā)現(xiàn)地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案.也就是說,使用給定的某些正多邊形,能夠拼成一個(gè)平面圖形,既不留下一絲空白,又不互相重疊(在幾何里叫做平面鑲嵌),這顯然與正多邊形的內(nèi)角大小有關(guān),當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角(360°)時(shí),就拼成了一個(gè)平面圖形.

  (1)請根據(jù)下列圖形,填寫表中空格:

  (2)如果限于用一種正多邊形鑲嵌,哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖形?

  (3)從正三角形、正四邊形,正六邊形中選一種,再在其他正多邊形中選一種,請畫出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個(gè)平面圖形(草圖);并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面 圖形?說明你的理由.

  (陜西省中考題)

  思路點(diǎn)撥 本例主要研究兩個(gè)問題:①如果限用一種正多邊形鑲嵌,可選哪些正多邊形;②選用兩種正多邊形鑲嵌,既具有開放性,又具有探索性.假定正n邊形滿足鋪砌要求,那么在它的頂點(diǎn)接合的地方,n個(gè)內(nèi)角的和為360°,這樣,將問題的討論轉(zhuǎn)化為求不定方程的正整數(shù)解.

  【例5】 如圖,五邊形ABCDE的每條邊所在直線沿該邊垂直方向向外平移4個(gè)單位,得到新的五邊形A'B'C'D'E'.

 。1)圖中5塊陰影部分即四邊形AHA'G、BFB'P、COC'N、DMD'L、EKE'I能拼成一個(gè)五邊形嗎?說明理由.

  (2)證明五邊形A'B'C'D'E'的周長比五邊形ABCD正的周長至少增加25個(gè)單位.

  (江蘇省競賽題)

  思路點(diǎn)撥 (1)5塊陰影部分要能拼成一個(gè)五邊形須滿足條件:,A'GB'; B'PC'; C'ND';D'LE';E'IA'三點(diǎn)分別共線;∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°;(2)增加的周長等于A'H+A'G+B'F+B'P+C'O+C'N+D'M+D'L+E'K+E'I,用圓的周長逼近估算.

  1.如圖,用硬紙片剪一個(gè)長為16cm、寬為12cm的長方形,再沿對角線把它分成兩個(gè)三角形,用這兩個(gè)三角形可拼出各種三角形和四邊形來,其中周長最大的是 ?,周長最小的是 cm.

  (選6《莢國中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》)

  2.如圖,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= .

  3.如圖,ABCD是凸四邊形,AB=2,BC=4,CD=7,則線段AD的取值范圍是 .

  4.用黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如下所示的規(guī)律,拼成若干個(gè)圖案:

  (1)第4個(gè)圖案中有白色地面磚 塊;

  (2)第n個(gè)圖案中有白色地面磚 塊.

  (江西省中考題)

  5.凸n邊形中有且僅有兩個(gè)內(nèi)角為鈍角,則n的最大值是( )

  A.4 B.5 C. 6 D.7

  ( “希望杯”邀請賽試題)

  6.一個(gè)凸多邊 形的每一內(nèi)角都等于140°,那么,從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù)是( )

  A.9條 B.8條 C.7條 D. 6條

  7.有一個(gè)邊長為4m的正六邊形客廳,用邊長為50cm的正三角形瓷磚鋪滿,則需要這種瓷磚( )

  A.216塊 B.288塊 C.384塊 D.512塊

  ( “希望杯”邀請賽試題)

  8.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,△ACD是一個(gè)含有30°角的直角三角形,現(xiàn)將△ABC和△ACD拼成一個(gè)凸四邊形ABCD.

 。1))畫出四邊形ABCD;

  (2)求出四邊形ABCD的對角線BD的長.

  (上海市閔行區(qū)中考題)

  9.如圖,四邊形ABCD中,AB=BC=CD,∠ABC=90°,∠BCD=150°,求∠BAD的度數(shù).

  (北京市競賽題)

  10.如圖,在五邊形A1A2A3A4A5中,Bl是A1的對邊A3A4的中點(diǎn),連結(jié)A1B1,我們稱A1B1是這個(gè)五邊形的一條中對線,如果五邊形的每條中對線都將五邊形的面積分成相等的兩部分,求證:五邊形的每條邊都有一條對角線和它平行.

  (安徽省中考題)

  11.如圖,凸四邊形有 個(gè);∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= .

  (重慶市競賽題)

  12.如圖,延長凸五邊形A1A2A3A4A5的各邊相交得到5個(gè)角,∠B1,∠B2,∠B3,∠B4,∠B5,它們的和等于 ;若延長凸n邊形(n≥5)的各邊相交,則得到的n個(gè)角的和等于 .

  ( “希望杯”邀請賽試題)

  13.設(shè)有一個(gè)邊長為1的正三角形,記作A1(圖a),將每條邊三等分,在中間的線段上向外作正三角形,去掉中間的線段后所得到的圖形記作A 2(圖b),再將每條邊三等分,并重復(fù)上述過程,所得到的圖形記作A3(圖c);再將每條邊三 等分,并重復(fù)上述過程,所得到的圖形記作A4,那么,A4的周長是 ;A4這個(gè)多邊形的面積是原三角形面積的 倍.

  (全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)

  14.如圖,六邊形ABCDEF中,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F,且AB+BC=11,F(xiàn)A—CD=3,則BC+DC= . (北京市競賽題)

  15.在一個(gè)n邊形中,除了一個(gè)內(nèi)角外,其余(n一1)個(gè)內(nèi)角的和為2750°,則這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為( )

  A.130° D.140° C .105° D.120°

  16.如圖,四邊形ABCD中,∠BAD=90°,AB=BC=2 ,AC=6,AD=3,則CD的長為( )

  A.4 B.4 C.3 D. 3 (江蘇省競賽題)

  注 按題中的方法'不斷地做下去,就會成為下圖那樣的圖形,它的邊界有一個(gè)美麗的名稱——雪花曲線或 科克曲線(瑞典數(shù)學(xué)家),這類圖形稱為“分形”,大量的物理、生物與數(shù)學(xué)現(xiàn)象都導(dǎo)致分形,分形是新興學(xué)科“混沌”的重要分支.

  17.如圖,設(shè)∠CGE=α,則∠A+∠B+∠C+∠D+∠C+∠F=( )

  A.360°一α B.270°一αC.180°+α D.2α

  (山東省競賽題)

  18.平面上有A、B,C、D四點(diǎn),其中任何三點(diǎn)都不在一直線上,求證:在△ABC、△ABD、△ACD、△BDC中至少有一個(gè)三角形的內(nèi)角不超過45°.

  19.一塊地能被n塊相同的正方形地磚所覆蓋,如果用較小的相同正方形地磚,那么需n+76塊這樣的地磚才能覆蓋該塊地,已知n及地磚的邊長都是整數(shù),求n. (上海市競賽題)

  20.如圖,凸八邊形ABCDEFGH的8 個(gè)內(nèi)角都相等,邊AB、BC、CD、DE、EF、FG的長分別為7,4,2,5,6,2,求該八邊形的周長.

  21.如圖l是一張可折疊的鋼絲床的示意圖,這是展開后支撐起來放在地面上的情況,如果折疊起來,床頭部分被折到了床面之下(這里的A、B、C、D各點(diǎn)都是活動的),活動床頭是根據(jù)三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性設(shè)計(jì)而成的,其折疊過程可由圖2的變換反映出來.

  如果已知四邊形ABCD中,AB=6,CD=15,那么BC、AD取多長時(shí),才能實(shí)現(xiàn)上述的折疊變化?

  (淄博市中考題)

  22.一個(gè)凸n邊形由若干個(gè)邊長為1的正方形或正三角形無重疊、無間隙地拼成,求此凸n邊形各個(gè)內(nèi)角的大小,并畫出這樣的 凸n邊形的草圖.

  圖形的平移與旋轉(zhuǎn)

  前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家亞格龍將幾何學(xué)定義為:幾何學(xué)是研究幾何圖形在運(yùn)動中不變的那些性質(zhì)的學(xué)科.

  幾何變換是指把一個(gè)幾何圖形Fl變換成另一個(gè)幾何圖形F2的方法,若僅改變圖形的位置,而不改變圖形的形狀和大小,這種變換稱為合同變換,平移、旋轉(zhuǎn)是常見的合同變換.

  如圖1,若把平面圖形Fl上的各點(diǎn)按一定方向移動一定距離得到圖形F2后,則由的變換叫平移變換.

  平移前后的圖形全等,對應(yīng)線段平行且相等,對應(yīng)角相等.

  如圖2,若把平面圖Fl繞一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度得到圖形F2,則由Fl到F2的變換叫旋轉(zhuǎn)變換,其中定點(diǎn)叫旋轉(zhuǎn)中心,定角叫旋轉(zhuǎn)角.

  旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等,對應(yīng)線段相等,對應(yīng)角相等,對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.

  通過平移或旋轉(zhuǎn),把部分圖形搬到新的位置,使問題的條件相對集中,從而使條件與待求結(jié)論之間的關(guān)系明朗化,促使問題的解決.

  注 合同變換、等積變換、相似變換是基本的幾何變換.等積變換,只是圖形在保持面積不變情況下的形變'而相似變換,只保留線段間的比例關(guān)系,而線段本身的大小要改變.

  例題求解

  【例1】如圖,P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),PA:PB:PC=1:2:3,則∠APD= .

  思路點(diǎn)撥 通過旋轉(zhuǎn),把PA、PB、PC或關(guān)聯(lián)的線段集中到同一個(gè)三角形.

  【例2】 如圖,在等腰Rt△ABC的斜邊AB上取兩點(diǎn)M,N,使∠MCN=45°,記AM=m,MN= x,DN=n,則以線 段x、m、n為邊長的三角形的形狀是( )

  A.銳角三角形 B.直角三角形

  C.鈍角三角形 D.隨x、m、n的變化而改變

  思路點(diǎn)撥 把△ACN繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,得△CBD,這樣∠ACM+∠BCN=45°就集中成一個(gè)與∠MCN相等的角,在一條直線上的m、 x、n 集中為△DNB,只需判定△DNB的形狀即可.

  注 下列情形,常實(shí)施旋轉(zhuǎn)變換:

  (1)圖形中出現(xiàn)等邊三角形或正方形,把旋轉(zhuǎn)角分別定為60°、90°;

  (2)圖形中有線段的中點(diǎn),將圖形繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,構(gòu)造中心對稱全等三角形;

  (3)圖形中出現(xiàn)有公共端點(diǎn)的線段,將含有相等線段的圖形繞公共端點(diǎn),旋轉(zhuǎn)兩相等線段的夾角后與另一相等線段重合.

  【例3】 如圖,六邊形ADCDEF中,AN∥DE,BC∥EF,CD∥AF,對邊之差BC-EF=ED?AB=AF?CD>0,求證:該六邊形的各角相等.

  (全俄數(shù)學(xué)奧林匹克競賽題)

  思路點(diǎn)撥 設(shè)法將復(fù)雜的條件BC?FF=ED?AB=AF?CD>0用一個(gè)基本圖形表示,題設(shè)中有平行條件,可考慮實(shí)施平移變換.

  注 平移變換常與平行線相關(guān),往往要用到平行四邊形的性質(zhì),平移變換可將角,線段移到適當(dāng)?shù)奈恢,使分散的條件相對集中,促使問題的解決.

  【例4】 如圖,在等腰△ABC的兩腰AB、AC上分別取點(diǎn)E和F,使AE=CF.已知BC=2,求證:EF≥1. (西安市競賽題)

  思路點(diǎn)撥 本例實(shí)際上就是證明2EF≥BC,不便直接證明,通過平移把BC與EF集中到同一個(gè)三角形中.

  注 三角形中的不等關(guān)系,涉及到以下基本知識:

  (1)兩點(diǎn)間線段最短,垂線段最短;

  (2)三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊;

  (3)同一個(gè)三角形中大邊對大角(大角對大邊),三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.

  【例5】 如圖,等邊△ABC的邊長為 ,點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn),且PA2+PB2=PC2,若PC=5,求PA、PB的長. (“希望杯”邀請賽試題)

  思路點(diǎn)撥 題設(shè)條件滿足勾股關(guān)系PA2+PB2=PC2的三邊PA、PB、PC不構(gòu)成三角形,不能直接應(yīng)用,通過旋轉(zhuǎn)變換使其集中到一個(gè)三角形中,這是解本例的關(guān) 鍵.

  學(xué)歷訓(xùn)練

  1.如圖,P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),現(xiàn)將△ABP繞點(diǎn)B顧時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)能與△CBP′重合,若PB=3,則PP′= .

  2.如圖,P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn),PA=6,PB=8,PC=10,則∠APB .

  3.如圖,四邊形ABC D中,AB∥CD,∠D=2∠B,若AD=a,AB=b,則CD的長為 .

  4.如圖,把△ABC沿AB邊平移到△A'B'C'的位置,它們的重疊部分(即圖中陰影部分)的面積是△ABC的面積的一半,若AB= ,則此三角形移動的距離AA'是( )

  A. B. C.l D. (20xx年荊州市中考題)

  5.如圖,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn),兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)C、F,給出以下四個(gè)結(jié)論:①AE=CF;②△EPF是等腰直角三角形;③S四邊形AEPF= S△ABC;④EF=AP.

  當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與A、B重合),上述結(jié)論中始終正確的有( )

  A.1個(gè) B.2個(gè) C .3個(gè) D.4個(gè)

  (20xx年江蘇省蘇州市中考題)

  6.如圖,在四邊形 ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于E, S四邊形ABCD d=8,則BE的長為( )

  A.2 B.3 C . D. (20xx年武漢市選拔賽試題)

  7.如圖,正方形ABCD和正方形EFGH的邊長分別為 和 ,對角線BD、FH都在直線 上,O1、O2分別為正方形的中心,線段O1O2的長叫做兩個(gè)正方形的中心距,當(dāng)中心O2在直線 上平移時(shí),正方形EFGH也隨之平移,在平移時(shí)正方形EFGH的形狀、大小沒有變化.

  (1)計(jì)算:O1D= ,O2F= ;

  (2)當(dāng)中心O2在直線 上平移到兩個(gè)正方形只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),中心距O1O2= ;

  (3)隨著中心O2在直線 上平移,兩個(gè)正方形的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)還有哪些變化?并求出相對應(yīng)的中心距的值或取值范圍(不必寫出計(jì)算過程). (徐州市中考題)

  8.圖形的操做過程(本題中四個(gè)矩形的水平方向的邊長均為a,豎直 方向的邊長均為b):

  在圖a中,將線段A1A2向右平移1個(gè)單位到B1B2,得到封閉圖形A1A2B1B2(即陰影部分);

  在圖b中, 將折線A1A2A3向右平移1個(gè)單位到B1B2B3,得到封閉圖形A1A2A3B1B2B3(即陰影部分);

 。1)在圖c中,請你類似地畫一條有兩個(gè)折點(diǎn)的折線,同樣向右平移1個(gè)單位,從而得到一個(gè)封閉圖形,并用斜線畫出陰影;

 。2)請你分別寫出上述三個(gè)圖形中除去陰影部分后剩余部分的面積:S1= ,,S2= ,S3= ;

 。3)聯(lián)想與探索:

  如圖d,在一塊矩形草地上,有一條彎曲的柏油小路(小路任何地方的水平寬度都是1個(gè)單位),請你猜想空白部分表示的草地面積是多少?并說明你的猜想是正確的.

  (20xx年河北省中考題)

  9.如圖,已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn),△ACM、△CBN是等邊三角形,求證:AN=BM.

  說明及要求:本題是《幾何》第二冊幾15中第13題,現(xiàn)要求:

  (1)將△ACM繞C點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°,使A點(diǎn)落在CB上,請對照原題圖在圖中畫出符合要求的圖形(不寫作法,保留作圖痕跡).

  (2)在①所得的圖形中,結(jié)論“AN=BM”是否還成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.

  (3)在①得到的圖形中,設(shè)MA的延長線與BN相交于D點(diǎn),請你判斷△ABD與四邊形MDNC的形狀,并證明你的結(jié)論.

  10.如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3cm,AC=4cm,以斜邊BC上距離B點(diǎn)3cm的點(diǎn)P為中心,把這個(gè)三角形按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至△DEF,則旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)直角三角形重疊部分的面積是 cm2.

  11.如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,BC=CD=12,∠ABE=45°,點(diǎn)E在DC上,AE、BC的延長線交于點(diǎn)F,若AE=10,則S△ADE+S△CEF的值是 .

  (紹興市中考題)

  12.如圖,在△ABC中,∠BAC=120°,P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),則PA+PB+PC與AB+AC的大小關(guān)系是( )

  A.PA+PB+PC>AB+AC B.PA+PB+PCC. PA+PB+PC=AB+AC D.無法確定

  13.如圖,設(shè)P到等邊三角形ABC兩頂點(diǎn)A、B的距離分別為2、3,則PC所能達(dá)到的最大值為( )

  A. B. C .5 D.6

  (20xx年武漢市選拔賽試題)

  14.如圖,已知△ABC中,AB=AC,D為AB上一點(diǎn),E為AC 延長線上一點(diǎn),BD=CE,連DE,求證:DE>DC.

  15.如圖,P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn),PA、PB、PC的長為正整數(shù),且PA2+PB2=PC2,設(shè)PA=m,n為大于5的實(shí)數(shù),滿 ,求△ABC的面積.

  16.如圖,五羊大學(xué)建立分校,校本部與分校隔著兩條平行的小河, ∥ 表示小河甲, ∥ 表示小河乙,A為校本部大門,B為分校大門,為方便人員來往,要在兩條小河上各建一座橋,橋面垂直于河岸.圖中的尺寸是:甲河寬8米,乙河寬10米,A到甲河垂直距離為40米,B到乙河垂直距離為20米,兩河距離100米,A、B兩點(diǎn)水平距離(與小河平行方向)120米,為使A、B兩點(diǎn)間來往路程最短,兩座橋都按這個(gè)目標(biāo)而建,那么,此時(shí)A、D兩點(diǎn)間來往的路程是多少米? (“五羊杯”競賽題)

  17.如圖,△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,O是△ABC內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)O到△ABC各邊的距離都等于1,將△ABC繞 點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,得△A1BlC1 ,兩三角形公共部分為多邊形KLMNPQ.

  (1)證明:△AKL、△BMN、△CPQ都是等腰直角三角形;

  (2)求△ABC與△A1BlC1公共部分的面積. (山東省競賽題)

  18.(1)操作與證明:如圖1,O是邊長為a的正方形ACBD的中心,將一塊半徑足夠長,圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在O點(diǎn)處,并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn),求證:正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值.

  (2)嘗試與思考:如圖2,將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正三角形或正五邊形的中心O點(diǎn)處,并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn), 當(dāng)扇形紙板的圓心角為 時(shí),正三角形的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a;當(dāng)扇形紙板的圓心角為 時(shí),正五邊形的邊被紙板覆蓋部分的總長度也為定值a.

  (3)探究與引申:一般地,將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正n邊形的中心O點(diǎn)處,并將紙板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn).當(dāng)扇形紙板的圓心角為 時(shí),正n邊形的邊被紙板覆蓋部分 的總長度為定值a;這時(shí)正n邊形被紙板覆蓋部分的面積是否也為定值?若為定值,寫出它與正n邊形面積S之間的關(guān)系;若不是定值,請說明理由.

平行四邊形教案 篇2

  一、所在班級情況,學(xué)生特點(diǎn)分析

  本校是一所比較偏僻的山村小學(xué),本班有39名學(xué)生,全都是農(nóng)民的子女。雖然現(xiàn)在農(nóng)民的生活越來越好,但家長都希望自己的子女學(xué)到更多知識,將來有更大的發(fā)展,特別重視對學(xué)生的教育。因此,學(xué)生由于在社會、家庭、學(xué)校、教師的重視下,學(xué)習(xí)興趣濃厚,能夠認(rèn)真學(xué)習(xí),會主動學(xué)習(xí),積極與他人合作,共同探索知識的形成過程。

  二、 教學(xué)內(nèi)容分析

  平行四邊形面積的教學(xué)是在學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識了平行四邊形的特征以及長方形和正方形面積計(jì)算方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的,它同時(shí)又是進(jìn)一步學(xué)習(xí)三角形面積、梯形面積的基礎(chǔ)。學(xué)好這部分內(nèi)容,對于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念,發(fā)展學(xué)生的思維能力,以及解決生活中的實(shí)際問題的能力,都有重要的作用。

  三、 教學(xué)目標(biāo)

  1、 在理解的基礎(chǔ)上掌握平行四邊形的面積計(jì)算公式,能正確地計(jì)算平行四邊形的面積;

  2、 通過操作、觀察、比較,發(fā)展學(xué)生的空間觀念,滲透轉(zhuǎn)化的思想方法,培養(yǎng)學(xué)生的分析、綜合、抽象、概括和解決實(shí)際問題的能力。

  3、通過教學(xué)活動,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)互助合作、交流、評價(jià)的意識,感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。

  四、 教學(xué)難點(diǎn)分析

  把平行四邊轉(zhuǎn)化成長方形,找到長方形與平行四邊形的關(guān)系,從而順利推導(dǎo)出平行四邊形面積計(jì)算公式。

  教材提示通過剪一個(gè)平行四邊形紙片來研究如何求平行四邊形的面積,而且提供了兩種提示性的方法:一種是數(shù)格子的方法,數(shù)出這個(gè)平行四邊形的面積;一種是通過剪與拼的活動,將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形,然后計(jì)算出面積。使學(xué)生在數(shù)、剪、拼的學(xué)習(xí)活動中,通過探索、合作、交流與指導(dǎo),尋找解決問題的方法。

  五、 教學(xué)課時(shí)

  一課時(shí)。

  六、 教學(xué)過程

 。ㄒ唬⿵(fù)習(xí)

  1、做一做,說一說。

  師:我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行四邊形的一些知識,認(rèn)識了平行四邊形的底和高課前,老師要求自己動手,做兩個(gè)平行四邊形,現(xiàn)在拿出一個(gè)平行四邊形,找出它的,劃出它的高,量一量,并表示出來。

  學(xué)生做 — 教師巡視 — 同桌互相評價(jià) — 個(gè)別臺前講說。

  2、復(fù)習(xí)長方形面積計(jì)算公式

  我們學(xué)過長方形面積的計(jì)算公式,誰能說出長方形面積的計(jì)算

  公式?

  生:長方形面積=長×寬

  師:那么平行四邊形的面積該怎么計(jì)算?這一節(jié),我們就一起來研討它。

  (板書課題)

 。ǘ┩茖(dǎo)平行四邊形的面積公式

  1、數(shù)方格法:

  師:這兒有兩個(gè)圖形,請同學(xué)們比較它們的大小。

  出示課件(圖1):

  要比較這兩個(gè)圖形的大小,就是比較它們的面積。我們先用數(shù)方格的方法數(shù)出它們各自的面積。

  教學(xué)活動:

 。1)數(shù)出平行四邊形和長方形的面積各是多少?

  (2)平行四邊形的`底和高各是多少?

 。3)長方形的長和寬各是多少?

 。4)通過數(shù)方格,你發(fā)現(xiàn)了什么?

  (平行四邊形的底與長方形的長相等,平行四邊形的高與長方形的寬相等。)

  上面我們用數(shù)方格的方法得出平行四邊形的面積,在實(shí)際的生活中,要求

  的平行四邊形的面積很大時(shí),比如,一塊平行四邊形的果園,用數(shù)方格的方法就難以解決了。因此,我們能不能把一個(gè)平行四邊形轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)學(xué)過的某一種圖形,從而得出平行四邊形面積的計(jì)算方法呢?

  2、割補(bǔ)法:

 。1)學(xué)生用學(xué)具演示。

  師:同學(xué)們拿出另一個(gè)平行四邊形,想一想,做一做,怎樣才能把它轉(zhuǎn)化成為一個(gè)長方形?

  教學(xué)活動:

  學(xué)生用學(xué)具做,同桌進(jìn)行互相交流轉(zhuǎn)化過程,邊演示邊述說,教師巡視指導(dǎo)。

  (2)教師用教具演示。

  同學(xué)們完成的真好,現(xiàn)在我們共同來演示怎樣將一個(gè)平行四邊形轉(zhuǎn)化成一個(gè)長方形的呢?

  出示課件(圖2)。

  教學(xué)活動:

  在演示過程中,應(yīng)尊重學(xué)生的觀點(diǎn),教師進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo),堅(jiān)持以學(xué)生為主體,生生互動,師生互動的原則,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

  3、推導(dǎo)、歸納平行四邊形的面積計(jì)算公式:

  把一個(gè)平行四邊形轉(zhuǎn)化成一個(gè)長方形,什么變了,什么沒變?

  (形狀變了,面積沒有變。)

  也就是說拼成后長方形的面積和原平行四邊形的面積相等。

  拼成后的長方形的長與平行四邊形的底有什么關(guān)系?(相等)

  長方形的寬和原平行四邊形的高有什么關(guān)系?(相等)

  在問答過程中,出示課件(圖3)。

  師:拼成后的長方形的長與原平行四邊形的底相等,長方形的寬與原平行四邊形的高相等,它門的面積也相等。我們知道長方形的面積是長乘寬,誰能說出平行四邊形的面積怎樣求?(平行四邊形的面積等于底乘高。)

  板書:平行四邊形的面積=底×高

  請看課件(圖4):

  如果用S表示平行四邊形的面積,用a表示平行四邊形的底,用h表示平行四邊形的高,平行四邊形面積的字母公式該怎樣表示呢?

  學(xué)生口述,教師板書:

  S=a×h

  師:一般含有字母的式子里,乘號可以用“·”表示,讀作a乘h,板書:

  S=a·h

  也可以把乘號省略不寫,板書:

  S=ah

  學(xué)習(xí)活動:

  將上面公式請同桌同學(xué)互相說說。

 。ㄍㄟ^同學(xué)相互述說,既弄清了平行四邊形的面積、底、高之間的關(guān)系,又培養(yǎng)了學(xué)生的口頭表達(dá)能力。)

  要計(jì)算平行四邊形的面積,必須知道幾個(gè)條件,是什么?

  (兩個(gè)條件,底和高。)

  七、課堂練習(xí)

  1、運(yùn)用公式,嘗試學(xué)習(xí)。

  師:請同學(xué)們打開課本24頁,看“試一試”題目:

  出示課件(圖5)。

 。ㄔ趯W(xué)生獨(dú)立完成之后,與同學(xué)們說說各自的想法、做法,征求同學(xué)們的意見。)

  2、鞏固練習(xí),拓展學(xué)習(xí)。

  (1)選擇正確的答案。

  出示課件(圖6)。

  師:在上面A、 B、 C三個(gè)平行四邊形中哪一個(gè)的面積是: 2×3=6(平方厘米),并說出理由。

  (A:錯(cuò)誤,因?yàn)?和2是兩條鄰邊,不是對應(yīng)的底和高;

  (B:錯(cuò)誤,因?yàn)榈?和高2不對應(yīng),也就是說高2不是底邊3上的高;

 。–:正確。

  (通過練習(xí),使學(xué)生進(jìn)一步明確,要求平行四邊形的面積,不僅要知道底和高兩個(gè)條件,而且底和高必須對應(yīng)。)

  3、操作觀察,探究學(xué)習(xí)。

  出示課件(圖7)。

  如上圖,分別計(jì)算圖中每個(gè)平行四邊形的面積,你發(fā)現(xiàn)了什么?(單位:㎝)

 。ㄒ龑(dǎo)學(xué)生通過計(jì)算、觀察、比較等,發(fā)現(xiàn)平行四邊形底和高相等時(shí)面積也一

  定相等。)

  討論:

  當(dāng)兩個(gè)平行四邊形的面積相等時(shí),它們的底與高是否也相等?

  (平行四邊形的面積相等,底與高卻不一定相等。)

  八、作業(yè)安排

  課本24頁“練一練”,第3題、4題。

  九、附錄(教學(xué)課件)

  十、教學(xué)反思

  平行四邊形的面積是北師大版五年級數(shù)學(xué)上冊第二單元的內(nèi)容。教材設(shè)計(jì)的思路是:先通過數(shù)方格的方法數(shù)出平行四邊形的底、高、面積。再通過對數(shù)據(jù)的觀察,提出大膽的猜想。通過操作驗(yàn)證的方法推導(dǎo)出平行四邊形面積的計(jì)算方法。再利用所學(xué)的公式解決問題。我認(rèn)為讓學(xué)生簡單記憶公式并不難,難的是讓學(xué)生理解公式。因此,必須讓每個(gè)學(xué)生親歷知識的形成過程。在獨(dú)立思索的基礎(chǔ)上親自動手剪一剪、拼一拼,并帶著自己的操作經(jīng)歷進(jìn)行小組內(nèi)的討論和交流。

  課堂是充滿未知的,盡管課前我精心設(shè)計(jì)了教學(xué)中的每個(gè)環(huán)節(jié),但課堂上所呈現(xiàn)出的效果,還是不盡人意的。

平行四邊形教案 篇3

  教學(xué)內(nèi)容:

  《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)(四年級上冊)》教科書70-71頁例1,練習(xí)十二相關(guān)練習(xí)題。

  教學(xué)目標(biāo):

  知識目標(biāo):

  1、認(rèn)識平行四邊形和梯形,掌握平行四邊形和梯形的特征;

  2、學(xué)會四邊形分類;概括出長方形、正方形是特殊的平行四邊形,正方形是特殊的長方形的關(guān)系;

  能力目標(biāo):培養(yǎng)學(xué)生動手操作能力和概括能力,發(fā)展空間思維能力。

  情感目標(biāo):在小組合作中,培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)合作互助精神,在拼圖的過程中感受圖形的美。

  教學(xué)重點(diǎn):掌握平行四邊形和梯形的特征。

  教學(xué)難點(diǎn):理解平行四邊形、長方形、正方形的關(guān)系。

  教學(xué)準(zhǔn)備:

  教具:課件,四邊形關(guān)系圖,長方形、正方形、平行四邊形、梯形模具各一個(gè)。

  學(xué)具:三角尺,直尺,量角器。

  教學(xué)過程:

  一、回顧舊知,引入新課。

  師:我們以前已學(xué)過很多圖形了,請認(rèn)真觀察下面圖形它們是由幾條邊圍成的?(課件出示)

  生:四條。

  師:你觀察得真仔細(xì)。由四條邊圍成的這些圖形叫四邊形。

  師:在這些四邊形中,你最熟悉的是什么圖形?

  生:長方形,正方形。

  師:長方形、正方形的邊和角各有什么特點(diǎn)?

  生:長方形的對邊相等,對邊平行,四個(gè)角都是直角。(板書)

  生:正方形的四條邊都相等,對邊平行,四個(gè)角都是直角。(板書)

  師:看來同學(xué)們對以前的知識掌握得真牢固!正方形是長方形嗎?

  生:是。

  師:正方形是特殊的長方形,我們也可以說長方形包含正方形。

  師:你知道這兩個(gè)圖形的名稱嗎?(指課件中的平行四邊形和梯形)。

  生:平行四邊形和梯形。

  師:你們認(rèn)識得真多,這節(jié)課我們就一起來探究一下平行四邊形和梯形的有關(guān)知識。(板書課題)

  二、合作學(xué)習(xí),探究新知

 。ㄒ唬﹦邮植僮鞒醪礁兄叫兴倪呅魏吞菪蔚奶攸c(diǎn)。

  師:平行四邊形和梯形又有什么特點(diǎn)呢?現(xiàn)在我們用學(xué)具分別量一量它們的邊、角各有什么特點(diǎn),把你的發(fā)現(xiàn)像這樣寫下來。并相互說說你是怎樣發(fā)現(xiàn)的?四人小組活動開始。

  生:學(xué)生活動,教師巡視。

  (二)教學(xué)平行四邊形的特點(diǎn)。

  1、匯報(bào)發(fā)現(xiàn)。

  師:誰來大膽匯報(bào)自己的發(fā)現(xiàn)?你是怎樣知道的?

 。ㄖ该f說平行四邊形的特點(diǎn))

  師:誰還有其它的發(fā)現(xiàn)嗎?

  2、?驗(yàn)證結(jié)論

  師:剛才有的同學(xué)找到平行四邊形的兩組對邊是互想平行的,我們一起來驗(yàn)證吧,請看大屏幕!(大屏幕展示方法:用直尺、三角尺平移驗(yàn)證)

  3、總結(jié)概念。

  師:(邊操作邊說)這組對邊平行,這組對邊也平行,兩組對邊都平行。

  師:你們能用自己的話說說怎樣的四邊形叫“平行四邊形”嗎?(指名回答)

  師:請打開課本71頁,找找課本是怎么說的,畫起來齊讀一遍。

  揭示概念:[課件展示]兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。(并板書)

  4、引導(dǎo)學(xué)生找出關(guān)鍵詞。

  師:在這定義中,你認(rèn)為哪些詞語比較重點(diǎn)?

  生:兩組,平行,四邊形。

  師:你真會找。我們把重點(diǎn)詞讀重音,齊讀一遍。

  生:學(xué)生讀。

  師:下面我們男女同學(xué)比賽,看誰讀得好。(男女分別讀)

  師反問:要想判斷一個(gè)圖形是不是平行四邊形,必須符合什么條件?

  5、穿插練習(xí)。

  請判斷下面圖形是平行四邊形的打“”,不是打“”。

  (三)認(rèn)識梯形

  1、匯報(bào)發(fā)現(xiàn)

  師:梯形的邊又有哪些特點(diǎn)呢?

  生:只有一組對邊平行。

  師:你們都有同樣的發(fā)現(xiàn)嗎?(板書)

  生:有。

  2、?驗(yàn)證結(jié)論

  師:我們一起來驗(yàn)證一下。

  師:(邊操作邊說)這組對邊不平行,這組對邊平行,只有一組對邊平行。

  3、總結(jié)概念。

  師:你們能用自己的話說說怎樣的四邊形叫“梯形”嗎?

  師:請打開課本71頁,找找課本是怎么說的,畫起來齊讀一遍。

  揭示概念:[課件展示]只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形。

 。ú鍟

  4、引導(dǎo)學(xué)生找出關(guān)鍵詞。

  師:在這定義中,你又認(rèn)為哪些詞語比較重點(diǎn)?

  生:只有一組,平行四邊形。

  師:你找得真準(zhǔn)確,我們把重點(diǎn)詞讀重音,再讀一遍。

  師:下面我們來小組比賽,看哪個(gè)小組讀得好。

  師反問:要想判斷一個(gè)圖形是不是梯形,必須要符合什么條件?

  5、穿插練習(xí)。

  請判斷下面圖形是梯形的打“”,不是打“”。

  6、比較平行四邊形與梯形有什么不同。

  師:(指練習(xí)中的平行四邊形)問:它為什么不是梯形?它其實(shí)是個(gè)平行四邊形,那平行四邊形與梯形有什么不同?

  三、教學(xué)四邊形之間的關(guān)系。

  師:我們已經(jīng)認(rèn)識了這么多的`圖形了,這些圖形都是四邊形。(課件出示四邊形的集合圖)

  師:我們先看長方形,正方形和平行四邊形的邊都有什么共同的特點(diǎn)?

  生:兩組對邊都平行。

  師:那長方形,正方形是特殊的平行四邊形嗎?(四人小組討論)

  師:指名匯報(bào)。

  師總結(jié):長方形,正方形是特殊的平行四邊形。它們特殊在哪里?

  生:四個(gè)角都是直角。

  師:梯形有沒有兩組對邊平行?

  生:沒有。

  師:所以梯形自己為一類。

  教師總結(jié):所以在四邊形這個(gè)大家族中[展示:四邊形集合圈],有平行四邊形、梯形、一般四邊形這幾個(gè)家庭組成[展示:平行四邊形、梯形集合圈],在平行四邊形這個(gè)家庭中,包含有長方形這個(gè)特殊的小家庭[展示:長方形集合圈],長方形這個(gè)小家庭中又包含正方形這個(gè)特殊的成員[展示:正方形集合圈]。

  師:現(xiàn)在我們對照課本71頁的這個(gè)集合圖,同桌互相說說這些四邊形之間的關(guān)系。

  生:學(xué)生活動。

  師:誰來說說它們的關(guān)系。(指名說)

  四、質(zhì)疑。

  師:請打開課本70--71頁,看書有沒有要問老師的呢?

  五、鞏固練習(xí)。

  1、判斷:

  (1)兩組對邊分別平行的圖形是平行四邊形。()

 。2)有一組對邊平行的四邊形是梯形。()

 。3)平行四邊形的兩組對邊分別平行并且相等。()

 。4)長方形、正方形都是特殊的平行四邊形。()

  2、找一找生活中的平行四邊形和梯形。

  師:你們判斷得真準(zhǔn)確。其實(shí)平行四邊形和梯形就在我們的身邊,你們在哪里看到過平行四邊形和梯形呢?(指名說說)

  師:好,老師現(xiàn)在帶你們?nèi)バ@找找,看這美麗的校園哪里有平行四邊形和梯形呢?(主題圖)

  師:誰愿意上來找找?

  師:同學(xué)們真會找,我們在生活中也要仔細(xì)觀察身邊的事物。老師也找到了一些生活中的平行四邊和梯形。我們一起來欣賞一下。(課件欣賞生活中的平行四邊形和梯形)

  師:我們生活中很多建筑物都要用到我們學(xué)過的圖形的。你們想不想利用我們學(xué)過的圖形親手拼一幅美麗的圖畫呢?

  生:想。

  3、拼圖。

  師:拼圖要求:用學(xué)過的圖形,拼出你們喜歡的圖畫。

 。1)找圖形(2)小組拼圖畫。(3)展示作品。

  生:學(xué)生動手拼。

  師:同學(xué)們真能干,能利用我們學(xué)過的圖形拼出這么漂亮的圖畫,你們的手真巧。在這些美麗的圖畫中,你最喜歡哪一幅?它是由哪些圖形拼成的?

  六、總結(jié):談收獲。

  師:同學(xué)們,你覺得這節(jié)課里你表現(xiàn)怎樣?你有什么收獲和體會?

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