相似三角形判定定理的證明

相似三角形判定定理的證明

一、教材題目：P102，T1-T4

1．如圖，在等邊三角形ABC中， D，E，F(xiàn)分別是三邊上的點，AE=BF=CD,那么△ABC 與△DEF相似嗎？請證明你的結(jié)論。

2．已知：如圖， ADDEAE??.求證：AB=AE。

ACABBC

3．已知：如圖，在△ABC中，D是AC邊上的一點，∠CBD的平分線交AC于點E, 且AE=AB。

2求證：AE=AD·AC.

4.如圖，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,動點P從點A開始沿AB邊運動，速度為2cm/s,動點Q從點B開始沿BC邊運動，速度為4cm/s.如果P,Q兩動點同時運動，那么何時△QBP與△ABC相似？

二、補充題目：部分題目來源于《點撥》

1．如圖，BD，CE是△ABC的高，BD與CE交于點O，則圖中相似三角形有( ) A．4對 B．5對 C．6對 D．7對

(第1題)

(第2題)

2．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，DE⊥AB，垂足為E，DF⊥AC，垂足為F，則下列比例式中，錯誤的是( )

A．AD2＝BD·DC B．CD2＝CF·CA

C．DE2＝AE·BE D．AD2＝AF·AC

5．如圖，在△ABC中，BE和CD分別是邊AC，AB上的高，求證：△ADE∽△ACB.

(第5題)

答案

教材

1．解：相似．證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC.又∵AE＝BF＝CD，∴AB－AE＝BC－BF＝AC－CD，即BE＝FC＝AD.∴△AED≌△BFE≌△CDF.∴DE＝EF＝FD.∴△DEF是等邊三角形．∴△ABC∽△DEF.

ADDEAE2．證明：在△ADE和△CAB中，∵＝，∴△ADE∽△CAB(三邊成比例的兩個三角形ACABCB相似)．∴∠AED＝∠B.∴AB＝AE.

3．證明：∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE，即∠EBC＋∠C＝∠ABD＋∠DBE.又∵BE平分∠CBD，

ABAD2∴∠DBE＝∠EBC.∴∠ABD＝∠C.又∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB.∴＝.∴AB＝ACAB

AD·AC.∵AE＝AB，

2∴AE＝AD·AC.

4．解：設(shè)ts時△QBP與△ABC相似．此時AP＝2t cm，BQ＝4t cm，則PB＝(8－2t)cm.①當(dāng)

PBBQ8－2t4t△PBQ∽△ABC時，＝＝，解得t＝2，∴當(dāng)運動2 s時，△QBP與△ABC相ABBC816

似；

PBBQ8－2t4t②當(dāng)△QBP∽△ABC時，＝，解得t＝0.8，∴當(dāng)運動0.8 s時，△QBP與BCAB168△ABC相似．

點撥

1．C 點撥：△ABD∽△ACE，△BOE∽△COD，△BOE∽△BAD，△COD∽△CAE，△BOE∽△CAE，△COD∽△BAD.

DAAF22．A 點撥：∵∠ADC＝∠DFA＝90°，∠DAF＝∠DAC，∴△DAF∽△CAD.∴＝＝CAAD

AF·CA.排除D選項．同理CD＝CF·CA，DE＝AE·BE，排除B，C選項，無法得到AD＝BD·DC.故選A.

5．證明：∵BE，CD分別為邊AC，AB上的高，∴∠AEB＝∠ADC＝90°.又∠A＝∠A，

AEAB∴△AEB∽△ADC，∴.又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB. ADAC

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