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周期函數(shù)的判定方法
[HTML]<br>[/HTML] 周期函數(shù)的判定方法
羅建宇
江蘇省張家港市暨陽高級中學(xué) 215600
周期性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，近年高考對這一性質(zhì)的考查加大了檢測力度，本文給出一些常用的判斷（識別）函數(shù)周期性的方法，供讀者參考．
一、 定義法
若存在非零常數(shù) 使 對于 的定義域內(nèi)的任意 都成立，則 是周期函數(shù)，且非零常數(shù) 是 的一個(gè)周期．
二、 直觀法
若函數(shù)圖象可由某一段重復(fù)平移而銜接得到，則該函數(shù)是周期函數(shù)，且這一段圖象兩端點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差是這個(gè)函數(shù)一個(gè)周期．
三、 公式法
若 是最小正周期為 的周期函數(shù)，則 （其中 都是常數(shù)）是以 為最小正周期的周期函數(shù)．
四、 雙軸法
若兩條平行直線 都是函數(shù) 圖象的對稱軸，則 是周期函數(shù)，且 是它的一個(gè)正周期．
證：由 是函數(shù) 圖象的對稱軸，得：
又 也是函數(shù) 圖象的對稱軸，
所以，
故
因此 是周期函數(shù)，且 是它的一個(gè)正周期．
推論：圖象關(guān)于直線 對稱的偶函數(shù)必是周期函數(shù)，且 是它的一個(gè)正周期．
五、 兩點(diǎn)法
若點(diǎn) ， 都是函數(shù) 圖象的對稱中心，則 是周期函數(shù)，且 是它的一個(gè)正周期．
證：由點(diǎn) 是函數(shù) 圖象的對稱中心，得：
又點(diǎn) 是函數(shù) 圖象的對稱中心，得：
兩式相減得：
因此 是周期函數(shù)，且 是它的一個(gè)正周期．
推論：圖象關(guān)于點(diǎn) 對稱的奇函數(shù)必是周期函數(shù)，且 是它的一個(gè)正周期．
六、點(diǎn)軸法
若直線 和點(diǎn) 分別是函數(shù) 圖象的對稱軸和對稱中心，則 是周期函數(shù)，且 是它的一個(gè)正周期．
證：由 是函數(shù) 圖象的對稱軸，得：
又 是函數(shù) 圖象的對稱中心，得：
故
兩式相減整理得：
所以 是周期函數(shù)，且 是它的一個(gè)正周期．
推論1圖象關(guān)于 對稱的奇函數(shù)必是周期函數(shù)，且 是它的一個(gè)正周期．
推論2圖象關(guān)于點(diǎn) 對稱的偶函數(shù)必是周期函數(shù)，且 是它的一個(gè)正周期．
注釋：
[1]另外，若函數(shù)滿足以下常見的函數(shù)方程之一，也可判定其為周期函數(shù)．即：
(1)對任意一個(gè)實(shí)數(shù) ，都有 ，則函數(shù) 是周期函數(shù)，且 是它的一個(gè)周期；
(2)對任意一個(gè)實(shí)數(shù) ，都有 ，則函數(shù) 是周期函數(shù)，且 是它的一個(gè)周期；
(3)對任意一個(gè)實(shí)數(shù) ，都有 ，則函數(shù) 是周期函數(shù)，且 是它的一個(gè)周期．
[2]周期性的證明應(yīng)嚴(yán)格按照周期函數(shù)的定義證明，在理解函數(shù)周期性時(shí)可結(jié)合圖象從數(shù)形結(jié)合的角度直觀的觀察，即方法二；
[3]函數(shù)周期性出現(xiàn)在三角函數(shù)一章中，故方法三常用做計(jì)算函數(shù)的最小正周期，尤其是三角函數(shù)的最小正周期；
[4]后三種方法及推論便于判斷一些特殊函數(shù)和抽象函數(shù)的周期性，反映了一般的抽象函數(shù)若同時(shí)具有奇偶性和對稱性或?qū)ΨQ性（兩個(gè)對稱關(guān)系），則函數(shù)具有周期性，可結(jié)合方法二加以理解．
例1(04年全國高考17題)求函數(shù) 的最小正周期、最大值和最小值．
解析：
所以函數(shù)的最小正周期為 ，最大值是 ，最小值是 ．
例2(01年全國高考22題第(2)問)設(shè) 是定義在 上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線 對稱，證明 是周期函數(shù)．
證明：∵ 關(guān)于直線 對稱
∴ ，
又 是偶函數(shù)知 ，
∴
上式中以 代 ，得 ，
這表明 是 上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期．
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