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《一元二次方程》數(shù)學(xué)教案(精選12篇)
作為一名為他人授業(yè)解惑的教育工作者,有必要進(jìn)行細(xì)致的教案準(zhǔn)備工作,教案是保證教學(xué)取得成功、提高教學(xué)質(zhì)量的基本條件。教案應(yīng)該怎么寫才好呢?以下是小編精心整理的《一元二次方程》數(shù)學(xué)教案,僅供參考,大家一起來看看吧。
《一元二次方程》數(shù)學(xué)教案 1
【教學(xué)目的】 精選學(xué)生在解一元二次方程有關(guān)問題時出現(xiàn)的典型錯例加以剖析,幫助學(xué)生找出產(chǎn)生錯誤的原因和糾正錯誤的方法,使學(xué)生在解題時少犯錯誤,從而培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性和深刻性。
【課前練習(xí)】
1、關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0,當(dāng)a_____時,方程為一元一次方程;當(dāng) a_____時,方程為一元二次方程。
2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=_______,當(dāng)△_______時,方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根,當(dāng)△_______時,方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,當(dāng)△________時,方程沒有實(shí)數(shù)根。
【典型例題】
例1 下列方程中兩實(shí)數(shù)根之和為2的方程是()
(A) x2+2x+3=0 (B) x2-2x+3=0 (c) x2-2x-3=0 (D) x2+2x+3=0
錯答: B
正解: C
錯因剖析:由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2,極易誤選B,又考慮到方程有實(shí)數(shù)根,故由△可知,方程B無實(shí)數(shù)根,方程C合適。
例2 若關(guān)于x的方程x2+2(k+2)x+k2=0 兩個實(shí)數(shù)根之和大于-4,則k的取值范圍是( )
(A) k>-1 (B) k<0 (c) -1< k<0 (D) -1≤k<0
錯解 :B
正解:D
錯因剖析:漏掉了方程有實(shí)數(shù)根的前提是△≥0
例3(20xx廣西中考題) 已知關(guān)于x的一元二次方程(1-2k)x2-2 x-1=0有兩個不相等的實(shí)根,求k的取值范圍。
錯解: 由△=(-2 )2-4(1-2k)(-1) =-4k+8>0得 k<2又∵k+1≥0∴k≥ -1。即 k的取值范圍是 -1≤k<2
錯因剖析:漏掉了二次項(xiàng)系數(shù)1-2k≠0這個前提。事實(shí)上,當(dāng)1-2k=0即k= 時,原方程變?yōu)橐淮畏匠,不可能有兩個實(shí)根。
正解: -1≤k<2且k≠
例4 (20xx山東太原中考題) 已知x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1=0的兩個實(shí)數(shù)根,當(dāng)x12+x22=15時,求m的值。
錯解:由根與系數(shù)的關(guān)系得
x1+x2= -(2m+1), x1x2=m2+1,
∵x12+x22=(x1+x2)2-2 x1x2
。絒-(2m+1)]2-2(m2+1)
。2 m2+4 m-1
又∵ x12+x22=15
∴ 2 m2+4 m-1=15
∴ m1 = -4 m2 = 2
錯因剖析:漏掉了一元二次方程有兩個實(shí)根的前提條件是判別式△≥0。因?yàn)楫?dāng)m = -4時,方程為x2-7x+17=0,此時△=(-7)2-4×17×1= -19<0,方程無實(shí)數(shù)根,不符合題意。
正解:m = 2
例5 若關(guān)于 x的.方程(m2-1)x2-2 (m+2)x+1=0有實(shí)數(shù)根,求m的取值范圍。
錯解:△=[-2(m+2)]2-4(m2-1) =16 m+20
∵ △≥0
∴ 16 m+20≥0,
∴ m≥ -5/4
又 ∵ m2-1≠0,
∴ m≠±1
∴ m的取值范圍是m≠±1且m≥ -
錯因剖析:此題只說(m2-1)x2-2 (m+2)x+1=0是關(guān)于未知數(shù)x的方程,而未限定方程的次數(shù),所以在解題時就必須考慮m2-1=0和m2-1≠0兩種情況。當(dāng)m2-1=0時,即m=±1時,方程變?yōu)橐辉淮畏匠,仍有?shí)數(shù)根。
正解:m的取值范圍是m≥-
例6 已知二次方程x2+3 x+a=0有整數(shù)根,a是非負(fù)數(shù),求方程的整數(shù)根。
錯解:∵方程有整數(shù)根,
∴△=9-4a>0,則a<2.25
又∵a是非負(fù)數(shù),∴a=1或a=2
令a=1,則x= -3± ,舍去;令a=2,則x1= -1、 x2= -2
∴方程的整數(shù)根是x1= -1, x2= -2
錯因剖析:概念模糊。非負(fù)整數(shù)應(yīng)包括零和正整數(shù)。上面答案僅是一部分,當(dāng)a=0時,還可以求出方程的另兩個整數(shù)根,x3=0, x4= -3
正解:方程的整數(shù)根是x1= -1, x2= -2 , x3=0, x4= -3
【練習(xí)】
練習(xí)1、(01濟(jì)南中考題)已知關(guān)于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2。
。1)求k的取值范圍;
。2)是否存在實(shí)數(shù)k,使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)?如果存在,求出k的值;如果不存在,請說明理由。
解:(1)根據(jù)題意,得△=(2k-1)2-4 k2>0 解得k<
∴當(dāng)k< 時,方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。
。2)存在。
如果方程的兩實(shí)數(shù)根x1、x2互為相反數(shù),則x1+ x2=- =0,得k= 。經(jīng)檢驗(yàn)k= 是方程- 的解。
∴當(dāng)k= 時,方程的兩實(shí)數(shù)根x1、x2互為相反數(shù)。
讀了上面的解題過程,請判斷是否有錯誤?如果有,請指出錯誤之處,并直接寫出正確答案。
解:上面解法錯在如下兩個方面:
。1)漏掉k≠0,正確答案為:當(dāng)k< 時且k≠0時,方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。
。2)k= 。不滿足△>0,正確答案為:不存在實(shí)數(shù)k,使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)
練習(xí)2(02廣州市)當(dāng)a取什么值時,關(guān)于未知數(shù)x的方程ax2+4x-1=0只有正實(shí)數(shù)根 ?
解:(1)當(dāng)a=0時,方程為4x-1=0,∴x=
。2)當(dāng)a≠0時,∵△=16+4a≥0 ∴a≥ -4
∴當(dāng)a≥ -4且a≠0時,方程有實(shí)數(shù)根。
又因?yàn)榉匠讨挥姓龑?shí)數(shù)根,設(shè)為x1,x2,則:
x1+x2=- >0 ;
x1. x2=- >0 解得 :a<0
綜上所述,當(dāng)a=0、a≥ -4、a<0時,即當(dāng)-4≤a≤0時,原方程只有正實(shí)數(shù)根。
【小結(jié)】
以上數(shù)例,說明我們在求解有關(guān)二次方程的問題時,往往急于尋求結(jié)論而忽視了實(shí)數(shù)根的存在與“△”之間的關(guān)系。
1、運(yùn)用根的判別式時,若二次項(xiàng)系數(shù)為字母,要注意字母不為零的條件。
2、運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系時,△≥0是前提條件。
3、條件多面時(如例5、例6)考慮要周全。
【布置作業(yè)】
1、當(dāng)m為何值時,關(guān)于x的方程x2+2(m-1)x+ m2-9=0有兩個正根?
2、已知,關(guān)于x的方程mx2-2(m+2)x+ m+5=0(m≠0)沒有實(shí)數(shù)根。
求證:關(guān)于x的方程
。╩-5)x2-2(m+2)x + m=0一定有一個或兩個實(shí)數(shù)根。
考題匯編
1、(20xx年廣東省中考題)設(shè)x1、 x2是方程x2-5x+3=0的兩個根,不解方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系,求(x1-x2)2的值。
2、(20xx年廣東省中考題)已知關(guān)于x的方程x2-2x+m-1=0
。1)若方程的一個根為1,求m的值。
。2)m=5時,原方程是否有實(shí)數(shù)根,如果有,求出它的實(shí)數(shù)根;如果沒有,請說明理由。
3、(20xx年廣東省中考題)已知關(guān)于x的方程x2+2(m-2)x+ m2=0有兩個實(shí)數(shù)根,且兩根的平方和比兩根的積大33,求m的值。
4、(20xx年廣東省中考題)已知x1、x2為方程x2+px+q=0的兩個根,且x1+x2=6,x12+x22=20,求p和q的值。
《一元二次方程》數(shù)學(xué)教案 2
第1教時
教學(xué)內(nèi)容: 12.1 用公式解一元二次方程(一)
教學(xué)目標(biāo):
知識與技能目標(biāo):1.使學(xué)生了解一元二次方程及整式方程的意義;2.掌握一元二次方程的一般形式,正確識別二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).
過程與方法目標(biāo): 1.通過一元二次方程的引入,培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力;2.通過一元二次方程概念的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生對概念理解的完整性和深刻性.
情感與態(tài)度目標(biāo):由知識來源于實(shí)際,樹立轉(zhuǎn)化的思想,由設(shè)未知數(shù)列方程向?qū)W生滲透方程的思想方法,由此培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識.。
教學(xué)重、難點(diǎn)與關(guān)鍵:
重點(diǎn):一元二次方程的意義及一般形式.
難點(diǎn):正確識別一般式中的“項(xiàng)”及“系數(shù)”。
教輔工具:
教學(xué)程序設(shè)計:
程序
1.用電腦演示下面的操作:一塊長方形的薄鋼片,在薄鋼片的四個角上截去四個相同的小正方形,然后把四邊折起來,就成為一個無蓋的長方體盒子,演示完畢,讓學(xué)生拿出事先準(zhǔn)備好的長方形紙片和剪刀,實(shí)際操作一下剛才演示的過程.學(xué)生的實(shí)際操作,為解決下面的問題奠定基礎(chǔ),同時培養(yǎng)學(xué)生手、腦、眼并用的能力.
2.現(xiàn)有一塊長80cm,寬60cm的薄鋼片,在每個角上截去四個相同的小正方形,然后做成底面積為1500cm2的無蓋的'長方體盒子,那么應(yīng)該怎樣求出截去的小正方形的邊長?
教師啟發(fā)學(xué)生設(shè)未知數(shù)、列方程,經(jīng)整理得到方程x2-70x+825=0,此方程不會解,說明所學(xué)知識不夠用,需要學(xué)習(xí)新的知識,學(xué)了本章的知識,就可以解這個方程,從而解決上述問題.
板書:“第十二章一元二次方程”.教師恰當(dāng)?shù)恼Z言,激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)興趣.
學(xué)生看投影并思考問題
通過章前引例和節(jié)前引例,使學(xué)生真正認(rèn)識到知識來源于實(shí)際,并且又為實(shí)際服務(wù),學(xué)習(xí)了一元二次方程的知識,可以解決許多實(shí)際問題,真正體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義;產(chǎn)生用數(shù)學(xué)的意識,調(diào)動學(xué)生積極主動參與數(shù)學(xué)活動中.同時讓學(xué)生感到一元二次方程的解法在本章中處于非常重要的地位.
探究新知1
1.復(fù)習(xí)提問
。1)什么叫做方程?曾學(xué)過哪些方程?
(2)什么叫做一元一次方程?“元”和“次”的含義?
。3)什么叫做分式方程?
2.引例:剪一塊面積為150cm2的長方形鐵片使它的長比寬多5cm,這塊鐵片應(yīng)怎樣剪?
引導(dǎo),啟發(fā)學(xué)生設(shè)未知數(shù)列方程,并整理得方程x2+5x-150=0,此方程和章前引例所得到的方程x2+70x+825=0加以觀察、比較,得到整式方程和一元二次方程的概念.
整式方程:方程的兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式,這樣的方程稱為整式方程.
一元二次方程:只含有一個未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,這樣的整式方程叫做一元二次方程.
3.練習(xí):指出下列方程,哪些是一元二次方程?
(1)x(5x-2)=x(x+1)+4x2;
。2)7x2+6=2x(3x+1);
。3)
。4)6x2=x;
。5)2x2=5y;
。6)-x2=0
4.任何一個一元二次方程都可以化為一個固定的形式,這個形式就是一元二次方程的一般形式.
一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0).a(chǎn)x2稱二次項(xiàng),bx稱一次項(xiàng),c稱常數(shù)項(xiàng),a稱二次項(xiàng)系數(shù),b稱一次項(xiàng)系數(shù).
一般式中的“a≠0”為什么?如果a=0,則ax2+bx+c=0就不是一元二次方程,由此加深對一元二次方程的概念的理解.
5.例1 把方程3x(x-1)=2(x+1)+8化成一般形式,并寫出二次項(xiàng)系數(shù),一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)?
教師邊提問邊引導(dǎo),板書并規(guī)范步驟,深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式.
討論后回答
學(xué)生設(shè)未知數(shù)列方程,并整理得方程x2+5x-150=0,此方程和章前引例所得到的方程x2+70x+825=0加以觀察、比較,
獨(dú)立完成
加深理解
學(xué)生試解
問題的提出及解決,為深刻理解一元二次方程的概念做好鋪墊
反饋訓(xùn)練應(yīng)用提高
練習(xí)1:教材P.5中1,2.
練習(xí)2:下列關(guān)于x的方程是否是一元二次方程?為什么?若是一元二次方程,請分別指出其二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng):.
。4)(b2+1)x2-bx+b=2;(5)2tx(x-5)=7-4tx.
教師提問及恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo),對學(xué)生回答給出評價,通過此組練習(xí),加強(qiáng)對概念的理解和深化.
要求多數(shù)學(xué)生在練習(xí)本上筆答,部分學(xué)生板書,師生評價.題目答案不唯一,最好二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù).
小結(jié)提高
(四)總結(jié)、擴(kuò)展
引導(dǎo)學(xué)生從下面三方面進(jìn)行小結(jié).從方法上學(xué)到了什么方法?從知識內(nèi)容上學(xué)到了什么內(nèi)容?分清楚概念的區(qū)別和聯(lián)系?
1.將實(shí)際問題用設(shè)未知數(shù)列方程轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,體會知識來源于實(shí)際以及轉(zhuǎn)化為方程的思想方法.
2.整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式,二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).歸納所學(xué)過的整式方程.
3.一元二次方程的意義與一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的區(qū)別和聯(lián)系.強(qiáng)調(diào)“a≠0”這個條件有長遠(yuǎn)的重要意義.
學(xué)生討論回答
布置作業(yè)
1.教材P.6 練習(xí)2.
2.思考題:
1)能不能說“關(guān)于x的整式方程中,含有x2項(xiàng)的方程叫做一元二次方程?”
2)試說出一元三次方程,一元四次方程的定義及一般形式(學(xué)有余力的學(xué)生思考).
反思
《一元二次方程》數(shù)學(xué)教案 3
一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的知識內(nèi)容主要是以前一單元中的求根公式為基礎(chǔ)的。教材通過一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、2= 得出一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,以及以數(shù)x1、x2為根的一元二次方程的求方程模型。然后是通過4個例題介紹了利用根與系數(shù)的關(guān)系簡化一些計算的知識。例如,求方程中的特定系數(shù),求含有方程根的一些代數(shù)式的值等問題,由方程的根確定方程的系數(shù)的方法等等。
根與系數(shù)的`關(guān)系也稱為韋達(dá)定理(韋達(dá)是法國數(shù)學(xué)家)。韋達(dá)定理是初中代數(shù)中的一個重要定理。這是因?yàn)橥ㄟ^韋達(dá)定理的學(xué)習(xí),把一元二次方程的研究推向了高級階段,運(yùn)用韋達(dá)定理可以進(jìn)一步研究數(shù)學(xué)中的許多問題,如二次三項(xiàng)式的因式分解,解二元二次方程組;韋達(dá)定理對后面函數(shù)的學(xué)習(xí)研究也是作用非凡。
通過近些年的中考數(shù)學(xué)試卷的分析可以得出:韋達(dá)定理及其應(yīng)用是各地市中考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)之一。出現(xiàn)的題型有選擇題、填空題和解答題,有的將其與三角函數(shù)、幾何、二次函數(shù)等內(nèi)容綜合起來,形成難度系數(shù)較大的壓軸題。
通過韋達(dá)定理的教學(xué),可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、創(chuàng)新精神和綜合分析數(shù)學(xué)問題的能力,也為學(xué)生今后學(xué)習(xí)方程理論打下基礎(chǔ)。
(二)重點(diǎn)、難點(diǎn)
一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是重點(diǎn),讓學(xué)生從具體方程的根發(fā)現(xiàn)一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系,并用語言表述,以及由一個已知方程求作新方程,使新方程的根與已知的方程的根有某種關(guān)系,比較抽象,學(xué)生真正掌握有一定的難度,是教學(xué)的難點(diǎn)。
(三)教學(xué)目標(biāo)
1、知識目標(biāo):要求學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式,能運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系由已知一元二次方程的一個根求出另一個根與未知數(shù),會求一元二次方程兩個根的倒數(shù)和與平方數(shù),兩根之差。
《一元二次方程》數(shù)學(xué)教案 4
【教學(xué)目標(biāo)】
(1)理解一元二次方程的概念
(2)掌握一元二次方程的一般形式,會判斷一元二次方程的'二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。
(2)會用因式分解法解一元二次方程
【教學(xué)重點(diǎn)】
一元二次方程的概念、一元二次方程的一般形式
【教學(xué)難點(diǎn)】
因式分解法解一元二次方程
【教學(xué)過程】
。ㄒ唬﹦(chuàng)設(shè)情景,引入新課
實(shí)際例子引入:列出的方程分別為X-7x+8=0,(X-7)(X+1)=89,X+8X-9=0
由學(xué)生說出這幾個方程的共同特征,從而引出一元二次方程的概念。
。ǘ┬率
1:一元二次方程的概念。(一個未知數(shù)、最高次2次、等式兩邊都是整式)
2:一元二次方程的一般形式(形如aX+bX+c=0)
任一個一元二次方程都可以轉(zhuǎn)化成一般形式,注意二次項(xiàng)系數(shù)不為零
3:講解例子
4:利用因式分解法解一元二次方程
5:講解例子
6:一般步驟
。ㄈ┬〗Y(jié)
。ㄋ模┎贾米鳂I(yè)
《一元二次方程》數(shù)學(xué)教案 5
一、教學(xué)目標(biāo)
【知識與技能】
掌握應(yīng)用因式分解的方法,會正確求一元二次方程的解。
【過程與方法】
通過利用因式分解法將一元二次方程轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程的過程,體會“等價轉(zhuǎn)化”“降次”的數(shù)學(xué)思想方法。
【情感態(tài)度價值觀】
通過探討一元二次方程的解法,體會“降次”化歸的思想,逐步養(yǎng)成主動探究的精神與積極參與的意識。
二、教學(xué)重難點(diǎn)
【教學(xué)重點(diǎn)】
運(yùn)用因式分解法求解一元二次方程。
【教學(xué)難點(diǎn)】
發(fā)現(xiàn)與理解分解因式的方法。
三、教學(xué)過程
(一)導(dǎo)入新課
復(fù)習(xí)回顧:和學(xué)生一起回憶平方差、完全平方公式,以及因式分解的常用方法。
(二)探究新知
問題1:一個數(shù)的平方與這個數(shù)的3倍有可能相等嗎?如果相等,這個數(shù)是幾?你是怎樣求出來的?
學(xué)生小組討論,探究后,展示三種做法。
問題:小穎用的什么法?——公式法
小明的解法對嗎?為什么?——違背了等式的性質(zhì),x可能是零。
小亮的解法對嗎?其依據(jù)是什么——兩個數(shù)相乘,如果積等于零,那么這兩個數(shù)中至少有一個為零。
問題2:學(xué)生探討哪種方法對,哪種方法錯;錯的原因在哪?你會用哪種方法簡便]
師引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論:
如果a·b=0,那么a=0或b=0
(如果兩個因式的積為零,則至少有一個因式為零,反之,如果兩個因式有一個等于零,它們的積也就等于零。)
“或”有下列三層含義
、賏=0且b≠0②a≠0且b=0③a=0且b=0
問題3:
(1)什么樣的一元二次方程可以用因式分解法來解?
(2)用因式分解法解一元二次方程,其關(guān)鍵是什么?
(3)用因式分解法解一元二次方程的理論依據(jù)是什么?
(4)用因式分解法解一元二方程,必須要先化成一般形式嗎?
因式分解法:當(dāng)一元二次方程的'一邊是0,而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時,我們就可以用分解因式的方法求解。這種用分解因式解一元二次方程的方法稱為因式分解法。
老師提示:
1.用分解因式法的條件是:方程左邊易于分解,而右邊等于零;
2.關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的知識;
3.理論依舊是“如果兩個因式的積等于零,那么至少有一個因式等于零。”
(三)鞏固提高
1.用分解因式法解下列方程嗎?
總結(jié):右化零,左分解,兩因式,各求解。
(四)小結(jié)作業(yè)
用因式分解法求解一元二次方程的步驟:
1.方程化為一般形式;
2.方程左邊因式分解;
3.至少一個一次因式等于零得到兩個一元一次方程;
4.兩個一元一次方程的解就是原方程的解。
《一元二次方程》數(shù)學(xué)教案 6
教學(xué)內(nèi)容
根據(jù)面積與面積之間的關(guān)系建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型并解決這類問題.
教學(xué)目標(biāo)
掌握面積法建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用它解決實(shí)際問題.
利用提問的方法復(fù)習(xí)幾種特殊圖形的面積公式來引入新課,解決新課中的問題.
重難點(diǎn)關(guān)鍵
1.重點(diǎn):根據(jù)面積與面積之間的等量關(guān)系建立一元二元方程的數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用它解決實(shí)際問題.
2.難點(diǎn)與關(guān)鍵:根據(jù)面積與面積之間的等量關(guān)系建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型.
教學(xué)過程
一、復(fù)習(xí)引入
1.直角三角形的面積公式是什么?一般三角形的面積公式是什么呢?
2.正方形的面積公式是什么呢?長方形的面積公式又是什么?
3.梯形的面積公式是什么?
4.菱形的'面積公式是什么?
5.平行四邊形的面積公式是什么?
6.圓的面積公式是什么?
二、探索新知
現(xiàn)在,我們根據(jù)剛才所復(fù)習(xí)的面積公式來建立一些數(shù)學(xué)模型,解決一些實(shí)際問題.
例1.某林場計劃修一條長750m,斷面為等腰梯形的渠道,斷面面積為1.6m2,上口寬比渠深多2m,渠底比渠深多0.4m.
(1)渠道的上口寬與渠底寬各是多少?
。2)如果計劃每天挖土48m3,需要多少天才能把這條渠道挖完?
分析:因?yàn)榍钭钚。瑸榱吮阌谟嬎,不妨設(shè)渠深為xm,則上口寬為x+2,渠底為x+0.4,那么,根據(jù)梯形的面積公式便可建模.
解:(1)設(shè)渠深為xm
則渠底為(x+0.4)m,上口寬為(x+2)m
依題意,得: (x+2+x+0.4)x=1.6
整理,得:5x2+6x-8=0
解得:x1= =0.8m,x2=-2(舍)
∴上口寬為2.8m,渠底為1.2m.
。2) =25天
答:渠道的上口寬與渠底深各是2.8m和1.2m;需要25天才能挖完渠道.
例2.如圖,要設(shè)計一本書的封面,封面長27cm,寬21cm,正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形,如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一,上、下邊襯等寬,左、右邊襯等寬,應(yīng)如何設(shè)計四周邊襯的寬度(精確到0.1cm)?
《一元二次方程》數(shù)學(xué)教案 7
一、素質(zhì)教育目標(biāo)
。ㄒ唬┲R教學(xué)點(diǎn):
1.使學(xué)生了解一元二次方程及整式方程的意義;
2.掌握一元二次方程的一般形式,正確識別二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).
。ǘ┠芰τ(xùn)練點(diǎn):
1.通過一元二次方程的引入,培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力;
2.通過一元二次方程概念的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生對概念理解的完整性和深刻性.
(三)德育滲透點(diǎn):由知識來源于實(shí)際,樹立轉(zhuǎn)化的思想,由設(shè)未知數(shù)列方程向?qū)W生滲透方程的思想方法,由此培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識.
二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
1.教學(xué)重點(diǎn):一元二次方程的意義及一般形式.
2.教學(xué)難點(diǎn):正確識別一般式中的“項(xiàng)”及“系數(shù)”.
三、教學(xué)步驟
(一)明確目標(biāo)
1.用電腦演示下面的操作:一塊長方形的薄鋼片,在薄鋼片的四個角上截去四個相同的小正方形,然后把四邊折起來,就成為一個無蓋的長方體盒子,演示完畢,讓學(xué)生拿出事先準(zhǔn)備好的長方形紙片和剪刀,實(shí)際操作一下剛才演示的過程.學(xué)生的實(shí)際操作,為解決下面的問題奠定基礎(chǔ),同時培養(yǎng)學(xué)生手、腦、眼并用的能力.
2.現(xiàn)有一塊長80cm,寬60cm的薄鋼片,在每個角上截去四個相同的小正方形,然后做成底面積為1500cm2的無蓋的長方體盒子,那么應(yīng)該怎樣求出截去的`小正方形的邊長?
教師啟發(fā)學(xué)生設(shè)未知數(shù)、列方程,經(jīng)整理得到方程x2-70x+825=0,此方程不會解,說明所學(xué)知識不夠用,需要學(xué)習(xí)新的知識,學(xué)了本章的知識,就可以解這個方程,從而解決上述問題.
板書:“第十二章一元二次方程”.教師恰當(dāng)?shù)恼Z言,激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)興趣.
。ǘ┱w感知
通過章前引例和節(jié)前引例,使學(xué)生真正認(rèn)識到知識來源于實(shí)際,并且又為實(shí)際服務(wù),學(xué)習(xí)了一元二次方程的知識,可以解決許多實(shí)際問題,真正體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義;產(chǎn)生用數(shù)學(xué)的意識,調(diào)動學(xué)生積極主動參與數(shù)學(xué)活動中.同時讓學(xué)生感到一元二次方程的解法在本章中處于非常重要的地位.
(三)重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)及目標(biāo)完成過程
復(fù)習(xí)提問
。1)什么叫做方程?曾學(xué)過哪些方程?
。2)什么叫做一元一次方程?
《一元二次方程》數(shù)學(xué)教案 8
教學(xué)目的
使學(xué)生掌握有關(guān)面積和體積方面以及“藥液問題”的一元二次方程應(yīng)用題的解法.提高學(xué)生化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題的能力.
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn):用圖示法分析題意列方程.
難點(diǎn):將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為對方程的求解問題.教學(xué)過程 復(fù)習(xí)提問
本小節(jié)第一課我們介紹了什么問題?
引入新課
今天我們進(jìn)一步研究有關(guān)面積和體積方面以及“藥液問題”的一元二次方程的應(yīng)用題及其解法.
新課
例1 如圖1,有一塊長25c,寬15c的長方形鐵皮.如果在鐵皮的四個角上截去四個相同的小正方形,然后把四邊折起來,做成一個底面積為231c2的無蓋長方體盒子,求截去的小正方形的邊長應(yīng)是多少?
分析:如圖1,考慮設(shè)截去的小正方形邊長為xc,則底面的長為(25-2x)c,寬為(15-2x)c,由此,知由長×寬=矩形面積,可列出方程.
解:設(shè)小正方形的邊長為xc,依題意,得(25-2x)(15-2x)=231,
即x2-20x+36=0,
解得x1=2,x2=18(舍去).
答:截去的小正方形的邊長為2c.
例2 一個容器盛滿藥液20升,第一次倒出若干升,用水加滿;第二次倒出同樣的升數(shù),這時容器里剩下藥液5升,問每次倒出藥液多少升?
∴x=10.
答:第一、二次倒出藥液分別為10升,5升.
練習(xí) P41 3、4
歸納總結(jié)
1.注意充分利用圖示列方程解有關(guān)面積和體積的應(yīng)用題.
2.要注意關(guān)于“藥液問題”應(yīng)用題,列方程要以“剩下藥液”為依據(jù)列式.
布置作業(yè):習(xí)題22.3 8、9題
課后反思
第三課時
教學(xué)目的
使學(xué)生掌握列一元二次方程解關(guān)于增長率的應(yīng)用題的`方法.并進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn):弄清有關(guān)增長率的數(shù)量關(guān)系.
難點(diǎn):利用數(shù)量關(guān)系列方程的方法.
教學(xué)過程
復(fù)習(xí)提問
1.問題:(1)某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,產(chǎn)品總數(shù)為1600個,合格品數(shù)為1563個,合格率是多少?
(2)某種田農(nóng)戶用800千克稻谷碾出600千克大米,問出米率是多少?
(3)某商店二月份的營業(yè)額為3.5萬元,三月份的營業(yè)額為5萬元,三月份與二月份相比,營業(yè)額的增長率是多少?
新課
例1 某鋼鐵廠去年一月份某種鋼的產(chǎn)量為5000噸,三月份上升到7200噸,這兩個月平均每月增產(chǎn)的百分率是多少?
分析:用譯式法討論列式
一月份產(chǎn)量為5000噸,若月增長率為x,則二月份比一月份增產(chǎn)5000x噸.
二月份產(chǎn)量為(5000+5000x)=5000(1+x)噸;
三月份比二月份增產(chǎn)5000(1+x)x噸,
三月份產(chǎn)量為5000(1+x)+5000(1+x)x=5000(1+x)2噸.再根據(jù)題意,即可列出方程.
解:設(shè)平均每月增長的百分率為x,根據(jù)題意,
得5000(1+x)2=7200,即(1+x)2=1.44,
∴1+x=±1.2,x1=0.2,x2=-2.2(不合題意,舍去).
答:平均每月增長率為20%.
例2 某印刷廠一月份印刷了科技書籍50萬冊,第一季度共印182萬冊,問二、三月份平均每月的增長率是多少?
解:設(shè)每月增長率為x,依題意得
50+50(1+x)+50(1+x)2=182,
答:二、三月份平均月增長率為20%.
歸納總結(jié)
依題意,依增長情況列方程是此類題目解題的關(guān)鍵.
布置作業(yè):習(xí)題22.3 7題
《一元二次方程》數(shù)學(xué)教案 9
教學(xué)
目標(biāo)
知識與能力:1.理解一元二次方程根的判別式。
2.掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
3.同學(xué)們掌握一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用.了解一元二次方程的分式方程。
過程與方法:培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力以及推理論證能力。
情感與價值觀:滲透分類的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)的簡潔美;培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)作精神。
重、難點(diǎn)
重點(diǎn):根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程的應(yīng)用。
難點(diǎn):一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用。
一、導(dǎo)入新課、揭示目標(biāo)
1.理解一元二次方程根的判別式。
2.掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
3.掌握一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用.
二、自學(xué)提綱:
一.主要讓學(xué)生能理解一元二次方程根的判別式:
1.判別式在什么情況下有兩個不同的`實(shí)數(shù)根?
2.判別式在什么情況下有兩個相同的實(shí)數(shù)根?
3.判別式在什么情況下無實(shí)數(shù)根?
二.ax2+bx+c=o(a≠0)的兩個根為x1.x2那么
X1+x2=-x1x2=
三.一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用。根據(jù)不同的類型的問題.列出不同類型的方程.
三.合作探究.解決疑難
例1已知關(guān)于x的方程x2+2x=k-1沒有實(shí)數(shù)根.試判別關(guān)于x的方程x2+kx=1-k的根的情況。
鞏固提高:
已知在等腰中,BC=8.AB.AC的長是關(guān)于x的方程x2-10x+m=0的兩個實(shí)數(shù)根.求的周長
例題2:
.已知:x1.x2是關(guān)于x的方程x2+(2a-1)x+a2=0的兩個實(shí)數(shù)根.且(x1+2)(x2+2)=11.求a的值。
.鞏固提高:
已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m-1=0.
。1)求證:不論m為任何實(shí)數(shù).方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)若方程兩根為x1.x2.且滿足
求m的值。\
例3某電腦銷售商試銷一品牌電腦(出廠為3000元/臺),以4000元/臺銷售時,平均每月銷售100臺.現(xiàn)為了擴(kuò)大銷售,銷售商決定降價銷售,在原來1月份平均銷售量的基礎(chǔ)上,經(jīng)2月份的市場調(diào)查,3月份調(diào)整價格后,月銷售額達(dá)到576000元.已知電腦價格每臺下降100元,月銷售量將上升10臺,
(1)求1月份到3月份銷售額的平均增長率:
(2)求3月份時該電腦的銷售價格.
練習(xí):某商場銷售一批名牌襯衫,平均每天可售出20件,每件贏利40元。為了擴(kuò)大銷售,增加利潤,商場決定采取適當(dāng)降價措施。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件襯衫每降價1元,商場平均每天可多售出2件。
1)若商場平均每天要贏利1200元,則每件襯衫應(yīng)降價多少元?
則降價多少元?
四、小結(jié)這節(jié)課同學(xué)有什么收獲?同學(xué)互相交流?
五、布置作業(yè):課前課后P10-12
《一元二次方程》數(shù)學(xué)教案 10
一、教材分析:
1、教材所處的地位:此前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了應(yīng)用一元一次方程與二元一次方程組來解決實(shí)際問題。本節(jié)仍是進(jìn)一步討論如何建立和利用一元二次方程模型來解決實(shí)際問題,只是在問題中數(shù)量關(guān)系的復(fù)雜程度上又有了新的發(fā)展。
2、教學(xué)目標(biāo)要求:
(1)能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系,列出一元二次方程,體會方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個有效的數(shù)學(xué)模型;
。2)能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義,檢驗(yàn)結(jié)果是否合理;
(3)經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為代數(shù)問題的過程,探索問題中的數(shù)量關(guān)系,并能運(yùn)用一元二次方程對之進(jìn)行描述;
。4)通過用一元二次方程解決身邊的問題,體會數(shù)學(xué)知識應(yīng)用的價值,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,了解數(shù)學(xué)對促進(jìn)社會進(jìn)步和發(fā)展人類理性精神的作用。
3、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn):
重點(diǎn):列一元二次方程解與面積有關(guān)問題的應(yīng)用題。
難點(diǎn):發(fā)現(xiàn)問題中的等量關(guān)系。
二.教法、學(xué)法分析:
1、本節(jié)課的設(shè)計中除了探究3教師參與多一些外,其余時間都堅(jiān)持以學(xué)生為主體,充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性。教學(xué)過程中,教師只注重點(diǎn)、引、激、評,注重學(xué)生探究能力的培養(yǎng)。還課堂給學(xué)生,讓學(xué)生去親身體驗(yàn)知識的產(chǎn)生過程,拓展學(xué)生的創(chuàng)造性思維。同時,注意加強(qiáng)對學(xué)生的啟發(fā)和引導(dǎo),鼓勵培養(yǎng)學(xué)生們大膽猜想,小心求證的'科學(xué)研究的思想。
2、本節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)的關(guān)鍵所在,是如何尋求、抓準(zhǔn)問題中的數(shù)量關(guān)系,從而準(zhǔn)確列出方程來解答。因此課堂上從審題,找到等量關(guān)系,列方程等一系列活動都由生生交流,兵教兵從而達(dá)到發(fā)展學(xué)生思維能力和自學(xué)能力的目的,發(fā)掘?qū)W生的創(chuàng)新精神。
三.教學(xué)流程分析:
本節(jié)課是新授課,根據(jù)學(xué)生的知識結(jié)構(gòu),整個課堂教學(xué)流程大致可分為:
活動1復(fù)習(xí)回顧解決課前參與
活動2封面設(shè)計問題的探究
活動3草坪規(guī)劃問題的延伸
活動4課堂回眸
這一流程體現(xiàn)了知識發(fā)生、形成和發(fā)展的過程,讓學(xué)生體會到觀察、猜想、歸納、驗(yàn)證的思想和數(shù)形結(jié)合的思想。
活動1復(fù)習(xí)回顧解決課前參與
由學(xué)生展示課前參與題目,集體訂正。目的在于回顧常用幾何圖形的面積公式,并且引出本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容——面積問題。
活動2封面設(shè)計問題的探究
通過學(xué)生自己獨(dú)立審題,找尋等量關(guān)系,教師引導(dǎo)學(xué)生對“正中央矩形與封面長寬比例相同”題意的理解,使學(xué)生明白中央矩形長寬比為9:7,從而進(jìn)一步突破難點(diǎn):上下邊襯與左右邊襯比也為9:7,為學(xué)生設(shè)未知數(shù)提供幫助。之后由學(xué)生分組完成方程的列法,以及取法。講解中注重簡便設(shè)法及解法的指導(dǎo)與評價。
活動3草坪規(guī)劃問題的延伸
放手給學(xué)生處理,以學(xué)生合作完成為主。突出利用平移變換為主的解決方式。多由學(xué)生分析不同的處理方法。
活動4課堂回眸
本課小結(jié)從內(nèi)容、應(yīng)用、數(shù)學(xué)思想方法,獲取知識的途徑等幾個方面展開,既有知識的總結(jié),又有方法的提煉,這樣對于學(xué)生學(xué)知識,用知識是有很大的促進(jìn)的。方法以學(xué)生暢談收獲為主。
《一元二次方程》數(shù)學(xué)教案 11
教學(xué)內(nèi)容:
本節(jié)內(nèi)容是:
人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)九年級上冊
第22章第2節(jié)第1課時。
一、教學(xué)目標(biāo)
(一)知識目標(biāo)
1、理解求解一元二次方程的實(shí)質(zhì)。
2、掌握解一元二次方程的配方法。
(二)能力目標(biāo)
1、體會數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想。
2、能根據(jù)配方法解一元二次方程的一般步驟解一元二次方程。
。ㄈ┣楦袘B(tài)度及價值觀
通過用配方法將一元二次方程變形的過程,讓學(xué)生進(jìn)一步體會轉(zhuǎn)化的思想方法,并增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
二、教學(xué)重點(diǎn)
配方法解一元二次方程的一般步驟
三、教學(xué)難點(diǎn)
具體用配方法的一般步驟解一元二次方程。
四、知識考點(diǎn)
運(yùn)用配方法解一元二次方程。
五、教學(xué)過程
。ㄒ唬⿵(fù)習(xí)引入
1、復(fù)習(xí):
解一元一次方程的一般步驟:(1)去分母;(2)去括號;(3)移項(xiàng);(4)合并同類項(xiàng);(5)系數(shù)化為1。
2、引入:
二次根式的意義:若x2=a (a為非負(fù)數(shù)),則x叫做a的平方根,即x=±√a 。實(shí)際上,x2 =a(a為非負(fù)數(shù))就是關(guān)于x的一元二次方程,求x的平方根就是解一元二次方程。
。ǘ┬抡n探究
通過實(shí)際問題的解答,引出我們所要學(xué)習(xí)的知識點(diǎn)。通過問題吸引學(xué)生的注
意力,引發(fā)學(xué)生思考。
問題1:
一桶某種油漆可刷的面積為1500dm2李林用這桶油漆剛好刷完10個同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱長嗎?
問題1重在引出用直接開平方法解一元二次方程。這一問題學(xué)生可通過“平方根的意義”的講解過程具體的`解答出來,
具體解題步驟:2解:設(shè)正方體的棱長為x dm,則一個正方體的表面積為6xdm2
列出方程:60x2=1500
x2=25
x=±5
因?yàn)閤為棱長不能為負(fù)值,所以x=5
即:正方體的棱長為5dm。
1、用直接開平方法解一元二次方程
。1)定義:運(yùn)用平方根的定義直接開方求出一元二次方程解。
。2)備注:用直接開平方法解一元二次方程,實(shí)質(zhì)是把一個一元二次方程“降次”,轉(zhuǎn)化為兩個一元二次方程來求方程的根。
問題2:
要使一塊矩形場地的長比寬多6cm,并且面積為16㎡,場地的長和寬應(yīng)各為多少?
問題2重在引出用配方法解一元二次方程。而問題2應(yīng)該大部分同學(xué)都不會,所以由我來具體的講解。主要通過與完全平方式對比逐步解這個方程。再由這個方程的求解過程師生共同總結(jié)出配方法解一元二次方程的一般步驟。讓學(xué)生加深映像。
具體解題步驟:
解:設(shè)場地寬x m,長(x +6)m。
列方程: x(x +6)=16
即: x2+6x-16=0
x2+6x=16
x2+6x+9=16+9
(1)有實(shí)根(2)有兩正根(3)一正一負(fù)
變式題:m為何實(shí)數(shù)值時,關(guān)于x的方程x2?mx?(3?m)?0有兩個大于1的根.
例2. 若8x4+8(a-2)x2-a+5>0對于任意實(shí)數(shù)x均成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
例3.關(guān)于x的方程ax?2x?1?0至少有一個負(fù)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。
課堂小練習(xí):
【布置作業(yè)】
省略
《一元二次方程》數(shù)學(xué)教案 12
一、教學(xué)目標(biāo):
1.經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程,體會方程與函數(shù)之間的聯(lián)系.
2.理解拋物線交x軸的點(diǎn)的個數(shù)與一元二次方程的根的個數(shù)之間的'關(guān)系,理解何時方程有兩個不等的實(shí)根、兩個相等的實(shí)數(shù)和沒有實(shí)根.
3.能夠利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根。
二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn):
教學(xué)重點(diǎn):
1.體會方程與函數(shù)之間的聯(lián)系。
2.能夠利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似根。
教學(xué)難點(diǎn):
1.探索方程與函數(shù)之間關(guān)系的過程。
2.理解二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個數(shù)與一元二次方程的根的個數(shù)之間的關(guān)系。
三、教學(xué)方法:啟發(fā)引導(dǎo) 合作交流
四:教具、學(xué)具:課件
五、教學(xué)媒體:計算機(jī)、實(shí)物投影。
六、教學(xué)過程:
檢查預(yù)習(xí) 引出課題
預(yù)習(xí)作業(yè):
1.解方程:(1)x2+x-2=0; (2) x2-6x+9=0; (3) x2-x+1=0; (4) x2-2x-2=0.
2. 回顧一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系,利用函數(shù)的圖象求方程3x-4=0的解.
師生行為:教師展示預(yù)習(xí)作業(yè)的內(nèi)容,指名回答,師生共同回顧舊知,教師做出適當(dāng)總結(jié)和評價。
教師重點(diǎn)關(guān)注:學(xué)生回答問題結(jié)論準(zhǔn)確性,能否把前后知識聯(lián)系起來,2題的格式要規(guī)范。
設(shè)計意圖:這兩道預(yù)習(xí)題目是對舊知識的回顧,為本課的教學(xué)起到鋪墊的作用,1題中的三個方程是課本中觀察欄目中的三個函數(shù)式的變式,這三個方程把二次方程的根的三種情況體現(xiàn)出來,讓學(xué)生回顧二次方程的相關(guān)知識;2題是一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系的問題,這題的設(shè)計是讓學(xué)生用學(xué)過的熟悉的知識類比探究本課新知識。
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