“排列組合常見的解題策略”課例分析

----構造模型策略

一、教材分析

排列和組合是數(shù)學基礎知識的重要組成部分之一，它在解決實際問題以及科學技術的研究中都有廣泛的應用；在排列組合問題中充分體現(xiàn)了分類、化歸的數(shù)學思想。它應用性強，具有題型多變，條件隱晦，思維抽象，分類復雜，問題交錯，易出現(xiàn)重復和遺漏以及不易發(fā)現(xiàn)錯誤等特征。因而在這部分教學中，應充分調動學生的積極性，強調學生的主體作用，明確基本原理，注重思維過程的分析，讓學生在問題解決的過程中不斷反思探索規(guī)律，體驗成功，從而提升學生的思維能力。

二、學情分析

高二(1)班的同學素質高，思維活躍，其中十幾位同學參加數(shù)學奧賽輔導，學習數(shù)學態(tài)度端正，興趣濃厚，有較強的數(shù)學能力和積極主動的學習精神。

三、教學目的

1、認知目標：

使學生進一步理解并掌握處理排列組合問題的基本策略，進一步體會分類與化歸的數(shù)學思想方法以及分析與解決問題的能力，培養(yǎng)學生的探索創(chuàng)新意識。

2、技能目標：

充分發(fā)揮教師的主導和學生的主體作用，使學生的自主意識、自學能力、探索創(chuàng)新意識得到發(fā)展。

3、情感目標：

培養(yǎng)學生的自信心和學習興趣，樹立實事求是的科學態(tài)度和不怕困難的進取精神，積極探索，進而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力。

四、教法分析

根據(jù)排列組合的知識特點“條件隱晦，思維抽象”，在教學中采用發(fā)現(xiàn)法，堅持“思路教學”，深鉆教材，注意從實驗入手，模擬發(fā)現(xiàn)，從特殊到一般，歸納出一般的規(guī)律，優(yōu)化學生的思路，激活學生的思維。

五、教學過程 分析

1、復習思考

（1）處理排列組合問題的常見解題策略

(提問學生作答)

問題一、街道旁有編號1、2、3、4、5、6、7、8、9、10共十只路燈，為節(jié)約用電又不影響照明，可以把其中的三只燈相滅，但不能同時熄滅相鄰兩只，在兩端的兩只路燈不熄滅的情況下，問不同的熄燈方法有多少種?

①通過復習提問總結解決排列組合問題的基本思路和方法。

②設置問題情景，激發(fā)學生的學習欲望。通過引導，學生得出多種解法，從而優(yōu)化思維，發(fā)現(xiàn)規(guī)律為構造數(shù)學模型一做好鋪墊。

2、創(chuàng)設情景

練習（1）：四個相同蘋果分給三個人，沒人至少一個，有多少種分配方案?(提問，多解)，電腦演示。

（2）：把六個名額分給三個班級，沒班至少一個名額，有多少種分法?(提問多解)，電腦演示，介紹插板法。

鞏固創(chuàng)設情景。

體現(xiàn)化歸思想，并將問題發(fā)散，從不同角度展示出問題的共性，給學生自主發(fā)現(xiàn)、探索的空間，引入“插板”這一解決問題的策略。

3、提出猜想

你能編一道與本題意思相近的習題或將本題推廣嗎?

學生是學習的主體，是課堂教學的探索者、發(fā)現(xiàn)者和創(chuàng)造者，讓他們的智慧火花充分閃亮。

4、探得索出分結析論

模型一：把n個相同的小球放入m個不同的盒子中，要求每盒至少有一個球，問有多少種不同的方法?

歸納出共性，推廣到一般，抽象出數(shù)學模型，使學生的思維得到提升。

5、問題解決進一步推廣

練習：(分組討論)

（1）求方程x+y+z=16的正整數(shù)解的組數(shù)。

（2）15個蘋果分給三個人，每人至少兩個，有多少種分法?

（3）把二十個相同的小球放入編號為1、2、3、4、的四個盒子中，要求每個盒子中的小球數(shù)目不少于編號數(shù)，求不同的放法種數(shù)。

弄清問題本質，將問題轉化為模型，并能應用模型解決問題。

6、新情境設計

（1）第二小題條件改為每人至少三個，有多少種分法?

（2）學生總結規(guī)律。

（3）如果條件改為每人分得蘋果個數(shù)不限，有多少種分法種數(shù)?

（4）你能將本題推廣嗎?

（5）改變條件提出新問題，讓學生有一個再發(fā)現(xiàn)，再創(chuàng)造的過程。

（6）培養(yǎng)學生自主探索創(chuàng)新意識。

7、探索分析

用電腦演示每人至少分得一個蘋果、二個蘋果和三個蘋果的情形，并由學生總結規(guī)律。體現(xiàn)從特殊到一般的思維方法，模擬發(fā)現(xiàn)，激勵探索，激活思路。

8、得出結論

模型二、把n個相同的小球放入m個不同盒子(n≥m≥1)，每個盒子容量不限，有多少種不同方法?

比較差異，將模型一進一步推廣，使學生在“好奇”中產生“內驅力”，進而產生不斷探索的愿望。

9、問題

（1）中日圍棋擂臺賽規(guī)定各國各出7名隊員，按事先排好的順序出場參加圍棋擂臺賽，雙方先由1號隊員比賽，負者被淘汰，勝者再與負方2號隊員比賽…，直到有一方隊員全被淘汰為止，另一方獲得勝利，形成一個比賽過程，試求中方獲勝的所有可能出現(xiàn)的比賽過程的種數(shù)?

（2）從7個學校選出12人組成足球聯(lián)隊，要求每校至少有一個人參加，問各校名額分配共有多少種不同情況?

將問題綜合，讓學生分享探索帶來的成果，感受問題解決的成功喜悅，同時也使他們進一步掌握分類的數(shù)學思想和化歸的方法，激發(fā)探索的欲望。

10、小結

小結：回顧上述幾個例題的解答過程，我們可以看到一個共同的特點，就是利用一一對應關系將一種不易直接求得其數(shù)目的計數(shù)模式轉化為另一種易于計算的模式，從而收到了簡化問題的效果，可以說，這種通過建立一一對應關系而化難為易的方法是數(shù)學中一種常用的方法，并且在代數(shù)問題發(fā)揮著極大的作用。另外，我們還推出了兩個模型，大家回去后希繼續(xù)對這個模型進行研究，掌握這個模型的各種變化，并要善于把各種具體問題歸結成這個模型的某一種方式，那么解排列組合問題就有了一定的規(guī)律可循了。

六、課題后記

1、本著堅持以學生是探索發(fā)現(xiàn)的主體這一教學原則，教師的角色從知識的傳播者轉化為學生主動學習，主動探索的引導者和促進者：學生以被動接受知識轉到主動參與，在討論探索中獲取知識。學生在教師的適時點撥下，通過自己動腦，探索出兩個模型。由于學生親自品嘗了自己發(fā)現(xiàn)的樂趣，更激起了他們強烈的求知欲和創(chuàng)造欲。

2、體現(xiàn)循序漸進原則。本課例的例題，練習題的安排體現(xiàn)了思維的階梯性，一步一個臺階，逐步引向深入。由于問題處在學生思維水平的“最近發(fā)展區(qū)”，因而為學生提供了自由想象的空間，最后指引學生進行變式練習，提出了新的探索目標，從而滿足了不同層次學生的需要，充分體現(xiàn)了數(shù)學素質教育的思想。同時充分肯定學生的每一點進步，使學生增強學好數(shù)學的信心。

3、通過現(xiàn)代化教育技術，以電腦動畫方式模擬思維的動態(tài)過程，將抽象內容形象化，激發(fā)學生興趣，培養(yǎng)學生觀察、分析和抽象概括能力。學生的“再發(fā)現(xiàn)”不是放任自流，而是在教師精心設計教學過程 ，創(chuàng)設問題情境，讓學生自己從知識的發(fā)生，發(fā)展過程中去發(fā)現(xiàn)新知識，認識新知識，從而積極主動地參與學習，充分體現(xiàn)教師的主導作用。

4、層層建構，分層遞進，引導學生逐步深入，符合學生的認知特點使學生易于理解，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神，優(yōu)化學生的思維品質。解決重點，突破難點，通過分層遞進，既可照顧后進生，又可促進優(yōu)等生，達到面向全體學生的目的，使不同的學生都能得到發(fā)展。

七、點評

學習數(shù)學的過程是知識建構的過程，是思維訓練的過程。本節(jié)課充分發(fā)揮學生的主體作用，通過精心設計問題，讓學生去探索，發(fā)現(xiàn)從特殊到一般，歸納規(guī)律，構造數(shù)學模型，掌握分類的數(shù)學思想和化歸的方法，分層遞進不斷深化。課堂思維密度大，高潮迭起，是培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力和課堂開展研究性學習的典型范例。

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