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“互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系”教學(xué)案例
一、教學(xué)過程
1．復(fù)習(xí)。
反函數(shù)的概念、反函數(shù)求法、互為反函數(shù)的函數(shù)定義域值域的關(guān)系。
求出函數(shù)y＝x3的反函數(shù)。
2．新課。
先讓學(xué)生用幾何畫板畫出y＝x3的圖象，學(xué)生紛紛動手，很快畫出了函數(shù)的圖象。有部分學(xué)生發(fā)出了“咦”的一聲，因為他們得到了如下的圖象（圖1）：
教師在畫出上述圖象的學(xué)生中選定生1，將他的屏幕內(nèi)容通過教學(xué)系統(tǒng)放到其他同學(xué)的屏幕上，很快有學(xué)生作出反應(yīng)。
生2：這是y＝x3的反函數(shù)y＝的圖象。
師：對，但是怎么會得到這個圖象，請大家討論。
（學(xué)生展開討論，但找不出原因。）
師：我們請生1再給大家演示一下，大家?guī)退艺以颉?/p>
（生1將他的制作過程重新重復(fù)了一次。）
生3：問題出在他選擇的次序不對。
師：哪個次序？
生3：作點Ｂ前，選擇xA和xA3為Ｂ的坐標(biāo)時，他先選擇xA3，后選擇xA，作出來的點的坐標(biāo)為（xA3，xA），而不是（xA，xA3）。
師：是這樣嗎？我們請生1再做一次。
（這次生1在做的過程中，按xA、xA3的次序選擇，果然得到函數(shù)y＝x3的圖象。）
師：看來問題確實是出在這個地方，那么請同學(xué)再想想，為什么他采用了錯誤的次序后，恰好得到了y＝x3的反函數(shù)y＝的圖象呢？
（學(xué)生再次陷入思考，一會兒有學(xué)生舉手。）
師：我們請生4來告訴大家。
生4：因為他這樣做，正好是將y＝x3上的點Ｂ（x，y）的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y交換，而y＝x3的反函數(shù)也正好是將x與y交換。
師：完全正確。下面我們進一步研究y＝x3的圖象及其反函數(shù)y＝的圖象的關(guān)系，同學(xué)們能不能看出這兩個函數(shù)的圖象有什么樣的關(guān)系？
（多數(shù)學(xué)生回答可由y＝x3的圖象得到y(tǒng)＝的圖象，于是教師進一步追問。）
師：怎么由y＝x3的圖象得到y(tǒng)＝的圖象？
生5：將y＝x3的圖象上點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)交換，可得到y(tǒng)＝的圖象。
師：將橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互換？怎么換？
（學(xué)生一時未能明白教師的意思，場面一下子冷了下來，教師不得不將問題進一步明確。）
師：我其實是想問大家這兩個函數(shù)的圖象有沒有對稱關(guān)系，有的話，是什么樣的對稱關(guān)系？
（學(xué)生重新開始觀察這兩個函數(shù)的圖象，一會兒有學(xué)生舉手。）
生6：我發(fā)現(xiàn)這兩個圖象應(yīng)是關(guān)于某條直線對稱。
師：能說說是關(guān)于哪條直線對稱嗎？
生6：我還沒找出來。
（接下來，教師引導(dǎo)學(xué)生利用幾何畫板找出兩函數(shù)圖象的對稱軸，畫出如下圖形，如圖2所示：）
學(xué)生通過移動點A（點B、C隨之移動）后發(fā)現(xiàn)，BC的中點M在同一條直線上，這條直線就是兩函數(shù)圖象的對稱軸，在追蹤M點后，發(fā)現(xiàn)中點的軌跡是直線y＝x。
生7：y＝x3的圖象及其反函數(shù)y＝的圖象關(guān)于直線y＝x對稱。
師：這個結(jié)論有一般性嗎？其他函數(shù)及其反函數(shù)的圖象，也有這種對稱關(guān)系嗎？請同學(xué)們用其他函數(shù)來試一試。
（學(xué)生紛紛畫出其他函數(shù)與其反函數(shù)的圖象進行驗證，最后大家一致得出結(jié)論：函數(shù)及其反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱。）
還是有部分學(xué)生舉手，因為他們畫出了如下圖象（圖3）：
教師巡視全班時已經(jīng)發(fā)現(xiàn)這個問題，將這個圖象傳給全班學(xué)生后，幾乎所有人都看出了問題所在：圖中函數(shù)y＝x2（x∈R）沒有反函數(shù)，②也不是函數(shù)的圖象。
最后教師與學(xué)生一起總結(jié)：
點（x，y）與點（y，x）關(guān)于直線y＝x對稱；
函數(shù)及其反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱。
二、反思與點評
1．在開學(xué)初，我就教學(xué)幾何畫板4.0的用法，在教函數(shù)圖象畫法的過程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生根據(jù)選定坐標(biāo)作點時，不太注意選擇橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的順序，本課設(shè)計起源于此。雖然幾何畫板4.04中，能直接根據(jù)函數(shù)解析式畫出圖象，但這樣反而不能揭示圖象對稱的本質(zhì)，所以本節(jié)課教學(xué)中，我有意選擇了幾何畫板4.0進行教學(xué)。
2．荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，可借助于生動直觀的形象來引導(dǎo)人們的思想過程，但常常由于圖形或想象的錯誤，使人們的思維誤入歧途，因此我們既要借助直觀，但又必須在一定條件下擺脫直觀而形成抽象概念，要注意過于直觀的例子常常會影響學(xué)生正確理解比較抽象的概念。
計算機作為一種現(xiàn)代信息技術(shù)工具，在直觀化方面有很強的表現(xiàn)能力，如在函數(shù)的圖象、圖形變換等方面，利用計算機都可得到其他直觀工具不可能有的效果；如果只是為了直觀而使用計算機，但不能達到更好地理解抽象概念，促進學(xué)生思維的目的的話，這樣的教學(xué)中，計算機最多只是一種普通的直觀工具而已。
在本節(jié)課的教學(xué)中，計算機更多的是作為學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)的工具，學(xué)生不但發(fā)現(xiàn)了函數(shù)與其反函數(shù)圖象間的對稱關(guān)系，而且在更深層次上理解了反函數(shù)的概念，對反函數(shù)的存在性、反函數(shù)的求法等方面也有了更深刻的理解。
當(dāng)前計算機用于中學(xué)數(shù)學(xué)的主要形式還是以輔助為主，更多的是把計算機作為一種直觀工具，有時甚至只是作為電子黑板使用，今后的發(fā)展方向應(yīng)是：將計算機作為學(xué)生的認知工具，讓學(xué)生通過計算機發(fā)現(xiàn)探索，甚至利用計算機來做數(shù)學(xué)，在此過程中更好地理解數(shù)學(xué)概念，促進數(shù)學(xué)思維，發(fā)展數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力。
3．在引出兩個函數(shù)圖象對稱關(guān)系的時候，問題設(shè)計不甚妥當(dāng)，本來是想要學(xué)生回答兩個函數(shù)圖象對稱的關(guān)系，但學(xué)生誤以為是問如何由y＝x3的圖象得到y(tǒng)＝的圖象，以致將學(xué)生引入歧途。這樣的問題在今后的教學(xué)中是必須力求避免的。
“互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系”教學(xué)案例
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