數(shù)學教案－二元一次方程與一次函數(shù)

北師大版八年級上第七章二元一次方程組第六節(jié) 202頁----204頁

《二元一次方程與一次函數(shù)》教學設計

            鹿泉市上莊鎮(zhèn)中學     張亞茹

教學目標 

1．知識與能力目標

（1）二元一次方程和一次函數(shù)的關(guān)系。

（2）二元一次方程組的圖象解法。

（3）通過學生的思考和操作，力圖提示出方程與圖象之間的關(guān)系，引入二元一次方程組的圖象解法。同時培養(yǎng)學生初步的數(shù)形結(jié)合的意識和能力。

2．情感態(tài)度價值觀目標

通過學生的自主探索，提示出方程和圖象之間的對應關(guān)系，加強新舊知識的聯(lián)系，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣，使學生體驗數(shù)學活動充滿探索與創(chuàng)造。

教材分析

前面已經(jīng)分別學習了一次函數(shù)和二元一次方程組，這節(jié)課研究二元一次方程組（數(shù)）和一次函數(shù)（形）的關(guān)系，是這兩章知識的綜合運用。強化了部分與整體的內(nèi)在聯(lián)系，知識與知識的內(nèi)在聯(lián)系，并為今后解析幾何的學習奠定基礎。

教學重點

1、二元一次方程和一次函數(shù)的關(guān)系。

2、能根據(jù)一次函數(shù)的圖象求二元一次方程組的近似解。

教學難點 

  方程和函數(shù)之間的對應關(guān)系即數(shù)形結(jié)合的意識和能力。

教學方法

 學生操作------自主探索的方法

學生通過自己操作和思考，結(jié)合新舊知識的聯(lián)系，自主探索出方程與圖象之間的對應關(guān)系，以引入二元一次方程組的圖象解法，同時也建立了“數(shù)”----二元一次方程組和“形”----函數(shù)的圖象（直線）之間的對應關(guān)系，培養(yǎng)了學生數(shù)形結(jié)合的意識和能力。

教學過程 

一．   故事引入

迪卡兒的故事------蜘蛛給予的啟示

十七世紀法國數(shù)學家迪卡兒有一次生病臥床，他看見屋頂上的一只蜘蛛順著絲左右爬行。迪卡兒看到蜘蛛的“表演”猛的機靈一動。他想，可以把蜘蛛看成一個點，它可以上、下、左、右運動，能不能把蜘蛛的位置用一組數(shù)確定下來呢？

在蜘蛛爬行的啟示下，迪卡兒創(chuàng)建了直角坐標系，在坐標系下幾何圖形（形）和方程（數(shù)）建立聯(lián)系。迪卡兒坐標系起到了橋梁和紐帶的作用。從而我們可以把圖形化成方程來研究，也可以用圖象來研究方程。

這節(jié)課我們就來研究二元一次方程（數(shù)）與一次函數(shù)（形）的關(guān)系。

二．   嘗試探疑

1、Y=x+1

你們把我叫一次函數(shù)，我也是二元一次方程��！這是怎么回事，你知道嗎？

學生先是疑惑：方程就是方程，函數(shù)就是函數(shù)，它們能有什么聯(lián)系呢？然后通過思考、交流，最后恍然大悟。初步感受一次函數(shù)與二元一次方程的內(nèi)在聯(lián)系。

2、函數(shù)y=x+1上的任意一點的坐標是否滿足方程x-y=-1？

    以方程x-y=-1的解為坐標的點在不在函數(shù)y=x+1   的圖象上？方程x-y=-1與函數(shù)y=x+1有何關(guān)系？

學生會迫不及待地拿起筆來計算。從函數(shù)y=x+1圖象上找?guī)讉�點看它們的坐標是否滿足方程x-y=-1。結(jié)果都滿足。然后學生就會自主和同伴交流，問一問同伴函數(shù)y=x+1圖象上的點滿足不滿足方程x-y=-1。結(jié)果也都滿足。這樣他們就會搭成共識：函數(shù)y=x+1上的任意一點的坐標都滿足方程 x-y=-1。                        

然后學生會用同樣的方法得出另一個結(jié)論：以方程x-y=-1的解為坐標的點一定在函數(shù)y=x+1的圖象上。然后開始思索函數(shù)y=x+1和方程x-y=-1到底有何關(guān)系呢？通過交流自動得出結(jié)論：以方程x-y=-1的解為坐標的點組成的圖象與一次函數(shù)y=x+1的圖象相同。

3.在同一坐標系下，化出y=x+1與y=4x-2的圖象，他們的交點坐標是什么？

方程組y=x+1的解是什么？二者有何關(guān)系？

       y=4x-2   

 

學生根據(jù)畫圖象的方法畫出兩函數(shù)圖象，畫出交點坐標。用消元法解出方程組的解。學生會大吃一驚：兩者出奇地相近或者干脆就相同。這是怎么回事呢？然后開始探究二者關(guān)系。通過交流、討論得出結(jié)論：函數(shù)y=x+1和y=4x-2的交點坐標就是由兩個函數(shù)表達式組成的方程組

y=x+1        的解。

          Y=4x-2

教師作最后總結(jié)：因為函數(shù)和方程有以上關(guān)系，所以我們就可以用圖象法解決方程問題，也可以用方程的方法解決圖象問題。

三．   方程與函數(shù)關(guān)系的應用

解方程組  x-2y=-2      

            2x-y=2

    學生會很快的用消元法解出來。

老師發(fā)問：誰還有其他的方法？如果有，鼓勵學生大膽提出。并給予口頭表揚。如果沒有人用其他的方法，老師提出問題：你能不能用圖象的方法求方程組的解呢？這時，學生就會去探索新的思路、方法。

     一回憶方程與函數(shù)的關(guān)系，有了！方程組的解不就是兩個方程變形得到的兩個函數(shù)圖象的交點坐標嗎？學生就會迅速動筆用這種方法把方程解出來。作完之后，互相交流。學生總結(jié)一下做題步驟：

1.把兩個方程都化成函數(shù)表達式的形式。

       2.畫出兩個函數(shù)的圖象。

       3.畫出交點坐標，交點坐標即為方程組的解。

問題又出來了,有的同學的解是    x=2 有的同學的解是       x=2.1                  y=2.1

            y=1.9   有的同學的解是……雖然都和消元法得到的結(jié)果相近，但各不相同。

老師提問：你能說一下用圖象法解方程組的不足嗎？

學生爭先恐后的回答：用這種方法求的解是近似值。不準確。學生提出疑問：既然不準確，那學習它有什么用呢？用消元法就足夠了！

教師解釋一下：在現(xiàn)實生活和生產(chǎn)中，我們會遇到特別復雜的方程，用消元法解不太容易，我們就可以用電腦繪制成函數(shù)圖象，很容易找出交點坐標。教師可以用Z+Z智能教育平臺演示一下。

[點評]用作圖象的方法解方程組，這體現(xiàn)了兩個知識點的內(nèi)在聯(lián)系。學數(shù)學知識，探索知識點之間的聯(lián)系，可起到化新為舊的作用，達到事半功倍的效果。逐步讓學生學會這種學習新知識的技巧。

四．   引申

方程組   x+y=2

           x+y=5   解的情況如何？你能從函數(shù)的角度解釋一下嗎？

學生用消元法開始解方程組，結(jié)果無解，怎么回事呢？學生會嘗試運用方程組的圖象解法。畫出兩個函數(shù)圖象。答案有了！圖象是平行的，沒有交點。所以方程組無解了。哇！太神奇了！方程的問題可以用圖象的方法解決了。

[點評]因為有了上面的用作圖象法解方程組，在這里，學生就會自覺地從函數(shù)的角度探究方程的問題，初步具有了數(shù)形結(jié)合的意識和能力。

五．   課后小結(jié)

    本節(jié)課我們通過操作和思考，揭示了二元一次方程和函數(shù)圖象之間的對應關(guān)系，從而引入二元一次方程組的圖象解法，同時也建立了“數(shù)”----二元一次方程與“形”------函數(shù)圖象之間的對應關(guān)系，培養(yǎng)了學生初步的數(shù)形結(jié)合的意識和能力。

 

 

六．   作業(yè) 

1.    用作圖象法解方程組2x+y=4

                     2x-3y=12

        2.如圖，直線L、L相交于點 A，試求出A點坐標

 

教學反思

 這節(jié)課由故事引入，激發(fā)了學生極大的學習興趣。然后提出了三個尖銳的問題，讓學生嘗試探索，在探索中既體會到了探索的艱辛，又體會到了成功的喜悅。在應用和引申過程中，盡量讓學生自主的發(fā)現(xiàn)問題，自主的解決問題。學生在緊張、愉快中完成了這節(jié)課的學習。

數(shù)學教案－二元一次方程與一次函數(shù)