數(shù)學(xué)教案－三角形相似的判定

教學(xué)建議

知識(shí)結(jié)構(gòu)

 

重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

相似三角形的判定及應(yīng)用是本節(jié)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)．

它是本章的主要內(nèi)容之一，是在學(xué)完相似三角形的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究相似三角形的本質(zhì)，以完成對(duì)相似三角形的定義、判定全面研究．相似三角形的判定還是研究相似三角形性質(zhì)的基礎(chǔ)，是今后研究圓中線段關(guān)系的工具．

它的難度較大，是因?yàn)榍懊嫠鶎W(xué)的知識(shí)主要用來證明兩條線段相等，兩個(gè)角相等，兩條直線平行、垂直等．借助于圖形的直觀可以有助于找到全等三角形．但是到了相似形，主要是研究線段之間的比例關(guān)系，借助于圖形進(jìn)行觀察比較困難，主要是借助于邏輯的體系進(jìn)行分析、探求，難度較大．

釋疑解難

（1）全等三角形是相似三角形當(dāng)相似比為1時(shí)的特殊情況，判定兩個(gè)三角形全等的3個(gè)定理和判定兩個(gè)三角形相似的3個(gè)定理之間有內(nèi)在的聯(lián)系，不同之處僅在于前者是后者相似比為1的情況．

（2）相似三角形的判定定理的選擇：①已知有一角相等時(shí)，可選擇判定定理1與判定定理2；②已知有二邊對(duì)應(yīng)成比例時(shí)，可選擇判定定理2與判定定理3；③判定直角三角形相似時(shí)，首先看是否可以用判定直角三角形的方法來判定，如果不能，再考慮用判定一般三角形相似的方法來判定．

（3）相似三角形的判定定理的作用：①可以用來判定兩個(gè)三角形相似；②間接證明角相等、線段域比例；③間接地為計(jì)算線段的長(zhǎng)度及角的大小創(chuàng)造條件．

（4）三角形相似的基本圖形：①平行型：如圖1，“A”型即公共角對(duì)的邊平行，“×”型即對(duì)頂角對(duì)的邊平行，都可推出兩個(gè)三角形相似；②相交線型：如圖2，公共角對(duì)的邊不平行，即相交或延長(zhǎng)線相交或?qū)�頂角所�?duì)邊延長(zhǎng)相交．圖中幾種情況只要配上一對(duì)角相等，或夾公共角（或?qū)�頂角）的兩邊成比例，就可以判定兩個(gè)三角形相似。

 

 

 

 

（第1課時(shí)）

一、教學(xué)目標(biāo) 

1．使學(xué)生了解判定定理1及直角三角形相似定理的證明方法并會(huì)應(yīng)用，掌握例2的結(jié)論．

2．繼續(xù)滲透和培養(yǎng)學(xué)生對(duì)類比數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)和理解．

3．通過了解定理的證明方法，培養(yǎng)和提高學(xué)生利用已學(xué)知識(shí)證明新命題的能力．

4．通過學(xué)習(xí)，了解由特殊到一般的唯物辯證法的觀點(diǎn)．

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

類比學(xué)習(xí)，探討發(fā)現(xiàn)

三、重點(diǎn)及難點(diǎn)

1．教學(xué)重點(diǎn)：是判定定理l及直角三角形相似定理的應(yīng)用，以及例2的結(jié)論．

2．教學(xué)難點(diǎn) ：是了解判定定理1的證題方法與思路．

四、課時(shí)安排

1課時(shí)

五、教具學(xué)具準(zhǔn)備

多媒體、常用畫圖工具、

六、教學(xué)步驟 

［復(fù)習(xí)提問］

1．什么叫相似三角形？什么叫相似比？

2．?dāng)⑹鲱A(yù)備定理．由預(yù)備定理的題所構(gòu)成的三角形是哪兩種情況．

［講解新課］

我們知道，用相似三角形的定義可以判定兩個(gè)三角形相似，但涉及的條件較多，需要有

三對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，三條對(duì)應(yīng)邊的比也都相等，顯然用起來很不方便．那么從本節(jié)課開始我們

來研究能不能用較少的幾個(gè)條件就能判定三角形相似呢？

上節(jié)課講的預(yù)備定理實(shí)際上就是一個(gè)判定三角形相似的方法，現(xiàn)在再來學(xué)習(xí)幾種三角形相似的判定方法．

我們已經(jīng)知道，全等三角形是相似三角形當(dāng)相似比為1時(shí)的特殊情況，判定兩個(gè)三角形

全等的三個(gè)公理和判定兩個(gè)三角形相似的三個(gè)定理之間有內(nèi)在的聯(lián)系，不同處僅在于前者是后者相似比等于1的情況，教學(xué)時(shí)可先指出全等三角形與相似三角形之間的關(guān)系，然后引導(dǎo)學(xué)生自己用類比的方法找出新的命題，如：

問：判定兩個(gè)三角形全等的方法有哪幾種？

答：SAS、ASA（AAS）、SSS、HL．

問：全等三角形判定中的“對(duì)應(yīng)角相等”及“對(duì)應(yīng)邊相等”的語句，用到三角形相似的判定中應(yīng)如何說？

答：“對(duì)應(yīng)角相等”不變，“對(duì)應(yīng)邊相等”說成“對(duì)應(yīng)邊成比例”．

問：我們知道，一條邊是寫不出比的，那么你能否由“ASA”或“AAS”，采用類比的方法，引出一個(gè)關(guān)于三角形相似判定的新的命題呢？

答：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．

強(qiáng)調(diào)：（1）學(xué)生在回答中，如出現(xiàn)問題，教師要予以啟發(fā)、引導(dǎo)、糾正．

（2）用類比方法找出的新命題一定要加以證明．

 

如圖5-53，在△ABC和△ 中， ， ．

問：△ABC和△ 是否相似？

分析：可采用問答式以啟發(fā)學(xué)生了解證明方法．

問：我們現(xiàn)在已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪幾個(gè)判定三角形相似的方法？

答：①三角形的定義，②上一節(jié)學(xué)習(xí)的預(yù)備定理．

問：根據(jù)本命題條件，探討時(shí)應(yīng)采用哪種方法？為什么？

答：預(yù)備定理，因?yàn)橛枚�義條件明顯不夠．

問：采用預(yù)備定理，必須構(gòu)造出怎樣的圖形？

答：  或 ．

問：應(yīng)如何添加輔助線，才能構(gòu)造出上一問的圖形？

此問學(xué)生回答如有困難，教師可領(lǐng)學(xué)生共同探討，注意告訴學(xué)生作輔助線一定要合理．

（1）在△ABC邊AB（或延長(zhǎng)線）上，截取 ，過D作DE∥BC交AC于E．

“作相似．證全等”．

（2）在△ABC邊AB（或延長(zhǎng)線上）上，截取 ，在邊AC（或延長(zhǎng)線上）截取AE=，連結(jié)DE，“作全等，證相似”．

（教師向?qū)W生解釋清楚“或延長(zhǎng)線”的情況）

雖然定理的證明不作要求，但通過剛才的分析讓學(xué)生了解定理的證明思路與方法，這樣有利于培養(yǎng)和提高學(xué)生利用已學(xué)知識(shí)證明新命題的能力．

判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．

簡(jiǎn)單說成：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似．

， ，

∽ ．

例1  已知 和 中 ， ， ， ．

求證： ∽ ．

此例題是判定定理的直拉應(yīng)用，應(yīng)使學(xué)生熟練掌握．

例2 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似．

已知：如圖5-54，在 中，CD是斜邊上的高．

 

求證： ∽ ∽ ．

該例題很重要，它一方面可以起到鞏固、掌握判定定理1的作用；另一方面它的應(yīng)用很廣泛，并且可以直接用它判定直角三角形相似，教材上排了黑體字，所以可以當(dāng)作定理直接使用．

即 ∽△∽△．

［小結(jié)］

1判定定理1的引出及證明思路與方法的分析，要求學(xué)生掌握兩種輔助線作法的思路．

2．判定定理1的應(yīng)用以及記住例2的結(jié)論并會(huì)應(yīng)用．

七、布置作業(yè) 

教材P238中A組3、4．

八、板書設(shè)計(jì) 

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