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數(shù)學(xué)教案－中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形
教學(xué)建議
知識(shí)歸納
1．中心對(duì)稱
把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn) ，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心，兩個(gè)圖形關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱也稱中心對(duì)稱，這兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)．
中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形具有如下性質(zhì)：（1）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等；（2）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)的連線都過(guò)對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分．
判斷兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱的方法是：如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對(duì)稱．
2．中心對(duì)稱圖形
把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn) ，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來(lái)的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心．
矩形、菱形、正方形、平行四邊形都是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角錢(qián)的交點(diǎn)就是它們的對(duì)稱中心；圓是中心對(duì)稱圖形，圓心是對(duì)稱中心；線段也是中心對(duì)稱圖形，線段中點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心．
知識(shí)結(jié)構(gòu)
重點(diǎn)、難點(diǎn)分析：
本節(jié)課的重點(diǎn)是中心對(duì)稱的概念、性質(zhì)和作已知點(diǎn)關(guān)于某點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).因?yàn)楦拍钍峭茖?dǎo)三個(gè)性質(zhì)的主要依據(jù)、性質(zhì)是今后解決有關(guān)問(wèn)題的理論依據(jù)；而作已知點(diǎn)關(guān)于某個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)又是作中心對(duì)稱圖形的關(guān)鍵.
本節(jié)課的難點(diǎn)是中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形之間的聯(lián)系和區(qū)別.從概念角度來(lái)說(shuō)，中心對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱是兩個(gè)不同而又緊密相聯(lián)的概念.從學(xué)生角度來(lái)講，在學(xué)習(xí)軸對(duì)稱時(shí)，有相當(dāng)一部分學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形的概念理解上出現(xiàn)誤點(diǎn).因此本節(jié)課的難點(diǎn)是中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形之間的聯(lián)系和區(qū)別.
教法建議
本節(jié)內(nèi)容和生活結(jié)合較多，新課導(dǎo)入 可考慮以下方法：
（1）從相似概念引入：中心對(duì)稱概念與軸對(duì)稱概念比較相似，中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形比較相似，可從軸對(duì)稱類比引入，
（2）從漢字引入：有許多漢字都是中心對(duì)稱圖形，如“田”、“日”、“曰”、“中”、“申”、“王”，等等，可從漢字引入，
（3）從生活實(shí)例引入：生活中有許多中心對(duì)稱實(shí)例和中心對(duì)稱圖形，如飛機(jī)的螺旋槳，風(fēng)車的風(fēng)輪，紐結(jié)，雪花，等等，可從生活實(shí)例引入，
（4）從商標(biāo)引入：各公司、企業(yè)的商標(biāo)中有許多中心對(duì)稱實(shí)例和中心對(duì)稱圖形，如聯(lián)想，聯(lián)合證券，湘財(cái)證券，中國(guó)工商銀行，中國(guó)銀行，等等，可從這些商標(biāo)引入，
（5）從車標(biāo)引入：各品牌汽車的車標(biāo)中有許多都是中心對(duì)稱圖形，如奧迪，韓國(guó)現(xiàn)代，本田，富康，歐寶，寶馬，等等，可從車標(biāo)引入，
（6）從幾何圖形引入：學(xué)習(xí)過(guò)的許多圖形都是中心對(duì)稱圖形，如圓，平行四邊形，矩形，菱形，正方形，等等，可從幾何圖形引入，
（7）從藝術(shù)品引入：藝術(shù)品中有許多都是呈中心對(duì)稱或是中心對(duì)稱圖形，如下圖，可從藝術(shù)品引入。
教學(xué)設(shè)計(jì)示例
教學(xué)目標(biāo)
1．知道中心對(duì)稱的概念，能說(shuō)出中心對(duì)稱的定義和關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形的性質(zhì)。
2．會(huì)根據(jù)關(guān)于中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)定理2的逆定理來(lái)判定兩個(gè)圖形關(guān)于一點(diǎn)對(duì)稱；會(huì)畫(huà)與已知圖形關(guān)于一點(diǎn)成中心對(duì)稱的圖形。
此外，通過(guò)復(fù)習(xí)圖形軸對(duì)稱，并與中心對(duì)稱比較，滲透類比的思想方法；用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)觀察和認(rèn)識(shí)圖形，滲透旋轉(zhuǎn)變換的思想。
引導(dǎo)性材料
想一想：怎樣的兩個(gè)圖形叫做關(guān)于某直線成軸對(duì)稱？成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形有什么性質(zhì)？
（幫助學(xué)生復(fù)習(xí)軸對(duì)稱的有關(guān)知識(shí)，為中心對(duì)稱教學(xué)作準(zhǔn)備）
畫(huà)一畫(huà)：如圖4.7-1(1)，已知點(diǎn)P和直線L，畫(huà)出點(diǎn)P關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)P′；如圖4.7-1(2)，已知線段MN和直線a,畫(huà)出線段MN關(guān)于直線a的對(duì)稱線段M′N′。
(通過(guò)畫(huà)圖形進(jìn)一步鞏固和加深對(duì)軸對(duì)稱的認(rèn)識(shí))
上述問(wèn)題由學(xué)生回答，教師作必要的提示，并歸納總結(jié)成下表：
軸對(duì)稱
定義三要點(diǎn)
1
2
3
有一條對(duì)稱軸---直線
圖形沿軸對(duì)折，即翻轉(zhuǎn)180度
翻轉(zhuǎn)后與另一圖形重合
性質(zhì)
1
2
3
兩個(gè)圖形是全等形
對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線
對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，交點(diǎn)在對(duì)稱軸上
觀察與思考：圖4.7-2所示的圖形關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱嗎？如果是，畫(huà)出對(duì)稱軸，如果不是，說(shuō)明理由。
（教師把圖4.7－2的兩個(gè)圖形制成投影片或教具，學(xué)生仔細(xì)觀察后，能發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)圖形都不是軸對(duì)稱。然后，教師適時(shí)提出問(wèn)題：這兩個(gè)圖形能不能重合？怎樣才能使這兩個(gè)圖形重合呢？讓學(xué)生觀察、探究、討論，教師可以直觀地演示中心對(duì)稱變換的過(guò)程，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：把其中一個(gè)圖形統(tǒng)一特殊點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后能與另一個(gè)圖形重合。）
教學(xué)設(shè)計(jì)
問(wèn)題1：你能舉出1～2個(gè)實(shí)例或?qū)嵨铮f(shuō)明它們也具有上面所說(shuō)的特性嗎？
說(shuō)明：學(xué)生自己舉例有助于他們感性地認(rèn)識(shí)中心對(duì)稱的意義。然后，教師指出：具有這種特性的圖形叫做中心對(duì)稱圖形，并介紹對(duì)稱中心，對(duì)稱點(diǎn)等概念。
問(wèn)題2：你能給“中心對(duì)稱”下一個(gè)定義嗎？
說(shuō)明與建議：學(xué)生下定義會(huì)有困難，教師應(yīng)及時(shí)修正，并給出明確的定義，然后指出定義中的三個(gè)要點(diǎn)：（l）有一個(gè)對(duì)稱中心——點(diǎn)；（2）圖形繞中心旋轉(zhuǎn)180度；（3）旋轉(zhuǎn)后與另一圖形重合。把這三要點(diǎn)填入引導(dǎo)性材料中的空表內(nèi)，在頂空格內(nèi)寫(xiě)上“中心對(duì)稱”字樣，以利于寫(xiě)“軸對(duì)稱”進(jìn)行比較。
練一練：在圖4.7－3中，已知△ABC和△EFG關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱，分別找出圖中的對(duì)稱點(diǎn)和對(duì)稱線段。
說(shuō)明與建議：教師可演示△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180度后與△EFG重合的過(guò)程，讓學(xué)生說(shuō)出點(diǎn)E和點(diǎn)A，點(diǎn)B和點(diǎn)F，點(diǎn)C和點(diǎn)G是對(duì)稱點(diǎn)；線段AB和EF、線段AC和EG，線段BC和FG都是對(duì)稱線段。教師還可向?qū)W生指出，圖4.7－3中，點(diǎn)A、O、E在一條直線上，點(diǎn)C、O、G在一條直線上，點(diǎn)B、O、F在一條直線上，且AO=EO，BO=FO，CO＝GO。
問(wèn)題3：從上面的練習(xí)及分析中，可以看出關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形具有哪些性質(zhì)？
說(shuō)明與建議：引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形的性質(zhì)：定理l---關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形；定理2——關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分。
問(wèn)題4：定理2的題設(shè)和結(jié)論各是什么？試說(shuō)出它的逆命題。
說(shuō)明與建議：學(xué)生解答此題有困難，教師要及時(shí)引導(dǎo)。特別是敘述命題時(shí)，學(xué)生常常照搬“對(duì)稱點(diǎn)”、“對(duì)稱中心”這些詞語(yǔ)，教師應(yīng)指出：由于沒(méi)有“兩個(gè)圖形關(guān)于中心對(duì)稱”的前提，所以不能使用“對(duì)稱點(diǎn)”、“對(duì)稱中心”這樣的詞語(yǔ)，而要改為“對(duì)應(yīng)如”、“某一點(diǎn)”。最后，教師應(yīng)完整地?cái)⑹鲞@個(gè)逆命題---如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。
問(wèn)題5：怎樣證明這個(gè)逆命題是正確的？
說(shuō)明與建議：證明過(guò)程應(yīng)在教師的引導(dǎo)下，師生共同完成。由已知條件——對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，可以知道：若把其中一個(gè)圖形繞著這點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，它必定于另一個(gè)圖形重合，因此，根據(jù)定義可以判定這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對(duì)稱。這個(gè)逆命題即為逆定理。根據(jù)這個(gè)逆定理，可以判定兩個(gè)圖形關(guān)于一點(diǎn)對(duì)稱，也可以畫(huà)出已知圖形關(guān)于一點(diǎn)的對(duì)稱圖形。
練一練：訪畫(huà)出圖4．7－4中，線段PQ關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱線段P′Q′。
（畫(huà)法如下：（1）連結(jié)PO，延長(zhǎng)PO到P′，使OP′＝OP，點(diǎn)P′就是點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，（2）連結(jié)QO，延長(zhǎng)QO到Q′，使Q′Q=OQ，點(diǎn)Q′就是點(diǎn)Q的對(duì)稱點(diǎn)，則PQ′就是線段PQ關(guān)于O點(diǎn)的對(duì)稱線段。教師應(yīng)指出：畫(huà)一個(gè)圖形關(guān)于某點(diǎn)的中心對(duì)稱圖形，關(guān)鍵是畫(huà)“對(duì)稱點(diǎn)”。比如，畫(huà)一個(gè)三角形關(guān)于某點(diǎn)的中心對(duì)稱三角形，只要畫(huà)出三角形三個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，就可以畫(huà)出所要求的三角形。）
例題解析
課本例題
說(shuō)明：（l）教師應(yīng)讓學(xué)生讀題分析，給每個(gè)學(xué)生印發(fā)一張印有圖4.7-5的紙，讓學(xué)生動(dòng)手畫(huà)圖。（2）畫(huà)好圖后讓學(xué)生總結(jié)：畫(huà)多邊形的中心對(duì)稱圖形只要畫(huà)出多邊形各頂點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，即能畫(huà)出所求的對(duì)稱圖形。
課堂練習(xí)
課本例后練習(xí)第1、2題。
（對(duì)第2題，應(yīng)先畫(huà)出圖形，然后按照中心對(duì)稱的定義或逆定理來(lái)說(shuō)明理由。第2題的第（1）小題可用定義說(shuō)明，第2題的第（2）小題可根據(jù)逆定理來(lái)說(shuō)明。這里把平行四邊形的對(duì)角頂點(diǎn)和平行四邊形的對(duì)邊分別看成兩個(gè)圖形：分別是兩個(gè)點(diǎn)和兩條線段。）
1.
2．中心對(duì)稱與軸對(duì)稱有什么不同？
中心對(duì)稱——圖形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度。
軸對(duì)稱——圖形沿軸翻折180度。
作業(yè)
1.課本習(xí)題4.4A組第1題(1)。
2.課本習(xí)題4.4A組第3、4題。
數(shù)學(xué)教案－中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形
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