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數(shù)學(xué)教案－基本作圖
教學(xué)目標(biāo) ：
1、知識(shí)目標(biāo)：
（1）要掌握尺規(guī)作圖的方法及一般步驟；
（2）掌握五種基本作圖,明確尺規(guī)作圖的意義。
2、能力目標(biāo)：
（1）通過(guò)“作圖題”練習(xí)，提高學(xué)生的幾何語(yǔ)言表達(dá)能力；
（2）通過(guò)畫(huà)圖，培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力及動(dòng)手能力.
3、情感目標(biāo)：
（1）體驗(yàn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔嚴(yán)謹(jǐn)。
（2）體會(huì)數(shù)學(xué)作圖語(yǔ)言和圖形的和諧統(tǒng)一。
教學(xué)重點(diǎn)：熟練掌握五個(gè)基本作圖，作圖時(shí)要做到規(guī)范使用尺規(guī)，規(guī)范使用作圖語(yǔ)言，規(guī)范地按照步驟作出圖形。
教學(xué)難點(diǎn) ：作圖語(yǔ)言的準(zhǔn)確應(yīng)用，作圖的規(guī)范與準(zhǔn)確。
教學(xué)用具：直尺，圓規(guī)
教學(xué)方法：講練結(jié)合法
教學(xué)過(guò)程 ：
前面我們學(xué)習(xí)了全等三角形的性質(zhì)、判定及一些較簡(jiǎn)單的幾何證明題．在學(xué)習(xí)中常常感到需要有準(zhǔn)確、方便的畫(huà)圖方法，畫(huà)出符合條件的幾何圖形．本節(jié)我們學(xué)習(xí)這種幾何作圖方法．
1、閱讀教材，理解概念
學(xué)生閱讀教材第一部分，并回答問(wèn)題：
(1)尺規(guī)作圖：在幾何里，把限定用直尺和圓規(guī)來(lái)畫(huà)圖，稱(chēng)為尺規(guī)作圖．
(學(xué)生使用的尺子都有刻度，這里告訴學(xué)生，直尺是用來(lái)畫(huà)直線(xiàn)的，或者延長(zhǎng)線(xiàn)段、射線(xiàn)成直線(xiàn)的．我們作圖時(shí)，可以使用一般的刻度尺、三角板，只要不用它們?nèi)ザ攘块L(zhǎng)度，就是這里所說(shuō)的直尺)
(2)基本作圖：最基本、最常用的尺規(guī)作圖，通常稱(chēng)基本作圖．
一些復(fù)雜的尺規(guī)作圖，都是由基本作圖組成的，第一冊(cè)里曾講過(guò)用尺規(guī)作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段，這是一種基本作圖，下面再介紹幾種基本作圖：
練習(xí)：作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段
2、講解例題，熟悉語(yǔ)言
教師邊作圖邊用語(yǔ)言敘述作法，讓學(xué)生聽(tīng)懂。
前面我們學(xué)會(huì)了用直尺和圓規(guī)作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段，學(xué)習(xí)判定兩個(gè)三角形全等“邊邊邊”公理時(shí)曾經(jīng)已知三邊畫(huà)三角形得到邊邊邊公理而因全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，進(jìn)而達(dá)到角相等的目的．
1．作一個(gè)角等于已知角
分析：解作圖題的方法與證明題解法不相同，它一般應(yīng)包括已知，求作。對(duì)于作圖首先將文字?jǐn)⑹鲛D(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，即要寫(xiě)出題目的已知、求作、作法、證明。
已知： AOB
求作： 使 ＝ AOB
分析：假設(shè)∠AOB已作出，且∠AOB=∠AOB，如圖2，在OA、OB、OA、OB上取點(diǎn)C、D、C、D，使OC=OD=OC=OD，那么△COD≌△COD．
由此可知，要作出∠AOB，使∠AOB=∠AOB，只要作出△OCD，使OC=OC，OD=OD，CD=CD，這就是前面學(xué)過(guò)的“已知三邊畫(huà)三角形”．
作法：1、作射線(xiàn)
2、以點(diǎn)O為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，交OA于C，交OB于D
3、以點(diǎn) 為圓心，以O(shè)C長(zhǎng)為半徑作弧，交 于
4、以點(diǎn) 為圓心，以CD長(zhǎng)為半徑作弧，交前弧于
5、經(jīng)過(guò)點(diǎn) 作射線(xiàn) 。 就是所求的角
證明：連結(jié)CD、CD，由作法可知
△COD≌△COD(SSS)
∴ ∠COD=∠COD(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)．
即∠AOB=∠AOB．
說(shuō)明：作圖題的證明，常以作法為根據(jù)，只要“作法”中寫(xiě)明了作的是什么，證明中就可以用它作根據(jù)去證明．注意，在作圖題的“證明”中，一般過(guò)程都寫(xiě)得比較簡(jiǎn)單．如這個(gè)證明三角形全等的地方，把條件省略了．
練習(xí)：如圖3，在∠AOB的外部作∠AOC，使∠AOC=∠AOB．
首先要求作圖工具——直尺(無(wú)刻度)、圓規(guī)．
然后引導(dǎo)學(xué)生分析題意，弄清已知是什么，求作是什么？畫(huà)出已知條件(一個(gè)角)，寫(xiě)出已知、求作．在求作中先寫(xiě)出什么圖形，再寫(xiě)使它合乎什么條件．
作法可讓學(xué)生或教師作圖，學(xué)生敘述作法．
讓學(xué)生寫(xiě)出證明過(guò)程．
2．平分已知角
前面我們用量角器作一個(gè)已知角∠AOB的平分線(xiàn)OC，怎樣用尺規(guī)來(lái)畫(huà)已知角的平分線(xiàn)呢？
分析：如圖4，假如∠AOB的平分線(xiàn)OC已經(jīng)畫(huà)出，在前面角的平分線(xiàn)的研究中，我們用折線(xiàn)的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：如果有OE=OD，那么CE=CD．這個(gè)實(shí)驗(yàn)也啟發(fā)我們：如果有OE=OD，CE=CD，那么OC平分∠AOB嗎？
用“SSS”公理易證△OEC≌△ODC，∠EOC=∠DOC，即OC平分∠AOB．于是容易看出，要作∠AOB的平分線(xiàn)OC，在于怎樣才能找到起關(guān)鍵作用的點(diǎn)C？
怎樣確定點(diǎn)C呢？不難看出，為了確定C點(diǎn)，必須先找點(diǎn)E、D．以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交OA、OB于D、E，那么OD=OE嗎？再分別以D、E為圓心，適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為半徑作弧，設(shè)兩弧交于點(diǎn)C，那么CD=CE嗎？而D、E為圓心，“適當(dāng)”的長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧有一交點(diǎn)時(shí)，怎樣的長(zhǎng)度才“適當(dāng)”呢？
已知：∠AOB如圖5
求作：射線(xiàn)OC，使∠AOC=∠BOC．
作法：(1)在OA和OB上，分別截取OD、OE，使OD=OE．
（2）分別以D、E為圓心，大于 的長(zhǎng)為半徑作弧，在 內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)C．
(3)作射線(xiàn)OC．
OC就是所求的射線(xiàn)．
證明：連結(jié)CD、CE，由作法可知
△ODC≌△OEC
∴∠COD=∠COE(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)．
即∠AOC=∠BOC．
小結(jié)：
(1)基本作圖1、2有一個(gè)不同之點(diǎn)，即基本作圖2要把射線(xiàn)OC作在∠AOB內(nèi)部，位置有指定性，基本作圖1所作的∠AOB并不受∠AOB的位置限制，但通常把∠AOB作在∠AOB的近旁．
(2)作圖工具只限直尺和圓規(guī)，用鉛筆畫(huà)圖，并保留作圖過(guò)程中的輔助線(xiàn)(作圖痕跡)．
(3)只畫(huà)圖的題，要求畫(huà)完圖，寫(xiě)明所求作的圖形．如基本作圖中要寫(xiě)出“∠AOB就是所求的角．”
3．經(jīng)過(guò)一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)
分兩種情況來(lái)考慮：
(1)經(jīng)過(guò)已知直線(xiàn)上的一點(diǎn)作這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)．
(2)經(jīng)過(guò)已知直線(xiàn)外的一點(diǎn)作這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)．
引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出解題的全過(guò)程：已知、求作、作法、證明．關(guān)鍵地方和疑點(diǎn)要向?qū)W生解釋清楚．
分析：現(xiàn)在要尋找“經(jīng)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)”的方法，能利用角平分線(xiàn)的作法嗎？如圖6，用直尺和圓規(guī)作∠AOB的平分線(xiàn)OF，如果畫(huà)出直線(xiàn)DE，那么∠AOB的平分線(xiàn)OF與直線(xiàn)DE垂直嗎？為什么？
如果我們把D、E看成一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)，那么點(diǎn)O就是這條直線(xiàn)外的一點(diǎn)，圖6啟發(fā)我們經(jīng)過(guò)直線(xiàn)DE外一點(diǎn)O作這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)的關(guān)鍵在于確定點(diǎn)F，你會(huì)確定點(diǎn)F嗎？
①已知：直線(xiàn)AB和AB上一點(diǎn)C，如圖7．
求作：AB的垂線(xiàn)，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．
作法：證明引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出．
②已知：直線(xiàn)AB和AB外一點(diǎn)C，如圖8．
求作：AB的垂線(xiàn)，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．
作法：引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出，要向?qū)W生說(shuō)明所取的點(diǎn)K必須要使它和C在AB的兩旁，通過(guò)反例說(shuō)明不這樣作不行的道理．對(duì)教材中略去的證明要讓學(xué)生補(bǔ)出來(lái)．提示：連結(jié)CD、CE、FD、FE，設(shè)CF與AB交于點(diǎn)O．首先證明△CDF≌△CEF，再證明△CDO≌△CEO或△FDO≌△FEO，從而得∠DOF=∠EOF=90°．
4．作線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)
先讓學(xué)生理解線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的概念．
垂直于一條線(xiàn)段并且平分這條線(xiàn)段的直線(xiàn)，叫做這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，或中垂線(xiàn)．
分析：在圖6中OF是線(xiàn)段DE的垂直平分線(xiàn)嗎？為什么？
想一想：確定線(xiàn)段DE的垂直平分線(xiàn)的關(guān)鍵是什么？
引導(dǎo)學(xué)生寫(xiě)出已知、求作、作法．參照1．讓學(xué)生補(bǔ)上證明過(guò)程．以判定兩個(gè)三角形全等的公理或推論為根據(jù)，做幾何作圖題的證明，一方面可以使學(xué)生確信作圖的正確性；另一方面也可以復(fù)習(xí)鞏固證明三角形全等的方法．
因?yàn)橹本�(xiàn)CD與線(xiàn)段AB的交點(diǎn)，就是AB的中點(diǎn)，所以我們也用這種方法作線(xiàn)段的中點(diǎn)．
小結(jié)：
作角平分線(xiàn)、垂線(xiàn)、中垂線(xiàn)從本質(zhì)上講是一致的：根據(jù)“SSS”公理，確定兩點(diǎn)，從而確定所求直(射)線(xiàn)．
至此，基本作圖共講了5個(gè)，第一章中有一個(gè)“作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段”，本章又有4個(gè)．對(duì)于這些基本作圖應(yīng)該牢固掌握，靈活運(yùn)用，因?yàn)樗菐缀巫鲌D的基礎(chǔ)．反復(fù)練習(xí)5個(gè)基本作圖，讓學(xué)生熟悉解作圖題的全過(guò)程，及時(shí)準(zhǔn)確總結(jié)出幾種常見(jiàn)幾何作圖語(yǔ)言即作圖范句
例4、已知：線(xiàn)段
求作： ，使
作法：1、作線(xiàn)段BC＝a
2、分別以點(diǎn)B、C為圓心，以 為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)A
3、連結(jié)AB、AC
就是所求作的三角形
例5、已知兩角和其中一角的對(duì)邊，求作三角形
已知：
求作：
作法：1、作線(xiàn)段
2、在BC的同側(cè)作
DE、EC交于點(diǎn)A。
為所求的三角形
證明：（略）
讓學(xué)生補(bǔ)充證明。
3、總結(jié)歸納，便于掌握
（一）常用的作圖語(yǔ)言：
（1）過(guò)點(diǎn) 、 作線(xiàn)段或射線(xiàn)、直線(xiàn)；（2）連結(jié)兩點(diǎn) 、 ；（3）在線(xiàn)段或射線(xiàn) 上截取 ＝ ；（4）以點(diǎn) 為圓心，以 的長(zhǎng)為半徑作圓（或畫(huà)�。� 于點(diǎn) ；（5）分別以點(diǎn) ，點(diǎn) 為圓心，以 ， 的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn) ；（6）延長(zhǎng) 到點(diǎn) ，使 ＝ 。
（二）作圖題說(shuō)明
在作圖中，有屬于基本作圖的地方，寫(xiě)作法時(shí)，不必重復(fù)作圖的詳細(xì)過(guò)程，只用一句話(huà)概括敘述就可以了。
(1)作線(xiàn)段 ＝ ；（2）作∠ ＝∠ ；（3）作 （射線(xiàn)）平分∠ ；
（4）過(guò)點(diǎn) 作 ，垂足為點(diǎn) ；（5）作線(xiàn)段 的垂直平分線(xiàn) ；
4、課堂練習(xí)，鞏固內(nèi)容
(1)平分已知角
(2)作線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)
學(xué)生板書(shū)并講解,教師點(diǎn)評(píng)。
5、布置作業(yè) ：
a、書(shū)面作業(yè) P88＃1
b、上交作業(yè) P88＃3、9
板書(shū)設(shè)計(jì) ：
數(shù)學(xué)教案－基本作圖
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