數(shù)學教案－三角形的內切圓

1、教材分析

（1）知識結構

 

（2）重點、難點分析

重點：三角形內切圓的概念及內心的性質．因為它是三角形的重要概念之一．

難點：①難點是“接”與“切”的含義，學生容易混淆；②畫三角形內切圓，學生不易畫好．

2、教學建議

本節(jié)內容需要一個課時．

（1）在教學中，組織學生自己畫圖、類比、分析、深刻理解三角形內切圓的概念及內心的性質；

（2）在教學中，類比“三角形外接圓的畫圖、概念、性質”，開展活動式教學．

教學目標 ：

1、使學生了解尺規(guī)作三角形的內切圓的方法，理解三角形和多邊形的內切圓、圓的外切三角形和圓的外切多邊形、三角形內心的概念；

2、應用類比的數(shù)學思想方法研究內切圓，逐步培養(yǎng)學生的研究問題能力；

3、激發(fā)學生動手、動腦主動參與課堂教學活動．

教學重點：

三角形內切圓的作法和三角形的內心與性質．

教學難點 ：

三角形內切圓的作法和三角形的內心與性質．

教學活動設計

（一）提出問題

1、提出問題：如圖，你能否在△ABC中畫出一個圓？畫出一個最大的圓？想一想，怎樣畫?

2、分析、研究問題：

讓學生動腦筋、想辦法，使學生認識作三角形內切圓的實際意義．

3、解決問題：

例1  作圓，使它和已知三角形的各邊都相切．

引導學生結合圖，寫出已知、求作，然后師生共同分析，尋找作法．

提出以下幾個問題進行討論：

①作圓的關鍵是什么?

②假設⊙I是所求作的圓，⊙I和三角形三邊都相切，圓心I應滿足什么條件?

③這樣的點I應在什么位置?

④圓心I確定后半徑如何找．

A層學生自己用直尺圓規(guī)準確作圖，并敘述作法；B層學生在老師指導下完成．

完成這個題目后，啟發(fā)學生得出如下結論： 和三角形的各邊都相切的圓可以作一個且只可以作出一個．

（二）類比聯(lián)想，學習新知識．

1、概念：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形．

2、類比：

名稱

確定方法

圖形

性質

外心（三角形外接圓的圓心）

三角形三邊中垂線的交點

（1）OA=OB=OC；

（2）外心不一定在三角形的內部．

內心（三角形內切圓的圓心）

三角形三條角平分線的交點

（1）到三邊的距離相等；

（2）OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；

（3）內心在三角形內部．

3、概念推廣：和多邊形各邊都相切的圓叫做多邊形的內切圓，這個多邊形叫做圓的外切多邊形．

4、概念理解：

引導學生理解三角形的內切圓及圓的外切三角形的概念，并與三角形的外接圓與圓的內接三角形概念相比較，以加深對這四個概念的理解．使學生弄清“內”與“外”、“接”與“切”的含義．“接”與“切”是說明三角形的頂點和邊與圓的關系：三角形的頂點都在圓上，叫做“接”；三角形的邊都與圓相切叫做“切”．

（三）應用與反思

例2 如圖，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，點O是三角形的內心．

求∠BOC的度數(shù)

分析：要求∠BOC的度數(shù)，只要求出∠OBC和∠0CB的度數(shù)之和就可，即求∠l十∠3的度數(shù)．因為O是△ABC的內心，所以OB和OC分別為∠ABC和∠BCA的平分線，于是有∠1十∠3＝ (∠ABC十∠ACB)，再由三角形的內角和定理易求出∠BOC的度數(shù)．

解：(引導學生分析，寫出解題過程)

例3 如圖，△ABC中，E是內心，∠A的平分線和△ABC的外接圓相交于點D

求證：DE＝DB

分析：從條件想，E是內心，則E在∠A的平分線上，同時也在∠ABC的平分線上，考慮連結BE，得出∠3＝∠4．

從結論想，要證DE＝DB，只要證明BDE為等腰三角形，同樣考慮到連結BE．于是得到下述法．

證明：連結BE．

E是△ABC的內心

又∵∠1=∠2

∠1=∠2

∴∠1+∠3=∠4+∠5

∴∠BED=∠EBD

∴DE=DB

練習 分析作出已知的銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的內切圓，并說明三角形的內心是否都在三角形內．

（四）小結

1．教師先向學生提出問題：這節(jié)課學習了哪些概念?怎樣作已知三角形的內切圓?學習時互該注意哪些問題?

2．學生回答的基礎上，歸納總結：

(1)學習了三角形內切圓、三角形的內心、圓的外切三角形、多邊形的內切圓、圓的外切多邊形的概念．

(2)利用作三角形的內角平分線，任意兩條角平分線的交點就是內切圓的圓心，交點到任意一邊的距離是圓的半徑．

(3)在學習有關概念時，應注意區(qū)別“內”與“外”，“接”與“切”；還應注意“連結內心和三角形頂點”這一輔助線的添加和應用．

（五）作業(yè) 

教材P115習題中，A組1(3)，10，11，12題；A層學生多做B組3題．

探究活動

問題：如圖1，有一張四邊形ABCD紙片，且AB=AD=6cm，CB=CD=8cm，∠B=90°．

（1）要把該四邊形裁剪成一個面積最大的圓形紙片，你能否用折疊的方法找出圓心，若能請你度量出圓的半徑（精確到0.1cm）；

（2）計算出最大的圓形紙片的半徑（要求精確值）．

 

提示：（1）由條件可得AC為四邊形似的對稱軸，存在內切圓，能用折疊的方法找出圓心：

如圖2，①以AC為軸對折；②對折∠ABC，折線交AC于O；③使折線過O，且EB與EA邊重合．則點O為所求圓的圓心，OE為半徑．

（2）如圖3，設內切圓的半徑為r，則通過面積可得：6r+8r=48，∴r=．

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