初中數(shù)學(xué)《圓和圓的位置關(guān)系》的教案設(shè)計
教學(xué)目標
(一)教學(xué)知識點
1．了解圓與圓之間的幾種位置關(guān)系．
2．了解兩圓外切、內(nèi)切與兩圓圓心距d、半徑R和r的數(shù)量關(guān)系的聯(lián)系．
(二) 能力訓(xùn)練要求
1．經(jīng)歷探索兩個圓之間位置關(guān)系的過程，訓(xùn)練學(xué)生的探索能力．
2．通過平移實驗直觀地探索圓和圓的位置關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的識圖能力和動手操作能力．
(三)情感與價值觀要求
1．通過探索圓和圓的位置關(guān)系，體驗數(shù)學(xué)活動充滿著探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴謹性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性．
2．經(jīng)歷探究圖形的位置關(guān)系，豐富對現(xiàn)實空間及圖形的認識，發(fā)展形象思維．
教學(xué)重點
探索圓與圓之間的幾種位置關(guān)系，了解兩圓外切、內(nèi)切與兩圓圓心距d、半徑R和r的數(shù)量關(guān)系的聯(lián)系．
教學(xué)難點
探索兩個圓之間的位置關(guān)系，以及外切、內(nèi)切時兩圓圓心距d、半徑R和r的數(shù)量關(guān)系的過程．
教學(xué)方法
教師講解與學(xué)生合作交流探索法
教具準備
投 影片三張
第一張：(記作§3． 6A)
第二張：(記作§3．6B)
第三張：(記作§3．6C)
教學(xué)過程
�、瘢畡�(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課
[師]我們已經(jīng)研究過點和圓的位置關(guān)系，分別為點在圓內(nèi)、點在圓上、點在圓外三種；還探究了直線和圓的位置關(guān)系，分別為相離、相切、相交．它們的位置關(guān)系都有三種．今天我們要學(xué)習(xí)的內(nèi)容是圓和圓的位置關(guān)系，那么結(jié)果是不是也是三種呢？沒有調(diào)查就沒有發(fā)言權(quán)．下面我們就來進行有關(guān)探討．
Ⅱ．新課講解
一、想一想
[師]大家思考一下，在現(xiàn)實生活中你見過兩個圓的哪些位置關(guān)系呢？
[生]如自行車的兩個車輪間的位置關(guān) 系；車輪輪胎的兩個邊界圓間的位置關(guān)系；用一只手拿住大小兩個圓環(huán)時兩個圓環(huán)間的位置關(guān)系等．
[師]很好，現(xiàn)實生活中我們見過的有關(guān)兩個圓的位置很多．下面我們就來討論這些位置關(guān)系分別是什么．
二、探索圓和圓的位置關(guān)系
在一張透明紙上作一個⊙O．再在另一張透明紙上作一個與⊙O1半徑不等的⊙O2．把兩張透明紙疊在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1與⊙O2有幾種位置關(guān)系？
[師]請大家先自己動手操作，總結(jié)出不同的位置關(guān)系，然后互相交流．
[生]我總結(jié)出共有五種位置關(guān)系，如下圖：
[師]大家的歸納、總結(jié)能力很強，能說出五種位置關(guān)系中各自有什么特點嗎？從公共點的個數(shù)和一個圓上的點在另一個圓的內(nèi)部還是外 部來考慮．
[生]如圖：(1)外離：兩個圓沒有公共點，并且每一個圓上的點都在另一個圓的外部；
(2)外切：兩個圓有唯一公共點，除公共點外一個圓上的點都在另一個圓的外部；
(3)相交：兩個圓有兩個公共點，一 個圓上的點有的在另一個圓的外部，有的在另一個圓的內(nèi)部；
(4)內(nèi)切：兩個圓有一個公共點，除公共點外，⊙O2上的點在⊙O1的.內(nèi)部；
(5)內(nèi)含：兩個圓沒有公共點，⊙O2上的點都在⊙O1的內(nèi)部．
[師]總結(jié)得很出色，如果只從公共點的個數(shù)來考慮，上面的五種位置關(guān)系中有相同類型嗎？
[生]外離和內(nèi)含都沒有公共點；外切和內(nèi)切都有一個公共點；相交有兩個公共點．
[師]因此只從公共點的個數(shù)來考慮，可分為相離、相切、相交三種．
經(jīng)過大家的討論我們可知：
投影片(§24.3A)
(1)如果從公共點的個數(shù)，和一個圓上的點在另一個圓的外部還是內(nèi)部來考慮，兩個圓的位置關(guān)系有五種：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含．
(2)如果只從公共點的個數(shù)來考慮分三種：相離、相切、相交，并且相離 ，相切
三、例題講解
投影片(§24.3B)
兩個同樣大小的肥皂 泡黏在一起，其剖面如圖所示(點O，O＇是圓心)，分隔兩個肥皂泡的肥皂膜PQ成一條直 線，TP、NP分別為兩圓的切線，求∠TPN的大小．
分析：因為兩個圓大小相同，所以 半徑OP＝O＇P＝OO＇，又TP、NP分別為兩圓的切 線，所以PT⊥OP，PN⊥O＇P，即∠OPT＝∠O＇PN＝90°，所以∠TPN等于36 0°減去∠OPT＋∠O＇PN＋∠OPO＇即可．
解 ：∵OP＝OO＇＝PO＇，
∴△PO＇O是一個等邊三角形．
∴∠OPO＇＝60°．
又∵TP與NP分別為兩圓的切線，
∴∠TPO ＝∠NPO＇＝90°．
∴∠TPN＝360°－2×90°－60°＝120°．
四、想一想
如圖(1)，⊙O1與⊙O2外切，這個圖是 軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？切點與對稱軸有什么位置關(guān)系？如果⊙O1與⊙O2內(nèi)切呢？〔如圖(2 )〕
[師]我們知道圓是軸對稱圖形，對稱軸是任一直徑所在的直線，兩個圓是否也組成一 個軸對稱圖形呢？這就要看切點T是否在連接兩個圓心的直線上，下面我們用反證法來證明．反證法的步驟有三 步：第一步是假設(shè)結(jié)論不成立；第二步是根據(jù)假設(shè)推出和已知條件或定理相矛盾的結(jié)論；第三步是證明假設(shè)錯誤，則原來的結(jié)論成立．
證明：假設(shè)切點T不在O1O2上．
因為圓是軸對稱圖形，所以T關(guān)于O1O2的對稱點T＇也是兩圓的公共點，這與已知條件⊙O1和⊙O2相切矛盾，因此假設(shè)不成立．
則T在O1O2上．
由此可知圖(1)是軸對稱圖形，對 稱軸是兩圓的連心線，切點與對稱軸的位置關(guān)系是切點在對稱軸上．
在圖(2)中應(yīng)有同樣的結(jié)論．
通過上面的討論，我們可以得出結(jié)論：兩圓相內(nèi)切或外切時，兩圓的連心線一定經(jīng)過切點，圖(1)和圖(2)都是軸對稱圖形，對稱軸是它們的連心 線．
五、議一議
投影片(§24.3C)
設(shè)兩圓的半徑分別為R和r．
(1)當兩圓外切時，兩圓圓心之間的距離(簡稱圓心距)d與R和r具有怎樣的關(guān)系？反之當d與R和r滿足這一關(guān)系時，這兩個圓一定外切嗎？
(2)當兩圓內(nèi)切時(R＞r)，圓心距d與R和r具有怎樣的關(guān)系？反之，當d與R和r滿足這一關(guān)系時，這兩個圓一定內(nèi)切嗎？
[師]如圖，請大家互相交流．
[生]在圖(1)中，兩圓相外切，切點是A．因為切點A在連心線 O1O2上，所以O(shè)1O2＝O1A＋O2A＝R＋r，即d＝R＋r；反之，當d＝R＋r時，說明圓心距等于兩圓半徑之和，O1、A、O2在一條直線上，所以⊙O1與⊙O2只有一個交點A，即⊙O1與⊙O2外切．
在圖(2)中，⊙O1與⊙O2相內(nèi)切，切點是 B．因為切點B在連心線O1O2上，所以 O1O2＝O1B－O2B，即d＝R－r；反之，當d＝R－r時，圓心距等于兩半徑之差，即O1O2＝O1B－O2B，說明O1、O2、B在一條直線上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1與⊙O2內(nèi)切．
[師]由此可知，當兩圓相外切時，有d＝R＋r，反過來，當d＝R＋r時，兩圓相外切，即兩圓相外切 d＝R＋r．
當兩圓相內(nèi)切時，有d＝R－r，反過來，當d＝R－r時，兩圓相內(nèi) 切，即兩圓相內(nèi)切 d＝R－r．
Ⅲ．課堂練習(xí)
隨堂練習(xí)
�、簦n時小結(jié)
本節(jié)課學(xué)習(xí)了如下內(nèi)容：
1．探索圓和圓的五種位置關(guān)系；
2．討論在兩圓外切或內(nèi)切情況下，圖形的軸對稱性及對稱軸，以及切點和對稱軸的位置關(guān)系；
3． 探討在兩圓外切或內(nèi)切時，圓心距d與R和r之間的關(guān)系．
�、酰n后作業(yè) 習(xí)題24.3
�、觯顒优c探究
已知圖中各圓兩兩相切，⊙O的半徑為2R，⊙O1、⊙O2的半徑為R，求⊙O3的半徑．
分析：根據(jù)兩圓相外切連心線的長為兩半徑之和，如果設(shè)⊙O 3的半徑為r，則O1O3＝O2O3＝R＋r，連接OO3就有OO3⊥O1O2，所以O(shè)O2O3構(gòu)成了直角三角形，利用勾股定理可求得⊙O3的半徑r．
解：連接O2O3、OO3，
∴∠O2OO3＝90°，OO3＝2R－r，
O2O3＝R＋r，OO2＝R．
∴(R＋r)2＝(2R－r)2＋R2．
∴r＝ R．
板書設(shè)計
§24.3 圓和圓的位置關(guān)系
一、1．想一想
2．探索圓和圓的位置關(guān)系
3．例題講解
4．想一想
5．議一議
二、課堂練習(xí)
三、課時小結(jié)
四、課后作業(yè)
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