2013考研數(shù)學(xué) 矩陣的特征與向量講解

矩陣的特征值與特征向量問題是考研數(shù)學(xué)中一�？键c(diǎn)，然而在最后沖刺這一階段，同學(xué)們?cè)谧稣骖}和模擬題《考研數(shù)學(xué)絕對(duì)考場(chǎng)最后八套題》時(shí)對(duì)這一考點(diǎn)還存在一些疑惑，對(duì)此，考研數(shù)學(xué)的輔導(dǎo)老師特撰此文講解矩陣的特征值與特征向量問題，助同學(xué)們考研成功。

矩陣的特征值與特征向量的定義：

設(shè)為階矩陣，若存在常數(shù)和向量，使得，則稱為矩陣的特征值，稱為矩陣的屬于特征值的特征向量。

求特征值與特征向量的常用思路：

1.根據(jù)定義求特征值和特征向量。

2.當(dāng)已給出矩陣，通過求出特征值，然后通過求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，求出矩陣的屬于特征值的線性無關(guān)的特征向量。

3.利用關(guān)聯(lián)矩陣的特征值之間的關(guān)系求特征值，如互逆矩陣的特征值互為倒數(shù);相似矩陣的特征值相同;和有相同的特征值等。并利用關(guān)聯(lián)矩陣特征向量之間的關(guān)系求矩陣的屬于特征值的特征向量，如當(dāng)可逆時(shí)，、與對(duì)應(yīng)的特征值的特征向量相同等。

一般矩陣與實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)：

1.階矩陣的所有特征值之和等于矩陣的跡，階矩陣的所有特征值之積等于矩陣的行列式。

2.設(shè)為階矩陣的特征值，若為矩陣的屬于特征值的特征向量，則也是矩陣的屬于特征值的特征向量。

3.實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)。

4.矩陣的不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)，實(shí)對(duì)稱矩陣的不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量正交。

上述講解得比較簡(jiǎn)單，同學(xué)們可自行翻閱《2013全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試線性代數(shù)輔導(dǎo)講義》，并結(jié)合相關(guān)典型例題習(xí)題來加深理解和掌握。

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