- 相關推薦
2015考研數(shù)學 方程跟的個數(shù)問題(一)
縱觀考研數(shù)學多年來的考試大綱和考試真題試卷，總體上講變化不大。每年的考試范圍和知識點基本相同或相近，考試題型的變化幅度也不是很大，其中有一些重要題型是年年考或經(jīng)�？�，如果考生能完全掌握這些重要題型的解題思路和方法，并能熟練地解答這些題型，則對于順利地通過考研數(shù)學考試將有極大幫助。為了幫助各位考生學會并提高解答數(shù)學重要題型的水平，考研輔導老師針對歷年考研數(shù)學中的重要題型進行深入解剖，分析提煉出各種�？贾匾}型及方法，供考生們參考。下面主要分析高等數(shù)學中關于方程根的個數(shù)問題這類重要題型及解題方法。
題型：方程根的個數(shù)問題(一)
方程 =0的根，也就是函數(shù) 的零點，有關方程根的問題一般可以利用函數(shù)的有關理論加以分析和解決。
主要的分析解決工具包括：
1)函數(shù)零點定理：若函數(shù) 在 上連續(xù)，且 ，則至少存在一點 ，使 ( 稱為函數(shù)的零點)。
2)函數(shù)單調(diào)性：若函數(shù) 在 上連續(xù)且單調(diào)(單調(diào)增加或單調(diào)減少)，則：1)當 時， 在 上有唯一零點;2)當 時， 在 上沒有零點。
3)羅爾中值定理：若函數(shù) 在 上連續(xù)，在 上可導，且 ，則至少存在一點 ，使 。
一般求解步驟：
1)先看有無明顯的實根;
2)引入相應函數(shù)，寫出定義域，判斷端點函數(shù)值和特殊點函數(shù)值的正負;
3)求導數(shù)，找出駐點和單調(diào)區(qū)間，討論在各單調(diào)區(qū)間上的實根個數(shù)。
典型例題
例1.求方程 不同實根的個數(shù)，其中k為參數(shù) (2011年考研數(shù)學一第17題)
解析：顯然 =0是一個實根。令 ，則 ， ， ， ;若 ， 單調(diào)減少， 只有唯一零點，即原方程只有唯一實根x=0;
1)若 ， 在 上都是單調(diào)減少，且 ，故 只有唯一零點，原方程只有唯一實根x=0;
2)若 ，當 時， ， 單調(diào)增加，而 ，所以 ;當 時， ， 單調(diào)減少;由此得： 在區(qū)間 上各有一個零點，即原方程在這3個區(qū)間上各有一個實根。
綜上得：當 時，方程只有一個實根;當 時，方程有3個不同實根。
例2.設有方程 ，其中 為正整數(shù)，證明此方程存在唯一正實根 ，并證明當 時，級數(shù) 收斂 (2004年考研數(shù)學一第18題)
解析：設 ，則 ，由零點定理知 在(0,1)上至少有一個零點。而 ，故 在(0，+∞)上單調(diào)增加，因此， 在(0，+∞)上只存在唯一一個零點 ，且0< <1，由 ，得 ，當 時，級數(shù) 收斂，由正項級數(shù)的比較審斂法知， 收斂。
注：n次方程有n個根，因此方程 的負實根可能有很多個(可能還有復數(shù)根)。
上面就是考研數(shù)學之高等數(shù)學中的方程根的個數(shù)問題這類重要題型及解題方法，供考生們參考借鑒。在以后的時間里，老師們還會陸續(xù)向考生們介紹其它�？贾匾}型及解題方法，希望各位考生留意查看。最后預祝各位考生在2015考研中取得佳績。
【考研數(shù)學 方程跟的個數(shù)問題(一)】相關文章：
一個數(shù)論函數(shù)方程的正整數(shù)解問題04-28
《實際問題與方程》數(shù)學教案11-20
兩個數(shù)學問題的簡證及推廣04-27
地面搜索問題的兩個數(shù)學模型04-29
《實際問題與方程1》數(shù)學教案04-11
考研數(shù)學沖刺階段復習中的問題04-28
考研數(shù)學備考復習常見問題04-27
考研數(shù)學備考中的常見問題12-04
考研數(shù)學復習中應該注意的問題04-28