創(chuàng)意平板折疊桌設(shè)計(jì)
創(chuàng)意平板折疊桌設(shè)計(jì)
摘要
本文是關(guān)于某公司生產(chǎn)一種可折疊的桌子，建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型解決此折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù)，以及最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，以滿足客戶所期望的創(chuàng)意平板折疊桌。
問(wèn)題一，給定長(zhǎng)方形平板尺寸、每根木條寬度，以及連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，首先建立空間坐標(biāo)的方法，以桌面圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)（0,0），Y方向?yàn)樽滥_中線鋼筋固定線的平行線方向，X為地平面上垂直于鋼筋線的方向，Z為過(guò)原點(diǎn)垂直于地平面的方向，描述折疊的動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)過(guò)程，即折疊夾角? 的變換過(guò)程(0???900)。再根據(jù)不同?角度的折疊效果設(shè)計(jì)，由桌腳邊緣線的空間幾何關(guān)系，計(jì)算出不同桌腿木條開(kāi)槽長(zhǎng)度，最終通過(guò)Matlab擬合函數(shù)，求解出每條桌腿邊緣線的空間曲線方程。
問(wèn)題二，建立優(yōu)化模型，桌子的穩(wěn)定性可以表示為桌腿的在地平面上的投影面積。根據(jù)問(wèn)題一的分析，定義第一條桌腿對(duì)應(yīng)的外邊區(qū)域的面積為S1，中心桌腿對(duì)應(yīng)的面積為S2，
建立優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，選取最長(zhǎng)桌腳與桌高度、開(kāi)槽長(zhǎng)度最大值、邊緣第一個(gè)桌腿切口預(yù)留長(zhǎng)度為約束條件，利用Lingo軟件編寫程序優(yōu)化求解，得到折疊桌最優(yōu)的長(zhǎng)度L、鋼筋位置、開(kāi)槽
長(zhǎng)度等參數(shù)數(shù)值。
問(wèn)題三 ，在問(wèn)題二的基礎(chǔ)上，先給出一個(gè)比較簡(jiǎn)單的桌面形狀，并給定一個(gè)高度，再通過(guò)合理的方法將將問(wèn)題三轉(zhuǎn)化到問(wèn)題二上進(jìn)行建模求解。在此之后我們?cè)俳o出一般的數(shù)學(xué)模型，并給出了一些簡(jiǎn)單的設(shè)計(jì)草圖。
關(guān)鍵詞 直紋曲面 折疊桌 開(kāi)槽的長(zhǎng)度 加工參數(shù) Lingo優(yōu)化模型
- 1 -
一、 問(wèn)題重述
某公司生產(chǎn)一種可折疊的桌子，桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動(dòng)可以平攤成一張平板（如圖1-2所示）。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動(dòng)的自由度（見(jiàn)圖3）。桌子外形由直紋曲面構(gòu)成，造型美觀。附件視頻展示了折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程。
試建立數(shù)學(xué)模型討論下列問(wèn)題：
1. 給定長(zhǎng)方形平板尺寸為120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木條寬2.5 cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53 cm。試建立模型描述此折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，在此基礎(chǔ)上給出此折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù)（例如，桌腿木條開(kāi)槽的長(zhǎng)度等）和桌腳邊緣線（圖4中紅色曲線）的數(shù)學(xué)描述。
2. 折疊桌的設(shè)計(jì)應(yīng)做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少。對(duì)于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設(shè)計(jì)要求，討論長(zhǎng)方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，例如，平板尺寸、鋼筋位置、開(kāi)槽長(zhǎng)度等。對(duì)于桌高70 cm，桌面直徑80 cm的情形，確定最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。
3. 公司計(jì)劃開(kāi)發(fā)一種折疊桌設(shè)計(jì)軟件，根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實(shí)可行的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀。你們團(tuán)隊(duì)的任務(wù)是幫助給出這一軟件設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)所建立的模型給出幾個(gè)你們自己設(shè)計(jì)的創(chuàng)意平板折疊桌。要求給出相應(yīng)的設(shè)計(jì)加工參數(shù)，畫出至少8張動(dòng)態(tài)變化過(guò)程的示意圖。
二、 變量說(shuō)明
- 2 -
三、 約束條件
1．桌退的開(kāi)槽以直角向園內(nèi)切割，問(wèn)題一和問(wèn)題二中不考慮斜角切割的情況； 2．桌子的平衡穩(wěn)定性不考慮不同材質(zhì)的摩擦問(wèn)題； 3．各個(gè)桌腿間的縫隙設(shè)定為常量；
4.假設(shè)桌子的平面是水平的，且折疊后桌子的高度一定，地面是水平光滑的。
四、問(wèn)題一求解
4.1 設(shè)計(jì)要求
給定長(zhǎng)方形平板尺寸為120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木條寬2.5 cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53 cm。試建立模型描述此折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，在此基礎(chǔ)上給出此折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù)（例如，桌腿木條開(kāi)槽的長(zhǎng)度等）和桌腳邊緣線（圖4中紅色曲線）的數(shù)學(xué)描述。
4.2 已知條件
給定長(zhǎng)方形平板尺寸為120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木條寬2.5 cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53 cm。
長(zhǎng)方形平板長(zhǎng)L度：120cm；
桌面圓心半徑R：25cm；（注：桌面直徑是長(zhǎng)方形平板的寬度） 材料厚度w：3cm； 每根木條寬d：2.5 cm； 桌高H：53cm
4.3 問(wèn)題分析 4.3.1 桌腳直紋曲面
根據(jù)折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程的視頻材料分析，給定長(zhǎng)方形平板尺寸、高度和鋼筋位置時(shí)，當(dāng)折疊角度變化的情況下，桌腿桌腳邊緣線的變換規(guī)律，最外最長(zhǎng)的桌腳作為支撐點(diǎn)著地，其余桌腳懸空，距離中心越近的桌腳懸空和旋轉(zhuǎn)的角度越大；由于連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條
- 3 -
的中心位置固定（30cm處），為了能夠形成折疊角度，只要設(shè)計(jì)合適的桌腿木條開(kāi)槽的長(zhǎng)度，就能夠?qū)崿F(xiàn)不同角度的折疊效果。也就是說(shuō)，桌子外形由直紋曲面構(gòu)成，而且直紋曲面中間共線的點(diǎn)就是開(kāi)槽的最低點(diǎn)，即桌腳鋼筋位置。當(dāng)不同折疊角度時(shí)，直紋曲面的對(duì)應(yīng)的不同參數(shù)就是要求解的桌面設(shè)計(jì)參數(shù)。
4.3.2 空間坐標(biāo)建立
折疊的動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)過(guò)程可以表述為，求解不同折疊角度下的桌腿木條開(kāi)槽的長(zhǎng)度即可，而桌腳邊緣線的空間參數(shù)方程也就是不同桌腿木條開(kāi)槽長(zhǎng)度的函數(shù)。為了表述清楚，下面給出相對(duì)位置關(guān)系的空間坐標(biāo)表示，如圖1所示。
其中，地平面為參考面，以桌面圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)（0,0），Y方向?yàn)樽滥_中線鋼筋固定線的平行線方向，X為地平面上垂直于鋼筋線的方向，Z為過(guò)原點(diǎn)垂直于地平面的方向，具體見(jiàn)圖2所示。
0,0）：
地平面
圖1 三維空間坐標(biāo)平面
為了描述折疊的動(dòng)態(tài)效果，將第一條桌腿與Z軸的夾角定義為? ，表示折疊的程度，?的變化范圍為[90,0]， 如圖3所示。
- 4 -
Z軸夾角
地平面
圖2 折疊夾角示意圖
4.3.3 桌面邊緣預(yù)留長(zhǎng)度
因?yàn)閳A桌是對(duì)稱的，我們?cè)谶@里僅僅分析一半桌腿設(shè)計(jì)參數(shù)的情況，另外一半相同。桌面邊緣第一個(gè)桌腿切口要有一定的預(yù)留長(zhǎng)度才能夠支撐和固定，左右邊緣的第一個(gè)桌腿是唯一的著地的，要承載桌面的多部分重量。因此，要在符合桌高固定的約束條件下，預(yù)留足夠的長(zhǎng)度使得桌面平衡。具體定義見(jiàn)圖4所示。
留長(zhǎng)度x
圖3 桌面邊緣預(yù)留長(zhǎng)度
4.4 問(wèn)題一模型建立
根據(jù)以上分析，當(dāng)長(zhǎng)方形平板尺寸、桌高度和鋼筋位置是常量時(shí)，桌腳的折疊程度取決于桌面邊緣長(zhǎng)度的預(yù)留值x。桌高度H和長(zhǎng)方形平板長(zhǎng)寬一定時(shí)，折疊夾角?與長(zhǎng)度存在固定幾何關(guān)系。具體見(jiàn)圖4。
- 5 -
L-x:
：桌子高度
圖4 第一個(gè)桌腳長(zhǎng)度與桌高的幾何關(guān)系
其余桌腳的開(kāi)口位置從圓上向內(nèi)直切，依此可以計(jì)算出各個(gè)桌腿的長(zhǎng)度。由于圓上對(duì)策的，在這里僅僅給出左邊四分子一的圓桌桌腳切割設(shè)計(jì)，具體設(shè)如圖5所示。
- 6 -
虛心為圓半徑
向垂直
圖5 桌腳長(zhǎng)度裁剪設(shè)計(jì)圖
根據(jù)勾股定理，可以計(jì)算出所有裁剪后的桌腿的長(zhǎng)度為：
l1i?i?2,..,10
然后根據(jù)圖4的幾何關(guān)系，我們可以直接計(jì)算出折疊夾角?，然后給出轉(zhuǎn)夾角增量??，就可以依此計(jì)算出每個(gè)桌腿的開(kāi)槽長(zhǎng)度：
l2i?l1i?
H
,i?2,..,10
cos(????)
4.5．問(wèn)題一求解結(jié)果
- 7 -
4.5.1 每條桌腿的開(kāi)槽長(zhǎng)度
求桌腳的長(zhǎng)度公式為：
I?L.
求桌邊緣的公式為：
d?
求各桌腳繞點(diǎn)的坐標(biāo)的公式為：
w1?c(N?1)?m.
求最長(zhǎng)桌腿與桌面夾角theta正玄值公式為：
sin?10?
H?h
. I10
求折疊后鋼筋與各桌腳的交點(diǎn)q，即開(kāi)槽末端公式為：
??
?q1?w1??q?d ?210?
?L10?q3?
2sin?10??
桌腳短點(diǎn)的坐標(biāo)為：
?x?w1?
?y?cos?*L?d. ?z?|sin?*L|?d?
xyz?[x;y;z].
Matlab運(yùn)行結(jié)果，如下表1所示：
- 8 -
圖6 空間曲面
4.5.2 桌腳邊緣線空間曲線方程
由上面所得的數(shù)據(jù)，在不同的視角下的MATLAB編程擬合曲線以及立體圖形
- 9 -
圖7 桌角邊緣空間曲線
圖8 桌角邊緣空間曲線
4.5.3折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程
- 10 -
圖9 MATLAB動(dòng)態(tài)過(guò)程示意圖角邊緣空間曲線
五、 問(wèn)題二求解
5.1 設(shè)計(jì)要求
折疊桌的設(shè)計(jì)應(yīng)做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少。對(duì)于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設(shè)計(jì)要求，討論長(zhǎng)方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，例如，平板尺寸、鋼筋位置、開(kāi)槽長(zhǎng)度等。對(duì)于桌高70 cm，桌面直徑80 cm的情形，確定最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。給定長(zhǎng)方形平板尺寸、高度和鋼筋位置的圓桌參數(shù)設(shè)計(jì)。
5.2 已知條件
已知桌高70 cm，桌面直徑80 cm。
5.3. 問(wèn)題分析
5.3.1 基本參數(shù)說(shuō)明
（1）變量定義
H：桌子高度，初始值為70cm；
L：桌子長(zhǎng)度的一半；
R：桌面半徑，初始值為40cm；
d ：木條寬度；
x：邊緣第一個(gè)桌腿切口預(yù)留長(zhǎng)度；
t：鋼筋位置，以地面為參考點(diǎn)；
?1 ：邊緣第一個(gè)桌腿與地面垂線之間的夾角，cos?1?H； L?x
?
2：中心桌腿與地面垂線之間的夾角，cos?2?
（2）可計(jì)算相關(guān)參數(shù)
圖10 桌腳長(zhǎng)度裁剪設(shè)計(jì)圖
（注：第一條桌腿對(duì)應(yīng)的外邊區(qū)域的面積為S1，中心桌腿對(duì)應(yīng)的面積為S2）
桌面面積：
S=2R?2L
桌角在地平面上的投緣面積：
S1=[2
鋼筋位置：
H?2x]?2R cos?1
L?t?L2
5.3 優(yōu)化模型建立
在桌子高度和木條寬度一定的情況下，桌子的穩(wěn)定性可以表示為桌腿的在地平面上的投影面積，根據(jù)第一個(gè)問(wèn)題的分析可以知道，第一條桌腿的折疊角度一定時(shí)，中心桌腿的旋轉(zhuǎn)角度最大。因此，定義第一條桌腿對(duì)應(yīng)的外邊區(qū)域的面積為S1，中心桌腿對(duì)應(yīng)的面積為S2，如圖6所示。
因此，建立優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)：
Max ?=
約束條件為：
（1）最長(zhǎng)桌腳與桌高度約束關(guān)系 S2 S1
L?x?d?H.
（2）開(kāi)槽長(zhǎng)度最大值約束關(guān)系
L
L?d2.
（3）邊緣第一個(gè)桌腿切口預(yù)留長(zhǎng)度約束
x??2d.
建立Lingo優(yōu)化模型如下所示：
MODEL:
min=(R-@sqrt((L-x)^2+H^2))/(R+@sqrt((L-x)^2+H^2));
！面積比可以近似轉(zhuǎn)換為內(nèi)外側(cè)半徑長(zhǎng)度的比值
L-x-d>H;
L-@sqrt(R^2-x^2)
x>=2*d;
data:
H=70;
R=40;
d=2.5;
enddata
END
5.4優(yōu)化模型求解
（1）運(yùn)行結(jié)果
Local optimal solution found.
Objective value: -2.215250
Infeasibilities: 0.000000
Extended solver steps: 2
Total solver iterations: 9
Variable Value Reduced Cost
R 40.00000 0.000000
L 84.37254 0.000000
X 5.000000 0.000000
H 70.00000 0.000000
D 2.500000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 -2.215250 1.000000
2 6.872539 0.000000
3 0.000000 0.2769063E-01
4 0.000000 -0.1733401E-01
(2) 敏感度分析
當(dāng)d取不同的.值時(shí)，我們可以進(jìn)行敏感度分析：
d=3時(shí)
Local optimal solution found.
Objective value: -2.219104
Infeasibilities: 0.000000
Extended solver steps: 2
Total solver iterations: 8
Variable Value Reduced Cost
R 40.00000 0.000000
L 85.09488 0.000000
X 6.000000 0.000000
H 70.00000 0.000000
D 3.000000 0.000000
d=4時(shí)
Local optimal solution found.
Objective value: -2.229059
Infeasibilities: 0.000000
Extended solver steps: 2
Total solver iterations: 9
Variable Value Reduced Cost
R 40.00000 0.000000
L 86.38367 0.000000
X 8.000000 0.000000
H 70.00000 0.000000
D 4.000000 0.000000
d=5時(shí)
Local optimal solution found.
Objective value: -2.242177
Infeasibilities: 0.000000
Extended solver steps: 2
Total solver iterations: 8
Variable Value Reduced Cost
R 40.00000 0.000000
L 87.45967 0.000000
X 10.00000 0.000000
H 70.00000 0.000000
D 5.000000 0.000000
d=6時(shí)
Local optimal solution found.
Objective value: -2.258718
Infeasibilities: 0.000000
Extended solver steps: 2
Total solver iterations: 8
Variable Value Reduced Cost
R 40.00000 0.000000
L 88.31514 0.000000
X 12.00000 0.000000
H 70.00000 0.000000
D 6.000000 0.000000
d=7時(shí)，
為無(wú)效的解，既不滿足高度約束條件。
5.5 求解結(jié)果分析
表2 優(yōu)化參數(shù)
對(duì)于給定的桌子高和半徑，我們每給一個(gè)，取不同的，都可以得到一個(gè)對(duì)應(yīng)的桌腿與垂直方向高的夾角?，由此得出不同的面積。由于Max ?=
分別為： S2，根據(jù)上面運(yùn)行的結(jié)果數(shù)據(jù)得到 的值，S1
0.7909 0.7988 0.8163 0.8376 0.8629
所以，當(dāng)d=6, x=12時(shí)該折疊桌的設(shè)計(jì)達(dá)到了最優(yōu)，此時(shí)的桌子長(zhǎng)度為88.31514，所得到的桌面在地面的投影達(dá)到最大值1.2193*10^4，這樣的設(shè)計(jì)使得桌子最穩(wěn)定、加工方便、用材最少。根據(jù)此設(shè)計(jì)尺寸，繪出如圖7、8、9所示的平面圖：
圖11 折疊桌平面圖
圖12折疊桌平面圖
圖13折疊桌平面圖
由于影響桌子性能的因素不止一個(gè)，而是不計(jì)其數(shù)，甚至我們無(wú)法預(yù)料，所以我們所得的最優(yōu)化尺寸可能僅僅是一個(gè)相對(duì)的值，但是我們建立的尺寸模型滿足人們最基本的要求，即：用材最少、性能最高，穩(wěn)定性最好且符合人們舒適的要求。
六、 問(wèn)題三求解
6.1設(shè)計(jì)要求
根據(jù)用戶要求的高度和桌面形狀，在滿足穩(wěn)定性好、加工方便、用材最少的基礎(chǔ)上討論折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，例如，平板尺寸，開(kāi)槽長(zhǎng)度等。對(duì)于高70cm,桌面為正方形的情形，確定最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。
6.2模型建立
已知桌高70，桌面形狀為正方形。
基本參數(shù)和問(wèn)題二中一致，除了R未知。由于桌面為正方型，所以當(dāng)以他的外接圓為桌面的設(shè)計(jì)達(dá)到優(yōu)時(shí)也就是桌面為正方形的最優(yōu)設(shè)計(jì)。此時(shí)我們就可以將此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為問(wèn)題二，根據(jù)問(wèn)題二的建模思路及計(jì)算方法，我們可以先給R一個(gè)定值，讓d的取值變化，用lingo編程就可以到一組數(shù)值。然后我們?cè)诮od一個(gè)定值，讓R在變化，用同樣的方法也可以的到一組數(shù)據(jù)。（數(shù)據(jù)如下表）（為了計(jì)算方便在此我們對(duì)R只取六個(gè)值）繼續(xù)被利用模型二計(jì)算方法解出最優(yōu)值。
6.3模型求解分析
用Matlab編程得到的結(jié)果如表3所示。
為：
H=70 R=50 L=109.773 ?=47.7337
用auto CAD做出該設(shè)計(jì)的平面圖如圖10所示：
圖14
6.4模型推廣
對(duì)于更一般的情形我們可以建立空間坐標(biāo)給出如下模型
模型建立：
1．給定桌面和桌腳邊緣曲線，桌子高度h
? 桌面邊緣曲線方程：
?x??(t)??y??1(t)
?z?0?
? 桌腳邊緣最終的曲線方程：
?x??(t) ?*?y??2(t,?)
?*?z??(t,?).
其中，?=59.037? *
2．點(diǎn)的坐標(biāo)處理：
? 如圖，A,B,E坐標(biāo)如下：
E(?(t1),?1(t1),0) 其中?1(t1)?0；B(?(t2),?1(t2),0) 其中?(t1)??(t2)?w；A(?(t2),0,0)
? 最外側(cè)桌腿最終狀態(tài)桌腳點(diǎn)的坐標(biāo)，
，求解l*. D(?(t2),?2(t2,?*),?(t2,?*)) ，其中（?=?*）
根據(jù)勾股定理可得： sin?*?nh?d厚? *ll*
則， l*?h?d厚
sin?*
并繪制出如寫的一些設(shè)計(jì)圖片如下圖所示：
圖15效果圖
七、模型評(píng)價(jià)
對(duì)問(wèn)題一和問(wèn)題二中利用優(yōu)化可以反應(yīng)木板長(zhǎng)度寬度和模板面積之間的相關(guān)性進(jìn)行分析，處理；所建立的模型與實(shí)際緊密聯(lián)系，利用MATLAB軟件和lingo軟件編程就能達(dá)到很好的效果，有很好的通用性和推廣型且可信度高；對(duì)數(shù)處理用曲線擬合避免了一些特殊點(diǎn)（如：誤差大的點(diǎn)）的丟失和因此而產(chǎn)生的誤差。在建立模型時(shí)，由于我們考慮到的影響桌子性能的因素不是很全面，只是取其最重要的因素來(lái)建立模型，所以求得的最優(yōu)解可能也只是一個(gè)相對(duì)最優(yōu)解，但也符合人們的需求�？傊覀兊脑O(shè)計(jì)模型還是一個(gè)比較完美的設(shè)計(jì)。
參考文獻(xiàn)
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[7]中國(guó)知網(wǎng).便攜式家具研究（碩士論文）.2013年6月.
附錄
問(wèn)題一源代碼：
程序一（求解坐標(biāo)）
clear all;
clc;
a=120; %桌長(zhǎng)%
b=50; %桌寬%
h=3; %厚%
H=53; %桌高%
c=2.5; %木條寬%
m=2.2; %鋸齒邊緣調(diào)整參數(shù)%
n=b/c; %每排桌腳數(shù)%
N=1:(n/2); %從最短桌腳向側(cè)邊桌腳編號(hào)% L=a/2-sqrt((b/2).^2-(c*(N-1)+m).^2); %桌腳長(zhǎng)度%
d=sqrt((b/2).^2-(c*(N-1)+m).^2); %桌邊緣%
w1=c*(N-1)+m; %各桌腳繞點(diǎn)w坐標(biāo)%
w2=d;
w3=zeros(1,n/2);
w=[w1;w2;w3];
sin_theta10=(H-h)/L(10); %最長(zhǎng)桌腿與桌面夾角theta正玄值%
q1=w1; %折疊后鋼筋與各桌腳的交點(diǎn)q，即開(kāi)槽末端%
q2=d(10)+L(10)/2*abs(sqrt(1-sin_theta10^2));
q3=L(10)/2*sin_theta10;
q=[q1;ones(1,n/2)*q2;ones(1,n/2)*q3];
t=L-L(10)/2*ones(1,n/2); %各桌腳開(kāi)槽的起點(diǎn)%
T=sqrt((q1-w1).^2+(q2-w2).^2+(q3-w3).^2); %各桌腳開(kāi)槽的終點(diǎn)%
T_t=T-t; %各桌腳的開(kāi)槽長(zhǎng)度% z1=ones(1,n/2)*q3;
z2=w3;
y1=ones(1,n/2)*q2;
y2=d;
tan_theta=(z1-z2)./(y1-y2); %各桌腳的正切值%
sin_theta=sin(atan(tan_theta)); %各桌腳的正玄值%
cos_theta=cos(atan(tan_theta)); %各桌腳的余弦值%
x=w1;
y=cos_theta.*L+d;
z=abs(sin_theta).*L;
xyz=[x;y;z]'; %桌腳端點(diǎn)坐標(biāo)%
display('各桌腳的開(kāi)槽長(zhǎng)度');
T_t'
display('桌腳端點(diǎn)坐標(biāo)');
x_y_z=xyz
display('各桌腳的
數(shù)據(jù)一
程序二（數(shù)據(jù)擬合）
x=[-24.7,-22.2,-19.7,-17.2,-14.7,-12.2,-9.7,-7.2,-4.7,-2.2,2.2,4.7,7.2,9.7,12.2,14.7,17.2,19.7,22.2,24.7]
x =
Columns 1 through 9
-24.7000 -22.2000 -19.7000 -17.2000 -14.7000 -12.2000 -9.7000 -7.2000 -4.7000
Columns 10 through 18
-2.2000 2.2000 4.7000 7.2000 9.7000 12.2000 14.7000 17.2000 19.7000
Columns 19 through 20
22.2000 24.7000
>>y=[29.3868,21.2423,17.5878,20.6808,25.8872,29.5916,32.2307,34.0693,35.2716,35.9364,35.9364,35.2716,34.0693,32.2307,29.5916,25.8872,20.6808,17.5878,21.2423,29.3868]
y =
Columns 1 through 9
29.3868 21.2423 17.5878 20.6808 25.8872 29.5916 32.2307 34.0693 35.2716
Columns 10 through 18
35.9364 35.9364 35.2716 34.0693 32.2307 29.5916 25.8872 20.6808 17.5878
Columns 19 through 20
21.2423 29.3868
>>z=[50,47.5146,44.554,41.7802,39.3729,37.3798,35.7979,34.6075,33.7867,33.3176,33.3176,33.7867,34.6075,35.7979,37.3798,39.3729,4
1.7802,44.554,50]
z =
Columns 1 through 9
50.0000 47.5146 44.5540 41.7802 39.3729 37.3798 35.7979 34.6075 33.7867
Columns 10 through 18
33.3176 33.3176 33.7867 34.6075 35.7979 37.3798 39.3729 41.7802 44.5540
Column 19
50.0000
>>z=[50,47.5146,44.554,41.7802,39.3729,37.3798,35.7979,34.6075,33.7867,33.3176,33.3176,33.7867,34.6075,35.7979,37.3798,39.3729,4
1.7802,44.554,47.5146,50]
z =
Columns 1 through 9
50.0000 47.5146 44.5540 41.7802 39.3729 37.3798 35.7979 34.6075 33.7867
Columns 10 through 18
33.3176 33.3176 33.7867 34.6075 35.7979 37.3798 39.3729 41.7802 44.5540
Columns 19 through 20
47.5146 50.0000
>> cftool(x,y,z)
程序三（凹槽形狀擬合）
a=[0.0000 ，4.7026 ，8.0531 ，10.7856 ，13.0448 ，14.8900 ，16.3540 ，17.4576 ，18.2146 ，18.6340 ，18.6340 ，18.2146 ，17.4576 ，16.3540 ，14.8900 ，13.0448 ，10.7856 ，8.0531 ，4.7026 ，0.0000 ];
>> plot(a)
程序四（三維曲線繪圖）
> x=[-24.7000 ，-22.2000 ，-19.7000 ，-17.2000 ，-14.7000 ，-12.2000 ，-9.7000 ，-7.2000 -4.7000 ，-2.2000 ，2.2000 ，
4.7000 ，7.2000 ，9.7000 ，12.2000 ，14.7000 ，17.2000 ，19.7000 ，22.2000 ，24.7000 ]；
>y=[29.3868 ，21.2423 ，17.5878 ，20.6808 ，25.8872 ，29.5916 ，32.2307 ，34.0693 ，35.2716 ，35.9364 ，35.9364 ，35.2716 ，34.0693 ，32.2307 ，29.5916 ，25.8872 ，20.6808 17.5878 ，21.2423 ，29.3868 ]；
> z=[50.0000 ，47.5146 ，44.5540 ，41.7802 ，39.3729 ，37.3798 ，35.7979 ，34.6075 ，33.7867 ，33.3176 ，33.3176 ，33.7867 ，34.6075 ，35.7979 ，37.3798 ，39.3729 ，41.7802 44.5540 ，47.5146 ，50.0000 ]；
>> plot3(x,y,z)
程序五（動(dòng)態(tài)過(guò)程表示）
L=120;D=50;d=2.5;hL=L/2;R=D/2; %木板長(zhǎng)；寬；腿木條寬；半長(zhǎng)；圓桌面半徑
ye=-R+d/2:d:R-d/2; xe=sqrt(R^2-ye.^2); %折疊點(diǎn)的y坐標(biāo)，x坐標(biāo)，各20個(gè)
legL=hL-xe;hH=legL(1)/2;ddeg=2; %腿長(zhǎng)度，20個(gè);最長(zhǎng)腿半長(zhǎng); 角度增量
Tx=[xe -xe;xe -xe];Tx=Tx(:);Tz=zeros(size(Tx)); %桌面數(shù)據(jù)
Ty=[ye-d/2 fliplr(ye)+d/2;ye+d/2 fliplr(ye)-d/2];Ty=Ty(:);
legx=[hL*ones(size(xe));hL*ones(size(xe));xe;xe]; %桌腿數(shù)據(jù)
legy=[ye-d/2;ye+d/2;ye+d/2;ye-d/2];legz=zeros(size(legx));
zhoux=[hL-legL(1)/2;hL-legL(1)/2];zhouy=[-R R];zhouz=[0;0]; %鋼筋軸數(shù)據(jù)
yb=linspace(ye(1),ye(end),50);xb=sqrt(R^2-yb.^2);
Bx=hL*ones(size(xb)); By=yb; Bz=zeros(size(xb)); %腿尖曲線數(shù)據(jù)
figure(1),clf;hold on
h1=patch(Tx,Ty,Tz,'facecolor',[1 0.5 0],'edgecolor',[1 1 1]);%畫桌面
h2=patch(legx,legy,legz,'facecolor',[1 0.5 0],'edgecolor',[1 1 1]);%畫桌腿
h3=patch(-legx,legy,legz,'facecolor',[1 0.5 0],'edgecolor',[1 1 1]);%畫桌腿
h4=plot3(zhoux,zhouy,zhouz,'c');h5=plot3(-zhoux,zhouy,zhouz,'c');%畫鋼筋軸
h6=plot3(Bx,By,Bz,'k');h7=plot3(-Bx,By,Bz,'k');%腿尖曲線
hold off;view(3);axis equal;axis([-hL hL -R R 0 2*hH]);axis off;
for deg=0:ddeg:75 %最長(zhǎng)桌腿相對(duì)桌面折疊角度
zz=-hH*sind(deg);xz=xe(1)+hH*cosd(deg); %鋼筋軸,z坐標(biāo)和x坐標(biāo)
alldeg=atan2(-zz*ones(size(xe)),xz-xe); %每個(gè)條腿折疊角度,20個(gè)
allx=legL.*cos(alldeg)+xe; %每條腿末端x坐標(biāo)，20個(gè)
allz=-legL.*sin(alldeg); %每條腿末端z坐標(biāo)，20個(gè)
alldeg2=atan2(-zz*ones(size(xb)),xz-xb);
Bx=(hL-xb).*cos(alldeg2)+xb;Bz=-(hL-xb).*sin(alldeg2);%腿尖曲線x數(shù)據(jù) minz=min(Bz); %最低腿z坐標(biāo)，桌子當(dāng)前高度 legx=[allx;allx;xe;xe]; %桌腿數(shù)據(jù)
legz=[allz;allz;zeros(size(allz));zeros(size(allz))]-minz;
set(h1,'ZData',-minz*ones(size(Tz)));
set(h2,'XData',legx,'ZData',legz);set(h3,'XData',-legx,'ZData',legz);
set(h4,'XData',[xz;xz],'ZData',[zz;zz]-minz);
set(h5,'XData',-[xz;xz],'ZData',[zz;zz]-minz);
set(h6,'XData',Bx,'ZData',Bz-minz);set(h7,'XData',-Bx,'ZData',Bz-minz);
pause(0.1);drawnow;
end
caochang=sqrt((xe-xe(1)).^2+hH.^2-2*hH.*(xe-xe(1)).*cos(alldeg))-(legL-hH);
問(wèn)題二源代碼：
程序五（方程擬合）
MODEL:
max=(R+@sqrt((L-x)^2+H^2))/(R-@sqrt((L-x)^2+H^2));
L-x-d>H;
L-@sqrt(R^2-x^2)
x>=2*d;
data:
H=70;
R=40;
d=2.5;
enddata
END
程序六（最優(yōu)性檢驗(yàn)）
d=i; %i表示一個(gè)變化的數(shù)，按照已經(jīng)計(jì)算出的數(shù)據(jù)輸入
R=40;
X=j; %j是一個(gè)代號(hào)，用已經(jīng)得到的數(shù)據(jù)依次更換
H=70;
L=s; %是變化的數(shù)據(jù)，用前面的值代替
jiaodu1=acos(H./(L-X))
jiaodu2=acos(L-sqrt(R^2-d^2))./（H-(sqrt(R^2-d^2)-x)cos(jiaodu1)） S(touying)=[2H./cos(jiaodu1)+2x]*2R
S=2R*2L
t1=L./2
t2=L-sqrt(R^2-d^2)
t1
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