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灰色預測與一元線性回歸預測的比較
第22卷第1期2009年2月
四川理工學院學報(自然科學版)
JournalofSichuanUniversityofScience&Engineering(NaturalScienceEdition)
Vol122 No11
Feb12009
文章編號:167321549(2009)0120107203
灰色預測與一元線性回歸預測的比較
劉曉敘
(四川理工學院機械工程學院,四川自貢643000)
摘 要:在介紹灰色預測和一元線性回歸預測基本方法的基礎上,用兩個例子對兩種方法的預測值進行了比較,結果表明:對所用的兩個例子,灰色預測的GM(1,1)模型對數據的預測值精度較一元線性回歸要好。
關鍵詞:灰色預測;一元線性回歸;比較中圖分類號:TB11
根據系統(tǒng)已有的數據,按一定的方法建立模型,對系統(tǒng)的未來變化情況作出預測,作。預測的方法很多,型,,,反之則存在較大的誤差。
從系統(tǒng)論的觀點來看,影響一個系統(tǒng)的各個參數之間都存在一定的關系,有些是很確定的關系,這種確定關系通�？梢杂靡粋�數學表達式來描述。還有很多復雜系統(tǒng)的參數之間存在不完全確定的關系,這些關系的相互作用,就表現(xiàn)為系統(tǒng)特征參數之間變化的隨機性和不確定性。對大多數的預測所研究的對象,是系統(tǒng)各個參數之間具有復雜和不完全確定關系的系統(tǒng)。
在研究預測的模型中,最簡單和常用的是系統(tǒng)的兩個特征參數變化和分布關系呈現(xiàn)接近線性的關系,對這樣的模型,一般是采用一元線性回歸的方法,即最小二乘法�；疑到y(tǒng)理論是一門新興的理論,灰色系統(tǒng)理論
[1]
認為:由于任何一個系統(tǒng)的各個因素之間都存在互相的關聯(lián)和影響,呈現(xiàn)部分已知,部分未知的狀態(tài),所以,灰色系統(tǒng)理論把客觀對象視為一個灰色的物質系統(tǒng),在研究系統(tǒng)時,通過系統(tǒng)的表征信息,利用關聯(lián)分析、灰數生成、灰色建模等信息加工手段,探求系統(tǒng)內在的規(guī)律,預測系統(tǒng)未來的發(fā)展狀態(tài)。灰色預測就是運用灰色系統(tǒng)理論,通過灰色建模來對系統(tǒng)特征參數變化進行預測的一種實用方法。
本文將通過兩個計算實例,用最小二乘法和灰色預測模型對數據預測精度進行一個比較分析。
收稿日期:2008206224
作者簡介:劉曉敘(19572),男,四川敘永人,教授,主要從事機械設計方面的研究。
文獻標識碼:A
,一元線性回歸所使用
Y方向的距離最小為條件求出回歸直線的系數a和b的。即對給定的n個點列(x1,y1),(x2,y2)….(xn,yn),設回歸的直線方程為
[2]
:
(1)
y=bx+a
n
點在y方向到直線的距離總的遠近程度可以用
∑[y
i=1
i
-(a+bxi)]來定量的描述,所以可以把其看成
n
2
是一個二元函數:
Q(a,b)=
∑[y
i=1
i
-(a+bxi)]
2
(2)
從而把尋找一條直線,使其最接近n個點的問題,轉化為找出兩個數a^,b^,使二元函數Q(a,b)在a=a^,b=b^處達到最小的問題。通過公式推導,最后可得:
n
∑(x
b=
i
-x)(yi-y)
i
--
n
∑(x
i=1
-x)
n
-
式中:
-
x=
-
n
n
∑x
i=1
-
i
;y=
-
n
∑y
i=1
i
(3)(4)
a=y-bx
2灰色預測
對二維問題,可以采用灰色預測中的GM(1,1)模型,其基本的步驟如下:
()兩種模型的計算值與相對誤差見表2,兩種模型的圖像如圖1所示。
表2 模型計算值與誤差
實際值
305070100125
(1)對原始數據進行重新生成,在GM(1,1)模型
中,它僅對原始數據進行一次累加再生成,方法是:
對一組原始數據列:
xx
(0)
=[x
(0)
(1),x
(0)
(2),....x
(0)
(n)](n)]
(5)(6)(7)
進行一次累加生成,得到數列:
(1)
灰色模型預測一元線性回歸預測模型計算值相對誤差%模型計算值相對誤差%
3052.25970.09294.011126.09169.12(預測值)
0-4.5173-0.131595.9887-0.87441
27517599123147(預測值)
10-2-7.142911.6
=[x
(1)
(1)
(1),x
(1)
k
(2),....x
(0)
(1)
其中:x
zz
(1)
(k)=
∑x
i=1
(i)
(2)生成x(1)的緊鄰均值等權數列:
=
z
(1)
(k)|k=1,2,....(1)
其中:
(1)
(k)=0.5[x(k)+x
(1)
(k-1)](k=2,3,…,n)
(8)
(3)根據灰色理論,對x(1)建立關于時間t的白化
形式的一階一元微分方程模型,記GM(1,1)
dt
(1)
+ax
(1)
=b(9)
其中:
T
a,b為待解參數設a^=[a,b],運用最小二乘法求解得:
a^[a,b]
T
=(BB)
(T-1
BYN
(0)
10)
)]
其中
YN=(2(3)(n)(1),得
(0)(0)
.x(11)
-z
B=
-z-z
(1)
11.
(12)
.
(1)
1
(4)解出a^后,就可以得到白化形式的微分方程解,
命x
(1)
(0)=x
(1)
(0)
x^(k+1)=[x(1)-
-ak]e+aa
(13)
(k=1,2,….n)
(5)將上述結果累積還原,即可得到預測值:
x^
(0)
(k+1)=x^
(1)
(k+1)-x^
(1)
圖1氣缸磨損量與行駛里程關系預測模型圖
(k)14)
(2)某產品的一個技術指標與該產品工作轉速關系的測量值見表3。
表3壓力和工作轉速的測量值
轉速(1/min)指標值(MPa)
5001.11
5501.22
6001.27
6501.33
7001.49
7501.58
3 計算實例
(1)某型內燃機氣缸的磨損量與行駛里程的關系,
通過試驗得到的測量數據見表1:
表1內燃機氣缸磨損量測量值
行駛里程(km)磨損量下限值(μm)
50001000015000200002500030
50
70
100
125
[3]
用灰色模型GM(1,1)計算得到的白化方程為:
x^
(1)
用灰色模型GM(1,1)計算得到的白化方程為:
x^
(1)
(k+1)=[x
0.066583k
(0)
(1)-
-ak]e+aa
(k+1)=[x
(0)
-ak(1)-]e+aa
0.2936k
=17.3963e-16.2863
k=1,2,3,4,5
=153.14032e-123.14032
(k=1,2,3,4,5,6)
采用一元線性回歸得到的回歸方程為:y=24x+3 (x=1,
2,3,4,5,6)
一元線性回歸得到的回歸方程為:y=0.087x+1.023 x=1,2,3,4,5
為便于比較,在建模時只使用前五個數據,用得到的模型計算了第六個值。兩種模型的計算值與相對誤
差見表4。兩種模型的圖像如圖2所示。
表4模型計算值與誤差
實際值
1.111.221.271.331.491.58
灰色模型預測一元線性回歸預測
相對誤差%
01.8852-1.1024-3.08272.14772.
2152
模型計算值相對誤差%模型計算值
1.111.19741.27981.36791.46211.5628(預測值)
01.8538-0.77345-2.85251.87111.09
1.111.19701.28401.37101.45801.5450(預測值)
出的兩個例子,用灰色理論的GM(1,1)模型對數據的預測精度較一元線性回歸都要稍高一些,這主要是由于灰色理論的GM(1,1)模型所得到的白化方程是一種指數形式的表達式,對數據變化的適應性更好一些。
4結束語
灰色系統(tǒng)理論把客觀對象視為一個灰色的物質系統(tǒng),在研究系統(tǒng)的變化規(guī)律時,通過抓住系統(tǒng)的表征信息,利用灰數生成,灰色建模的信息加工手段,研究系統(tǒng)內部因素間的變化規(guī)律,利用得到的灰色模型,來預測
[4-6]
系統(tǒng)未來的發(fā)展,灰色預測在很多領域都有應用。
上面的兩個例子表明,對基本符合線性關系的數據,采用灰色理論的GM(1,1)模型較一元線性回歸的預測精度要高。用灰色理論的GM(1,1)模型進行建模時,并不直接采用已知的數據,而是通過對已知數據的再加工、即對灰數生成的數據進行處理來挖掘數據之間的內在聯(lián)系,型,。(模型可以僅需。對本文所舉的情況下應用的特例,從例子的結果看出:灰色建模和灰色預測在一些特定的情況下,是一種較一元線性回歸預測精度更好的實用預測方法。參考文獻:
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圖2某產品壓力與轉速的關系預測模型
[4]張雅君,劉全勝.城市需水量灰色預測的探討[J].
(3)結果分析
從上面兩個例子可以看出,由于例子的數據分布關系基本接近線性關系,所以不論是一元線性回歸還是灰色理論的GM(1,1)模型所得到的方程,都能很好地反映數據之間的變化關系,按方程得到的計算值與實際值之間的誤差都不大。從相對誤差大小比較的角度,對給
中國給水排水,2002,18(3):28230.
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[6]李延吉.基于灰色GM(1,1)模型預測固廢氣化焚燒污染
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ComparingforGreyForecastandForecastofOneElementLinearRegression
LIUXiao2xu
(SchoolofMechanicalEngineering,SichuanUniversityofScience&Engineering,Zigong643000,China)
Abstract:Basedontheintroducingthebasicmethodsofgreyforecastandforecastofoneelementlinearregression,twoexamplesareusedtocomparetheaccuracyofforecastvaluefortwomethods.TheresultsshowthatthemodelGM(1,1)ofgreyforecastisbetterthanoneelementlinearregressioninaccuracyofforecastvaluefortwogivenexamples.
Keywords:greyforecast;oneelementlinearregression;comparing
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