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二面角的平面角定位分析的論文
【摘要】空間角是立體幾何中一個(gè)重要概念，它是空間圖形的一個(gè)突出的量化指標(biāo)，是空間圖形位置關(guān)系的具體體現(xiàn)。解決立體幾何問題的關(guān)鍵在于“三定”：定性分析→定位作圖→定量計(jì)算，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而定量則是定位、定性的深化。在面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般來說，對其平面角的定位是問題解決的先決一步，故對二面角的平面角的定位是關(guān)鍵。
【關(guān)鍵詞】平面角；定性分析；定位作圖；定量計(jì)算;點(diǎn);垂線段;垂平面
α、β是由出發(fā)的兩個(gè)半平面,O是l上任意一點(diǎn)，OCα，且OC⊥l；CDβ，且OD⊥l。這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角。
它有如下列特征：
�。ǎ保┻^棱上任意一點(diǎn)，其平面角是唯一的；
（２）其平面角所在平面與其兩個(gè)半平面均垂直；
另外，若在OC上任取上一點(diǎn)A，作AB⊥OD于B,則由特征（２）知AB⊥β.通過l、OA、OB、AB，之間的關(guān)系，便得到另一特征；
�。ǎ常后w現(xiàn)出三垂線定理（或逆定理）的環(huán)境背景。
2二面角的平面角的特征剖析
由于二面角的平面角是由一點(diǎn)和兩條射線構(gòu)成，所以二面角的平面角的定位可化歸為“定點(diǎn)”或“定線（面）”的問題。
特征（１）表明：其平面角的定位可先在棱上取一“點(diǎn)”，但這點(diǎn)必須與問題背景相互溝通，給計(jì)算提供方便。
特征（２）指出：如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ與α、β的交線，則交線所成的角即為α-l-β的平面角，：
由此可見，二面角的平面角的定位可以考慮找“垂平面”。
特征（３）顯示：如果二面角α-l-β的兩個(gè)半平面之一，存在垂線段AB，由Ｂ作OB⊥l于Ｏ，連OA，由三垂線定理可知OA⊥l；或由Ａ作OA⊥l于Ｏ，連OB。由三垂線逆定理可知OB⊥l。此時(shí)，∠AOB即為二面角α-l-β的平面角。
由此可見，二面角的平面角的定位可以找“垂線段”．
以上三個(gè)特征提供的思路在解決具體問題時(shí)各具特色，其目標(biāo)是分別找“點(diǎn)”、“垂面”、“垂線段”。事實(shí)上，我們只要找到其中一個(gè)，另兩個(gè)就接踵而至．掌握這種關(guān)系對提高解題技能和培養(yǎng)空間想象力非常重要。
3二面角的平面角的定位分析
�。劾�1］：已知Ｅ是矩形ABCD邊CD的中點(diǎn)，且，CD=２，BC=１，現(xiàn)沿AE將△DAE折起至△D′AE，使得D′到B、C兩點(diǎn)的距離相等，求二面角D′-BC-A的大小。
解析：取AE中點(diǎn)P，BC中點(diǎn)Q．則可得PQ⊥BC，又由D′B=D′C，得D′Q⊥BC，
∴∠D′QP是二面角D′-BC-A的平面角。
經(jīng)計(jì)算得：∠D′QP＝23
找“點(diǎn)”，由定義確定二面角的平面角。
�。劾玻荩壕匦蜛BCD，AB=3，BC=4，沿對角線AC把△ABC折起，使點(diǎn)B在平面ADC內(nèi)的射影B′恰好落在AD上，求二面角B-AC-D的大小。
解析：這是一道由平面圖形折疊成立體圖形的問題，解決問題的關(guān)鍵在于搞清折疊前后“變”與“不變”。
在平面圖形中過Ｂ作BE⊥AC交AC于O、交AD于E，則折疊后OB、OE與AC的垂直關(guān)系不變．但OB與OE此時(shí)變成相交兩線段并確定一平面，此平面必與棱AC垂直。由特征（２）知，面BOE與面BAC、面DAC的交線OB與OE所成的角∠BOE，即為所求二面角的平面角。
另外，點(diǎn)B在面DAC上的射影必在OE所在的直線上，又題設(shè)射影落在AD上,所以E點(diǎn)就是B′點(diǎn)，這樣的定位給下面的定量提供了便捷條件。
經(jīng)計(jì)算：OB=AB·BCAC=3×45=125，AO=AB2AC=95，OE=AO·CDAD=2720，
在Rt△BEO中，設(shè)∠BOE＝θ，則cosθ=OEOB=916，
∵0°＜θ＜180°，∴θ=arccos916，
即所求二面角B-AC-D為arccos916，
通過對［例2］的定性分析、定位作圖和定量計(jì)算，由特征（２）從另一角度告訴我們：要確定二面角的平面角，可以把構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面“擺平”，依題目條件，在棱上選取一適當(dāng)?shù)拇咕�段，即可確定其平面角�！捌矫鎴D形”與“立體圖形”相呼映，不僅便于定性、定位，更利于定量。由“垂線段”定位二面角的平面角。
�。劾�3］：已知二面角α-a-β為，PA⊥α于A，PB⊥β于B，且PA＝８cm，PB＝10cm．求Ｐ點(diǎn)到a的距離。
解析：過PA、PB作平面γ，分別與α、β交于AO、BO，
由PA⊥α，a雞粒知PA⊥a，又由PB⊥β，a雞攏知PB⊥a，因此，a⊥平面γ，
∵AO跡珺O跡∴a⊥AO，a⊥BO，
∴∠AOB為二面角α-a-β的平面角，即∠AOB＝120°，
連PO，由PO跡得a⊥PO．∴PO的長為P點(diǎn)到a的距離。
經(jīng)計(jì)算：AO＝43（cm），PO＝PA2+AO2=82+（43）2=47（cm）．
由棱的“垂面”定位二面角的平面角。
�。劾矗荩涸谡襟wABCD-A′B′C′D′中，棱長為2，E為BC的中點(diǎn)．求面B′D′E與面BB′C′C所成的二面角的大小。
解析：面B′D′E與面BB′C′C構(gòu)成兩個(gè)二面角，由特征（２）知，這兩個(gè)二面角的大小必定互補(bǔ)．通過特征（３）,我們只須由C′(或D′)作B′E的垂線交B′E于H，然后連結(jié)HD′(或HC′),即得面B′D′E與面BB′C′C所成二面角的平面角∠C′HD′(三垂線定理)。
經(jīng)計(jì)算可得：Ｈ′C′＝455，在Rt△D′C′Ｈ中，∠Ｄ′ＨＣ′=D′C′H′C′=52，
故所求的二面角角為arctan52或π-arctan52．
二面角的三個(gè)特征，雖然客觀存在，互相聯(lián)系，但在許多問題中卻很難通過直觀圖反映出來，這就需要我們培養(yǎng)良好的空間思維想象能力，正確定位。
�。劾担荩涸谡襟wABCD-A1B1C1D1中，Ｅ是CC1的中點(diǎn)，求截面AD1E與底面ABCD所成角的正切值。
解析：圖中截面AD1E與底面ABCD只給出一個(gè)公共點(diǎn)，沒有直接反映出二面角的棱，因此還需找出它與底面的另一個(gè)公共點(diǎn)．通過補(bǔ)形作出棱，進(jìn)而再求二面角的大小。
延長DC、D1E交于F，連AF，得截面AD1E與底面ABCD相交所得棱AF，AF交BC于G，過C作CH⊥AF于H，連EH，
∵EC⊥面ABCD，CH⊥AF，∴EH⊥AF（三垂線定理）
∴∠EHC即為所求截面AD1E與底面ABCD所成二面角的平面角．
可設(shè)正方體棱長為a，經(jīng)計(jì)算得：EC＝CG＝a2，CF＝a，GF＝52a，CH＝，55a
∴tan∠EHC＝ECCH=52，
即所求二面角的正切值為52．
�。哿恚荩骸鱀1FＡ在底面ABCD的射影是△DＦA，
S△DFA=12DF×DA=a2，又D1A＝2，S△D1FA=12D1A×322a=32a2，
由射影面積法，所求角（記為θ）的余弦值為cosθ=S△DFAS△D1FA=23，
則所求二面角的正切值為52。
�。哿恚荩哼�可用向量法求二面角的平面角。
定位是為了定量，二面角的計(jì)算是通過其平面角所在的三角形計(jì)算而得．而作平面角也是由其基本定義出發(fā)，在棱上找一點(diǎn)，在半平面內(nèi)找一點(diǎn)，或在二面角內(nèi)找一點(diǎn)，從這點(diǎn)出發(fā)作棱的垂線或垂面而得。如果二面角的棱在圖中沒有出現(xiàn)，可采取補(bǔ)形等辦法作出二面角的棱。
綜上所述，二面角其平面角的正確而合理的定位，要在其正確其定義的基礎(chǔ)上，掌握其三個(gè)基本特征，并靈活運(yùn)用它們考察問題的環(huán)境背景，建立良好的空間思維，以不變應(yīng)萬變。
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