立體幾何中二面角的平面角的定位（安慶懷寧）

立體幾何中二面角的平面角的定位（安慶懷寧）3月20日 空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容，解決立體幾何問題的關(guān)鍵在于三定：定性分析→定位作圖→定量計(jì)算，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而宣則是定位、定性的深化，在面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般來說，對其平面角的定位是問題解決的先決一步，可是，從以往的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生往往把握不住其定位的基本思路而導(dǎo)致思維混亂，甚至錯(cuò)誤地定其位，使問題的解決徒勞無益，本文就是針對這一點(diǎn)，來談一談平日教學(xué)中體會。

一、 重溫二面角的平面角的定義

如圖（1），α、β是由ι出發(fā)的兩個(gè)平面,O是ι上任意一點(diǎn),OC

α，且OC⊥ι；CD β，且OD⊥ι。這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α—ι—β的平面角，從中不難得到下列特征：

Ⅰ、過棱上任意一點(diǎn)，其平面角是唯一的；

Ⅱ、其平面角所在平面與其兩個(gè)半平面均垂直；

另外，如果在OC上任取上一點(diǎn)A，作AB⊥OD垂足為B,那么

由特征Ⅱ可知AB⊥β.突出ι、OC、OD、AB，這便是另一特征；

Ⅲ、體現(xiàn)出一完整的垂線定理（或逆定理）的環(huán)境背景。

對以上特征進(jìn)行剖析

由于二面角的平面角是由一點(diǎn)和兩條射線構(gòu)成，所以二面角的平面角的定位可化歸為“定點(diǎn)”或“定線（面）”的問題。

特征Ⅰ表明，其平面角的定位可先在棱上取一“點(diǎn)”，耐人尋味的是這一點(diǎn)可以隨便取，但又總是不隨便取定的，它必須與問題背景相互溝通，給計(jì)算提供方便。

例1 已知正三棱錐V—ABC側(cè)棱長為a，高為b，求側(cè)面與底面所成的角的大小。

由于正三棱錐的頂點(diǎn)V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以連結(jié)CH交AB于O，且OC⊥AB，則∠VOC為側(cè)面與底面所成二面角的平面角如圖（2）。正因?yàn)檎�三棱錐的特性，解決此問題，可以取AB的中點(diǎn)O為其平面角的頂點(diǎn)，而且使背景突出在面VOC上，給進(jìn)一步定量創(chuàng)造得天獨(dú)厚的條件。

特征Ⅱ指出，如果二面角α—ι—β的棱ι垂直某一平面γ與

α、β的交線，而交線所成的角就是α—ι—β的平面角，如圖。

由此可見，二面角的平面角的定位可以考慮找“垂平面”。

例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿對角線BD把△ABD折起，

使點(diǎn)A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A—BC-—C的大小。

這是一道由平面圖形折疊成立體圖形的問題，解決問題的關(guān)鍵在

于搞清折疊前后“變”與“不變”。結(jié)果在平面圖形中過A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，則折疊后OA、OE與BD的垂直關(guān)系不變。但OA與OE此時(shí)變成相交兩線段并確定一平面，此平面必與棱垂直。由特征Ⅱ可知，面AOE與面ABD、面CBD的交線OA與OE所成的角，即為所求二面角的平面角。另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直線上，又題設(shè)射影落在BC上,所以E點(diǎn)就是A′，這樣的定位給下面的定量提供了優(yōu)質(zhì)服務(wù)。事實(shí)上，AO=AB·AD/BD=3*4/5=12/5，OA′=OE=BO·tgc∠CBD，而BO=AB2/BD=9/5, tg∠CBD，故OA′=27/20。在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°所以cos∠AOA′=A′O/AO=9/16，ty∠AOA′=arccos9/16即所求的二面arccos9/16。

通過對例2的定性分析、定位作圖和定量計(jì)算，特征Ⅱ從另一角度告訴我們：要確定二面角的平面角，我們可以把構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面“擺平”，然后，在棱上選取一適當(dāng)?shù)拇咕�段，即可確定其平面角�！捌矫鎴D形”與“立體圖形”相映生輝，不僅便于定性、定位，更利于定量。

特征Ⅲ顯示，如果二面角α—ι—β的兩個(gè)半平面之一，存在垂線段AB，那么過垂足B作ι的垂線交ι于O，連結(jié)AO，由三

[1] [2] 

【立體幾何中二面角的平面角的定位安慶懷寧】相關(guān)文章：

物理學(xué)史中的趣聞（安慶懷寧）04-30

開發(fā)非智力因素的幾點(diǎn)嘗試（安慶懷寧）04-30

采用誘思教學(xué)法進(jìn)行教學(xué)（安慶懷寧）04-30

物理習(xí)題教學(xué)中的思維變通性訓(xùn)練（安慶懷寧）04-30

立體幾何證明04-29

安慶方言把字的用法探析05-02

黃懷寧：人類的終極目標(biāo)05-01

黃懷寧：人生三等級05-01

黃懷寧：人類的終極目標(biāo)05-01

懷寧話高洪片語音系統(tǒng)05-03