高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)引入數(shù)學(xué)建模思想的探索論文

　　摘要：數(shù)學(xué)建模是為改變傳統(tǒng)高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的內(nèi)容陳舊和理論脫離實(shí)際的缺陷而產(chǎn)生起來(lái)的課程，它著重于學(xué)生能力和素質(zhì)的培養(yǎng)、知識(shí)的應(yīng)用和創(chuàng)新。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中引進(jìn)數(shù)學(xué)模型，滲透數(shù)學(xué)建模的思想與方法，不僅能大大激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，而且能夠提升教師的教學(xué)水平，豐富現(xiàn)有的教學(xué)方法，拓寬課堂教學(xué)的內(nèi)涵，有效提高高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量。

　　關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；高等數(shù)學(xué)；教學(xué)方法

　　高等數(shù)學(xué)是高職理、工、經(jīng)濟(jì)、管理等專業(yè)的一門必不可少的基礎(chǔ)課程，為其他專業(yè)課程的學(xué)習(xí)，以及將來(lái)的技術(shù)工作，奠定了必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。然而各類高職院校學(xué)生高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)情況卻不容樂(lè)觀，多數(shù)學(xué)生反映高等數(shù)學(xué)太難，數(shù)學(xué)課枯燥，成績(jī)不理想，有些學(xué)生甚至跟不上教學(xué)進(jìn)度。要想改變這種狀況，高職院校必須對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)的傳統(tǒng)思想觀念和教學(xué)方法加以改革，教師不僅要教會(huì)學(xué)生一些數(shù)學(xué)概念和定理，更要教會(huì)他們?nèi)绾芜\(yùn)用手中的數(shù)學(xué)武器去解決實(shí)際問(wèn)題。數(shù)學(xué)建模就是將現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際問(wèn)題加以提煉，抽象為數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，驗(yàn)證模型的合理性，并用該數(shù)學(xué)模型所提供的解答來(lái)解釋和指導(dǎo)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。數(shù)學(xué)建模對(duì)于提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)技術(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，培養(yǎng)創(chuàng)新能力與實(shí)踐能力，培養(yǎng)團(tuán)結(jié)合作精神，全面提高學(xué)生的素質(zhì)具有非常積極的意義。

　　一、在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想的必要性

　　在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，幫助學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題并想辦法利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題非常重要。在傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生基本處于被動(dòng)接受狀態(tài)，很少參與教學(xué)過(guò)程。教師在教學(xué)過(guò)程中常常把教學(xué)的目標(biāo)確定在使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)理論知識(shí)的層面上。通常的教學(xué)方法是：教師引入相關(guān)概念，證明相應(yīng)定理，推導(dǎo)常用公式，列舉典型例題，要求學(xué)生記住公式，學(xué)會(huì)套用公式，在做題中掌握解題方法與技巧。當(dāng)然，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中這些必不可少，但這只是問(wèn)題的一個(gè)方面。目前，高等數(shù)學(xué)的題目都有答案，而將來(lái)面對(duì)的問(wèn)題大多預(yù)先不知道答案，這就要讓學(xué)生了解如何用數(shù)學(xué)去解決日常生活中或其他學(xué)科中出現(xiàn)的實(shí)際問(wèn)題，提高用數(shù)學(xué)方法處理實(shí)際問(wèn)題的能力。

　　在高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中積極滲透、有機(jī)融合數(shù)學(xué)建模的思想方法，積極引導(dǎo)、幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)精神實(shí)質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)思想方法，增強(qiáng)運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，提高數(shù)學(xué)能力，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，全面提升教育教學(xué)質(zhì)量有著積極的實(shí)際意義。

　　二、在教學(xué)內(nèi)容中滲透數(shù)學(xué)建模思想和方法的探究

　　事實(shí)上，高等數(shù)學(xué)中很多概念的引入都采用了數(shù)學(xué)建模的思想與方法，比如，從研究變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度與曲線切線的斜率出發(fā)引入導(dǎo)數(shù)的概念，從研究曲邊梯形的面積出發(fā)引人定積分概念，從研究空間物體的質(zhì)量出發(fā)引入三重積分概念等。教師在講課過(guò)程中要適時(shí)、適當(dāng)、有意識(shí)地加以引導(dǎo)，考慮到學(xué)生實(shí)際的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，在授課前應(yīng)有針對(duì)性地結(jié)合現(xiàn)行教材的各個(gè)章節(jié)，搜集相關(guān)內(nèi)容的實(shí)例，盡可能將高等數(shù)學(xué)運(yùn)用于實(shí)際生活。講授內(nèi)容時(shí)適當(dāng)介紹相關(guān)的一些簡(jiǎn)單模型，不僅能豐富大學(xué)數(shù)學(xué)的課堂內(nèi)容，而且能很好地活躍課堂氣氛，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。以下就在高等數(shù)學(xué)實(shí)際教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想的實(shí)例加以說(shuō)明。

　　1．微分方程

　　微分方程數(shù)學(xué)模型是解決實(shí)際問(wèn)題的有力工具，在了解并掌握了常見(jiàn)的常微分方程的建立與求解后引人人口模型：人口增長(zhǎng)問(wèn)題是當(dāng)今世界最受關(guān)注的問(wèn)題之一。著名的馬爾薩斯模型是可分離變量的微分方程，很容易求解，其解說(shuō)明人口將以指數(shù)函數(shù)的速度增長(zhǎng)。該模型檢驗(yàn)過(guò)去效果較好，但預(yù)測(cè)將來(lái)問(wèn)題很大，因?yàn)樗�包含明顯的不合理因素。這源于模型假設(shè)：人口增長(zhǎng)率僅與人口出生率和死亡率有關(guān)且為常數(shù)。這一假設(shè)使模型得以簡(jiǎn)化，但也隱含了人口的無(wú)限制增長(zhǎng)。Logistic模型也是可分離變量的微分方程。該模型考慮了人口數(shù)量發(fā)展到一定水平后，會(huì)產(chǎn)生許多影響人口的新問(wèn)題，如食物短缺、居住和交通擁擠等，此外，隨著人口密度的增加，傳染病增多，死亡率將上升，所有這些都會(huì)導(dǎo)致人口增長(zhǎng)率的減少，根據(jù)統(tǒng)計(jì)規(guī)律，對(duì)馬爾薩斯模型作了改進(jìn)。作為中長(zhǎng)期預(yù)測(cè)，Logistic模型要比馬爾薩斯模型更為合理。   另外，微分方程模型還有很多，例如與生活密切相關(guān)的交通問(wèn)題模型、傳染病模型等。

　　2．零點(diǎn)定理

　　閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)理論性較強(qiáng)，嚴(yán)格的證明在一般的高等數(shù)學(xué)教材中均略去。零點(diǎn)定理是其中易于理解的一個(gè)，該定理有很好的幾何直觀。但其應(yīng)用在教學(xué)中也僅限于研究方程的根的問(wèn)題。“方桌問(wèn)題”：四條腿長(zhǎng)度相等的方桌放在不平的地面上，四條腿能否同時(shí)著地？這個(gè)問(wèn)題是日常生活巾遇到的實(shí)際問(wèn)題，在一定的假設(shè)條件下，該問(wèn)題可抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題。通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)，利用零點(diǎn)定理便可得問(wèn)題答案是肯定的。教學(xué)中還可提出若桌子是長(zhǎng)方形的，是否結(jié)論還成立？利用這個(gè)模型，學(xué)生們不僅了解了數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，很好地掌握了閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，而且提高了學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性。

　　此外，與生活實(shí)際相關(guān)的拉橡皮筋問(wèn)題、巧切蛋糕問(wèn)題、登山中的上山下山問(wèn)題都可歸結(jié)為零點(diǎn)定理來(lái)建立數(shù)學(xué)模型。這些模型的建立，對(duì)于學(xué)生消化理解零點(diǎn)定理甚至介值定理都有很大的益處。

　　3．極值與最值問(wèn)題

　　最值問(wèn)題是實(shí)際生活中經(jīng)常碰到的問(wèn)題，用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中的最值問(wèn)題是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，學(xué)好導(dǎo)數(shù)，重視導(dǎo)數(shù)應(yīng)用是學(xué)好高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。在講完導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論內(nèi)容后，引人“光學(xué)中的折射定理”：光在由一種介質(zhì)進(jìn)人另一種介質(zhì)時(shí)，在界面處會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象。折射現(xiàn)象造成的結(jié)果是所謂的“最短時(shí)間”效應(yīng)，即光線會(huì)走最短的路徑。經(jīng)過(guò)一定的條件設(shè)定，這樣最短時(shí)間效應(yīng)對(duì)應(yīng)的優(yōu)化問(wèn)題為求傳播時(shí)間的最小值問(wèn)題，經(jīng)計(jì)算可得光學(xué)中著名的折射定理。該定理是學(xué)生在高中物理中學(xué)習(xí)過(guò)的重要定理，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，并利用導(dǎo)數(shù)問(wèn)題加以解決，加深了學(xué)生對(duì)折射定理的認(rèn)識(shí)，并進(jìn)一步理解導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題。

　　另外，運(yùn)輸問(wèn)題、森林救火費(fèi)用最小問(wèn)題、最佳捕魚(yú)方案問(wèn)題等都是生活中的實(shí)際問(wèn)題，這些問(wèn)題模型的建立、解決都能使學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用起到加深理解的作用。

　　4．幾何概率

　　現(xiàn)實(shí)世界中充滿了不確定性，我們所研究的對(duì)象往往受到諸多隨機(jī)因素的影響，因此所以建立的數(shù)學(xué)模型涉及的變量是隨機(jī)變量，甚至變量間的關(guān)系也非確定的函數(shù)關(guān)系，這類模型稱為隨機(jī)模型。幾何概率模型就是涉及“等可能性”的概率問(wèn)題。著名的蒲豐問(wèn)題便是幾何概率的一個(gè)早期例子：平面上畫(huà)著一些平行線，它們之間的距離均為定值，向此平面投一長(zhǎng)度小于平行線間距離的針，試求此針與任一平行線相交的概率。值得注意的是，通過(guò)對(duì)此問(wèn)題建立概率模型，可以看到它與某個(gè)我們感興趣的量——圓周率有關(guān)，然后設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)碾S機(jī)試驗(yàn)，并通過(guò)試驗(yàn)的結(jié)果來(lái)確定這個(gè)量。

　　隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，按照蒲豐問(wèn)題的思路建立起一類新的方法，稱為蒙特卡羅方法，并取得廣泛應(yīng)用。約會(huì)問(wèn)題也是幾何概型問(wèn)題，即：兩人相約7點(diǎn)到8點(diǎn)在某地會(huì)面，先到者等候另一人20分鐘，過(guò)時(shí)就可離去，試求兩人能會(huì)面的概率。

　　合理安排理論教學(xué)恰當(dāng)引入數(shù)學(xué)建模的思想和方法，主動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)去分析和解決實(shí)際問(wèn)題，就能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性，讓學(xué)生發(fā)揮學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性，感受學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。

　　三、在數(shù)學(xué)建�；顒�(dòng)中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)

　　數(shù)學(xué)建�；顒�(dòng)主要包含數(shù)學(xué)建模課程、數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)與競(jìng)賽等。參加過(guò)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的學(xué)生基本能通過(guò)采集、整理和分析數(shù)據(jù)與信息，找出量和量之間的關(guān)系，針對(duì)問(wèn)題合理的假設(shè)將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，利用計(jì)算機(jī)對(duì)所建模型求解，最后對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析處理，檢驗(yàn)和評(píng)價(jià)，從而解決問(wèn)題，最終完成一篇或報(bào)告。數(shù)學(xué)建�；顒�(dòng)著重培養(yǎng)了學(xué)生下面幾項(xiàng)能力：應(yīng)用數(shù)學(xué)方法和思想進(jìn)行綜合分析推理的能力（創(chuàng)造力、想象力、聯(lián)想力和洞察力）、數(shù)學(xué)語(yǔ)言與生活語(yǔ)言的互譯能力、查閱文獻(xiàn)資料并消化和應(yīng)用的能力、使用計(jì)算機(jī)及相應(yīng)數(shù)學(xué)軟件的能力、的撰寫(xiě)能力和表達(dá)能力、團(tuán)隊(duì)合作的能力。

　　開(kāi)展數(shù)學(xué)建�；顒�(dòng)是滲透數(shù)學(xué)建模思想的最重要的形式，它既可以體現(xiàn)課內(nèi)課外知識(shí)的結(jié)合，又可以滿足普及建模知識(shí)與提高建模能力結(jié)合的原則，為培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力提供了實(shí)踐平臺(tái)，有效地提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)。

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