數的概念的發(fā)展

時間：2023-04-28 19:25:47 數理化學論文我要投稿

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數的概念的發(fā)展

數的概念的發(fā)展1

編者按:李邦河院士于20xx年4月中國數學會廈門學術年會上榮獲"華羅庚數學獎".本文是李院士在這次年會上所做的公眾報告,他在報告中談到一個重要的思想:數學玩的'是概念,而不是純粹的技巧.因為中小學數學里面的概念比較少,所以就在一些難題、技巧上下功夫,這恰恰是舍本逐末的做法,值得所有的數學教育工作者深思.

作者：李邦河作者單位：中科院數學與系統(tǒng)科學研究院,100190 刊名：數學通報 PKU 英文刊名： BULLETIN DES SCIENCES MATHEMATICS 年，卷(期)： 20xx 48(8) 分類號： O1 關鍵詞：

數的概念的發(fā)展2

　　教學目標

　　(1)了解數的概念發(fā)展的過程和動力;

　　1.教材分析

　　(1)知識結構

　　首先簡明扼要地對已經學過的數集因生產與科學發(fā)展的需要而逐步擴充的過程作了概括;然后說明,數集的每一次擴充,對數學學科本身來說,也解決了原有數集中某種運算不是永遠可以實施的矛盾,使得某些代數方程在新的數集中能夠有解。從而引出虛數單位i及其性質,接著,將數的范圍擴充到復數,并指出復數后來由于在科學技術中得到應用而進一步發(fā)展。

　　自然數整數有理數無理數

　�、趶慕夥匠痰男枰七M數的發(fā)展

　　負數分數無理數虛數

　　(2)重點、難點分析

　　(一)熟悉數的概念的發(fā)展的動力

　　從正整數擴充到整數,從整數擴充到有理數,從有理數擴充到實數,數的概念是不斷發(fā)展的,其發(fā)展的動力來自兩個方面。

　　①解決實際問題的需要

　　由于計數的需要產生了自然數;為了表示具有相反意義的量的需要產生了整數;由于測量的需要產生了有理數;由于表示量與量的比值(如正方形對角線的長度與邊長的比值)的需要產生了無理數(既無限不循環(huán)小數)。

　　②解方程的需要。

　　為了使方程有解,就引進了負數;為了使方程有解,就要引進分數;為了使方程有解,就要引進無理數。

　　引進無理數后,我們已經能使方程永遠有解,但是,這并沒有徹底解決問題,當時,方程在實數范圍內無解。為了使方程 ( )有解,就必須把實數概念進一步擴大,這就必須引進新的數。

　　(二)注重數的概念在擴大時要遵循的原則

　　第一,要能解決實際問題中或數學內部的矛盾�，F在要解決的就是在實數集中,方程無解這一矛盾。

　　第二,要盡量地保留原有數集(現在是實數集)的性質,非凡是它的運算性質。

　　(三)正確確熟悉數集之間的關系

　�、儆欣頂稻褪且磺行稳� 的數,其中 ,所以有理數集實際就是分數集.

　�、凇把h(huán)節(jié)不為0的循環(huán)小數也都是有理數”.

　　③{有理數}={分數}={循環(huán)小數},{實數}={小數}.

　�、茏匀粩导疦、整數集Z、有理數集Q、實數集R、復數集C之間有如下的包含關系:

　　教法建議

　　(1)注重知識的連續(xù)性:數的發(fā)展過程是漫長的,每一次發(fā)展都來自于生產、生活和計算等需要,所以在教學時要注重使學生熟悉到數的發(fā)展的兩個動力.

　　(2)創(chuàng)造良好的課堂氣氛:由于本節(jié)課要了解擴充實數集的必要性,所以,教師可以多向學生介紹一些數的發(fā)展過程中的一些科學史,課堂學習的氣氛可以營造成一種師生共同研究、共同交流的氣氛。

　　數的概念的發(fā)展

　　教學目的

　　1.使學生了解數是在人類社會的生產和生活中產生和發(fā)展起來的,了解虛數產生歷史過程;

　　2.理解并把握虛數單位的定義及性質;

　　3.把握復數的定義及復數的分類.

　　教學重點

　　虛數單位的定義、性質及復數的分類.

　　教學難點

　　虛數單位的性質.

　　教學過程

　　一、復習引入

　　原始社會,由于計數的需要產生了自然數的概念,隨著文字的產生和發(fā)展,出現了記數的符號,進而建立了自然數的概念。自然數的`全體構成自然數集.

　　為了表示具有相反意義的量引進了正負數以及表示沒有的零,這樣將數集擴充到有理數集

　　有些量與量之間的比值,如用正方形的邊長去度量它的對角線所得的結果,無法用有理數表示,為解決這種矛盾,人們又引進了無理數,有理數和無理數合并在一起,構成實數集.

　　數的概念是人類社會的生產和生活中產生和發(fā)展起來的,數學理論的研究和發(fā)展也推動著數的概念的發(fā)展,數已經成為現代社會生活和科學技術時刻離不開的科學語言和工具.

　　二、新課教學

　　(一)虛數的產生

　　我們知道,在實數范圍內,解方程是無能為力的,只有把實數集擴充到復數集才能解決.對于復數 (a、b都是實數)來說,當時,就是實數;當時叫虛數,當時,叫做純虛數.可是,歷史上引進虛數,把實數集擴充到復數集可不是件輕易的事,那么,歷史上是如何引進虛數的呢?

　　16世紀意大利米蘭學者卡當(1501—1576)在1545年發(fā)表的《重要的藝術》一書中,公布了三次方程的一般解法,被后人稱之為“卡當公式”.他是第一個把負數的平方根寫到公式中的數學家,并且在討論是否可能把10分成兩部分,使它們的乘積等于40時,他把答案寫成 ,盡管他認為和這兩個表示式是沒有意義的、想象的、虛無飄渺的,但他還是把10分成了兩部分,并使它們的乘積等于40.給出“虛數”這一名稱的是法國數學家笛卡爾(1596—1650),他在《幾何學》(1637年發(fā)表)中使“虛的數’‘與“實的數”相對應,從此,虛數才流傳開來.

　　數系中發(fā)現一顆新星——虛數,于是引起了數學界的一片困惑,很多大數學家都不承認虛數.德國數學家菜不尼茨(1664—1716)在1702年說:“虛數是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所,它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物”.瑞士數學大師歐拉(1707—1783)說:“一切形如 , 習的數學式子都是不可能有的,想象的數,因為它們所表示的是負數的平方根.對于這類數,我們只能斷言,它們既不是什么都不是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么,它們純屬虛幻.”然而,真理性的東西一定可以經得住時間和空間的考驗,最終占有自己的一席之地.法國數學家達蘭貝爾(.1717—1783)在 1747年指出,假如按照多項式的四則運算規(guī)則對虛數進行運算,那么它的結果總是的形式(a、b都是實數)(說明:現行教科書中沒有使用記號而使用 ).法國數學家棣莫佛(1667—1754)在1730年發(fā)現公式了 ,這就是聞名的探莫佛定理.歐拉在 1748年發(fā)現了有名的關系式 ,并且是他在《微分公式》(1777年)一文中第一次用i來表示1的平方根,首創(chuàng)了用符號i作為虛數的單位.“虛數”實際上不是想象出來的,而它是確實存在的.挪威的測量學家未塞爾(1745—1818)在1779年試圖給于這種虛數以直觀的幾何解釋,并首先發(fā)表其作法,然而沒有得到學術界的重視.

　　德國數學家高斯(1777—1855)在 1806年公布了虛數的圖象表示法,即所有實數能用一條數軸表示,同樣,虛數也能用一個平面上的點來表示.在直角坐標系中,橫軸上取對應實數a的點A,縱軸上取對應實數b的點B,并過這兩點引平行于坐標軸的直線,它們的交點C就表示復數 .象這樣,由各點都對應復數的平面叫做“復平面”,后來又稱“高斯平面”.高斯在1831年,用實數組(a,b)代表復數 ,并建立了復數的某些運算,使得復數的某些運算也象實數一樣地“代數化”.他又在1832年第一次提出了“復數”這個名詞,還將表示平面上同一點的兩種不同方法——直角坐標法和極坐標法加以綜合.統(tǒng)一于表示同一復數的代數式和三角式兩種形式中,并把數軸上的點與實數—一對應,擴展為平面上的點與復數—一對應.高斯不僅把復數看作平面上的點,而且還看作是一種向量,并利用復數與向量之間—一對應的關系,闡述了復數的幾何加法與乘法.至此,復數理論才比較完整和系統(tǒng)地建立起來了.

　　經過許多數學家長期不懈的努力,深刻探討并發(fā)展了復數理論,才使得在數學領域游蕩了200年的幽靈——虛數揭去了神秘的面紗,顯現出它的本來面目,原來虛數不虛呵.虛數成為了數系大家庭中一員,從而實數集才擴充到了復數集.

　　隨著科學和技術的進步,復數理論已越來越顯出它的重要性,它不但對于數學本身的發(fā)展有著極其重要的意義,而且為證實機翼上升力的基本定理起到了重要作用,并在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力,也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據.

　　(二)、虛數單位

　　規(guī)定i叫虛數單位,并規(guī)定:實數與它進行四則運算時,原有的加、乘運算律仍然成立

數的概念的發(fā)展3

　　教學目標：

　�。�1）了解數的概念發(fā)展的過程和動力；

　　（2）了解引進虛數單位i的必要性和作用；理解i的性質。

　�。�3）正確對復數進行分類，掌握數集之間的從屬關系；

　　（4）了解數系從自然數到有理數到實數再到復數擴充的基本思想。

　　教學建議：

　　1．教材分析

　　（1）知識結構

　　首先簡明扼要地對已經學過的數集因生產與科學發(fā)展的需要而逐步擴充的過程作了概括；然后說明，數集的每一次擴充，對數學學科本身來說，也解決了原有數集中某種運算不是永遠可以實施的矛盾，使得某些代數方程在新的數集中能夠有解。從而引出虛數單位i及其性質，接著，將數的范圍擴充到復數，并指出復數后來由于在科學技術中得到應用而進一步發(fā)展。

　　①從實際生產需要推進數的發(fā)展：自然數整數有理數無理數

　�、趶慕夥匠痰男枰七M數的發(fā)展：負數分數無理數虛數

　　（2）重點、難點分析

　　（一）認識的動力

　　從正整數擴充到整數，從整數擴充到有理數，從有理數擴充到實數，數的概念是不斷發(fā)展的，其發(fā)展的動力來自兩個方面。

　　①解決實際問題的需要

　　由于計數的需要產生了自然數；為了表示具有相反意義的量的需要產生了整數；由于測量的需要產生了有理數；由于表示量與量的比值（如正方形對角線的長度與邊長的比值）的需要產生了無理數（既無限不循環(huán)小數）。

　�、诮夥匠痰男枰�

　　為了使方程有解，就引進了負數；為了使方程有解，就要引進分數；為了使方程有解，就要引進無理數。引進無理數后，我們已經能使方程永遠有解，但是，這并沒有徹底解決問題，當時，方程在實數范圍內無解。為了使方程（）有解，就必須把實數概念進一步擴大，這就必須引進新的數。

　　（二）注意數的概念在擴大時要遵循的原則

　　第一，要能解決實際問題中或數學內部的矛盾�，F在要解決的就是在實數集中，方程無解這一矛盾。

　　第二，要盡量地保留原有數集（現在是實數集）的性質，特別是它的運算性質。

　　（三）正確確認識數集之間的關系

　　①有理數就是一切形如的數，其中，所以有理數集實際就是分數集。

　�、凇把h(huán)節(jié)不為0的循環(huán)小數也都是有理數”。

　�、郏欣頂担�=｛分數｝=｛循環(huán)小數｝，｛實數｝=｛小數｝。

　　④自然數集N、整數集Z、有理數集Q、實數集R、復數集C之間有如下的包含關系：

　　2．教法建議

　　（1）注意知識的連續(xù)性：數的發(fā)展過程是漫長的，每一次發(fā)展都來自于生產、生活和計算等需要，所以在教學時要注意使學生認識到數的發(fā)展的兩個動力。

　�。�2）創(chuàng)造良好的課堂氣氛：由于本節(jié)課要了解擴充實數集的必要性，所以，教師可以多向學生介紹一些數的發(fā)展過程當中的一些科學史，課堂學習的氣氛可以營造成一種師生共同研究、共同交流的氣氛。

　　教學目的

　　1、使學生了解數是在人類社會的生產和生活中產生和發(fā)展起來的，了解虛數產生歷史過程；

　　2、理解并掌握虛數單位的定義及性質；

　　3、掌握復數的定義及復數的分類。

　　教學重點

　　虛數單位的定義、性質及復數的分類。

　　教學難點

　　虛數單位的性質．

　　教學過程

　　一、復習引入

　　原始社會，由于計數的需要產生了自然數的概念，隨著文字的產生和發(fā)展，出現了記數的符號，進而建立了自然數的概念。自然數的全體構成自然數集。

　　為了表示具有相反意義的量引進了正負數以及表示沒有的零，這樣將數集擴充到有理數集。有些量與量之間的比值，如用正方形的邊長去度量它的對角線所得的結果，無法用有理數表示，為解決這種矛盾，人們又引進了無理數，有理數和無理數合并在一起，構成實數集。

　　數的概念是人類社會的生產和生活中產生和發(fā)展起來的，數學理論的研究和發(fā)展也推動著，數已經成為現代社會生活和科學技術時刻離不開的科學語言和工具。

　　二、新課教學

　　(一)虛數的產生

　　我們知道，在實數范圍內，解方程是無能為力的，只有把實數集擴充到復數集才能解決。對于復數（a、b都是實數）來說，當時，就是實數；當時叫虛數，當時，叫做純虛數．可是，歷史上引進虛數，把實數集擴充到復數集可不是件容易的事，那么，歷史上是如何引進虛數的呢？

　　16世紀意大利米蘭學者卡當（1501—1576）在1545年發(fā)表的《重要的藝術》一書中，公布了三次方程的一般解法，被后人稱之為“卡當公式”。

　　他是第一個把負數的平方根寫到公式中的數學家，并且在討論是否可能把10分成兩部分，使它們的乘積等于40時，他把答案寫成，盡管他認為和兩個表示式是沒有意義的、想象的、虛無飄渺的，但他還是把10分成了兩部分，并使它們的乘積等于40。給出“虛數”這一名稱的是法國數學家笛卡爾（1596—1650），他在《幾何學》（1637年發(fā)表）中使“虛數’‘與“實的數”相對應，從此，虛數才流傳開來。

　　數系中發(fā)現一顆新星——虛數，于是引起了數學界的一片困惑，很多大數學家都不承認虛數。德國數學家菜不尼茨（1664—1716）在1702年說：“虛數是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所，它大概是存在和虛妄兩界中的.兩棲物”．瑞士數學大師歐拉（1707—1783）說：“一切形如，習的數學式子都是不可能有的，想象的數，因為它們所表示的是負數的平方根。

　　對于這類數，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻．”然而，真理性的東西一定可以經得住時間和空間的考驗，最終占有自己的一席之地。法國數學家達蘭貝爾（1717—1783）在 1747年指出，如果按照多項式的四則運算規(guī)則對虛數進行運算，那么它的結果總是的形式（a、b都是實數）（說明：現行教科書中沒有使用記號而使用）。

　　法國數學家棣莫佛（1667—1754）在1730年發(fā)現公式了，這就是著名的探莫佛定理．歐拉在 1748年發(fā)現了有名的關系式，并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i來表示-1的平方根，首創(chuàng)了用符號i作為虛數的單位．“虛數”實際上不是想象出來的，而它是確實存在的。挪威的測量學家未塞爾（1745—1818）在1779年試圖給于這種虛數以直觀的幾何解釋，并首先發(fā)表其作法，然而沒有得到學術界的重視。

　　德國數學家高斯（1777—1855）在 1806年公布了虛數的圖象表示法，即所有實數能用一條數軸表示，同樣，虛數也能用一個平面上的點來表示．在直角坐標系中，橫軸上取對應實數a的點A，縱軸上取對應實數b的點B，并過這兩點引平行于坐標軸的直線，它們的交點C就表示復數．象這樣，由各點都對應復數的平面叫做“復平面”，后來又稱“高斯平面”。

　　高斯在1831年，用實數組（a，b）代表復數，并建立了復數的某些運算，使得復數的某些運算也象實數一樣地“代數化”．他又在1832年第一次提出了“復數”這個名詞，還將表示平面上同一點的兩種不同方法——直角坐標法和極坐標法加以綜合．統(tǒng)一于表示同一復數的代數式和三角式兩種形式中，并把數軸上的點與實數—一對應，擴展為平面上的點與復數—一對應．高斯不僅把復數看作平面上的點，而且還看作是一種向量，并利用復數與向量之間—一對應的關系，闡述了復數的幾何加法與乘法．至此，復數理論才比較完整和系統(tǒng)地建立起來了。

　　經過許多數學家長期不懈的努力，深刻探討并發(fā)展了復數理論，才使得在數學領域游蕩了200年的幽靈——虛數揭去了神秘的面紗，顯現出它的本來面目，原來虛數不虛呵．虛數成為了數系大家庭中一員，從而實數集才擴充到了復數集。

　　數學本身的發(fā)展有著極其重要的意義，而且為證明機翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力，也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據。

　　例１：

　　( )叫復數的代數形式；b叫復數 ( )的虛部，用（）表示；( )當時z是實數，當時，z是虛數。

　　例2：

　　( )取什么值時，復數是（）

　　(1) 實數 (2) 純虛數 (3) 零

　　解

　　(1)z為實數，則解得：或

　　(2) z為實數，則解得：

　　(3)z為零，則解得：

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