八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期四邊形習(xí)題
在做八年級數(shù)學(xué)單元測習(xí)題的勤者的心上，汗是甜的，美的。以下是小編為大家整理的八年級下冊數(shù)學(xué)四邊形測習(xí)題，希望你們喜歡。
一、單選題(每小題4分，共40分)
1、在四邊形ABCD中，O是對角線的交點，能判定這個四邊形是下方形的條件是( )
A. AC=BD，AD CD B. AD∥BC，∠A=∠C
C. AO=BO=OC=DO，AB=BC D. AO=CO，BO=DO，AB=BC
2、矩形的四個內(nèi)角平分線圍成的四邊形( )
A. 一定是正方形 B. 是矩形 C. 菱形 D. 只能是平行四邊形
3、從正方形鐵片，截去2cm寬的一條長方形，余下的面積是48cm 2，則原來的正方形鐵片的面積是( )
A. 8cm B. 64cm C. 8cm 2 D. 64cm 2
4、如圖，D，E分別為△ABC的AC，BC邊的中點，將此三角形沿DE折疊，使點C落在AB邊上的點P處.若∠CDE=48°，∠APD等于( )
A. 42° B. 48° C. 52° D. 58°
5、如圖，□ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，如果AC=12、BD=10、AB=m，那么m的取值范圍是( )
A. 1<m<11 B. 2<m<22
C. 10<m<12 D. 5<m<6
6、如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，點P在AB上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，則PE+PF等于( )
A. B. C. D.
7、如下圖，延長方形ABCD的一邊BC至E，使CE=AC，連結(jié)AE交CD于F，則∠AFC的度數(shù)是( )
A. 112.5° B. 120°
C. 122.5° D. 135°
8、如圖，E是平行四邊形內(nèi)任一點，若S □ABCD=8，則圖中陰影部分的面積是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
9、如圖，在□ABCD的面積是12，點E，F(xiàn)在AC上，且AE=EF=FC，則△BEF的面積為( )
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
10、四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，設(shè)有以下論斷：
<1>AB=BC：<2>∠DAB=90°：<3>BO=DO，AO=CO：<4>矩形ABCD;<5>菱形ABCD;<6>下方形ABCD，則下列推論中不正確的是( )
A. B. C. D.
二、填空題(每小題5分，共20分)
11、如圖，正方形ABCD邊長為1，E、F、G、H分別為其各邊的中點，則圖中陰影部分的面積為( )。
12、如圖是由5個邊長為1的正方形組成了“十”字型對稱圖形，則圖中∠BAC的度數(shù)是( )。
13、如圖，在□ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點，AC分別交BE、DF于G、H，以下結(jié)論：①BE=DF;②AG=GH=HC;③ ：④S △ ABE=3S △ AGE其中正確的有( )
14、如圖，是用4個相同的小矩形與一個小正方形鑲嵌成的正方形圖案，已知圖案的面積為49，小正方形的面積為4，若用x，y表示表示小矩形的兩邊長(x>y)，請觀察圖案，寫出用x，y表示的三個等式。
三、解答題
15、如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，O為對角線AC、BD的交點，且∠CAE=15°
(1)求證：△AOB為等邊三角形： (2)求∠BOE度數(shù)。
16、已知：如圖，在□ABCD中，BE.CE分別平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE=12cm，CE=5cm.求□ABCD的周長和面積。
17、(1)圖中將兩個等寬矩形重疊一起，則重疊四邊形ABCD是什么特殊四邊形?不需證明。
(2)若(1)中是兩個全等的矩形，矩形的長為8cm，寬為4cm，重疊一起時不完全重合，試求重疊四邊形ABCD的最小面積和最大面積，并請對面積最大時的情況畫出示意圖。
18、已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm，AB邊上有一只小蟲P，由A向B沿AB以1cm/秒的速度爬行，過P做PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，求：(1)矩形PECF的周長y(cm)與爬行時間t(秒)的函數(shù)關(guān)系式，及自變量的取值范圍;
(2)小蟲爬行多長時間，四邊形PECF是正方形。
19、(1)如圖，已知□ABCD，試用三種方法將它分成面積相等的兩部分。(保留作圖痕跡，不寫作法)
由上述方法，你能得到什么一般性的結(jié)論?
(2)解決問題：有兄弟倆分家時，原來共同承包的一塊平行四邊形田地ABCD，現(xiàn)要進行平均劃分，由于在這塊地里有一口井P，如圖所示，為了兄弟倆都能方便使用這口井，兄弟倆在劃分時犯難了，聰明的你能幫他們解決這個問題嗎?(保留作圖痕跡，不寫作法)
20、如圖，在△ABC中，AB=BC，BD是中線，過點D作DE∥BC，過點A作AE∥BD，AE與DE交于點E.求證：四邊形ADBE是矩形.
21、如圖，在△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA角平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F.
(1)求證：EO=FO;
(2)當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形?并證明你的結(jié)論。
22、已知：在△ABC中，BC>AC，動點D繞△ABC的頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)，且AD=BC，連結(jié)DC.過AB、DC的中點E、F作直線，直線EF與直線AD、BC分別相交于點M、N.
(1)如圖1，當點D旋轉(zhuǎn)到BC的延長線上時，點N恰好與點F重合，取AC的中點H.連結(jié)HE、HF，根據(jù)三角形中位線定理和平行線的性質(zhì)，可得結(jié)論∠AMF=∠BNE(不需證明).
(2)當點D旋轉(zhuǎn)到圖2或圖3中的位置時，∠AMF與∠BNE有何數(shù)量關(guān)系?請分別寫出猜想，并任選一種情況證明.
23、如圖，四邊形ABCD中，AC=6，BD=8，且AC⊥BD，順次連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形A 1B 1C 1D 1;再順次連接四邊形A1B 1C 1D 1各邊中點，得到四邊形A 2B 2C 2D 2……，如此進行下去得到四邊形A nB nC nD n。
(1)證明：四邊形A1B1C1D1是矩形;
(2)仔細探索，解決以下問題：(填空)①四邊形A1B1C1D1的面積為________A2B2C2D2的面積為________;②四邊形AnBnCnDn的面積為________(用含n的代數(shù)式表示);③四邊形A5B5C5D5的周長為________。
答案：
C
試題解析：
【分析】
本題是考查正方形的判別方法，判別一個四邊形為正方形主要根據(jù)正方形的概念，途經(jīng)有兩種：①先說明它是矩形，再說明有一組鄰邊相等;②先說明它是菱形，再說明它有一個角為直角.
根據(jù)正方形的判定：對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形進行分析從而得到最后的答案.
【解答】
解：A.因為條件AD∥CD，且AD=CD不能成立，所以不能判定為正方形;
B.不能，只能判定為平行四邊形;
C.能;
D.不能，只能判定為菱形.
故選C.
A
試題解析：
【分析】
本題考查了矩形的性質(zhì)與判定、正方形的判定、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì);熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能進行推理論證是解決問題的關(guān)鍵.由矩形的性質(zhì)和角平分線證出四邊形GMON為矩形，再證出△DOC、△AMD、△BNC是等腰直角三角形，得出OD=OC，證明△AMD≌△BNC，得出NC=DM，得出OM=ON，即可得出結(jié)論.
【解答】
解：如圖所示：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠CBA=∠BCD=∠ADC=90°， AD=BC，
∵AF，BE是矩形的內(nèi)角平分線.
∴∠DAM=∠BAF=∠ABE=∠CBE=45°.
∴∠1=∠2=90°.
同理：∠MON=∠OMG=90°，
∴四邊形GMON為矩形.
又∵AF、BE、DK、CJ為矩形ABCD的角的平分線，
∴△DOC、△AMD、△BNC是等腰直角三角形，
∴OD=OC，
在△AMD和△BNC中，
∴△AMD≌△BNC(AAS)，
∴NC=DM，
∴NC-OC=DM-OD，
即OM=ON，
∴矩形GMON為正方形.
故選A.
D
試題解析：
【分析】
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準確的列出方程是解決問題的關(guān)鍵.解題過程中要注意根據(jù)實際意義進行值的取舍.
可設(shè)正方形的邊長是xcm，根據(jù)“余下的面積是48cm2”，余下的圖形是一個矩形，矩形的長是正方形的邊長，寬是x-2，根據(jù)矩形的面積公式即可列出方程求解.
【解答】
解：設(shè)正方形的邊長是xcm，根據(jù)題意得x(x-2)=48，
解得x1=-6(舍去)，x2=8，
那么原正方形鐵片的面積是8×8=64(cm2).
故選D.
B
試題解析：
【分析】
本題考查三角形中位線定理的位置關(guān)系，并運用了三角形的翻折變換知識，解答此題的關(guān)鍵是要了解圖形翻折變換后與原圖形全等.由翻折可得∠PDE=∠CDE，由中位線定理得DE∥AB，所以∠CDE=∠DAP，進一步可得∠APD=∠CDE.
解：∵△PED是△CED翻折變換來的，
∴△PED≌△CED，
∴∠CDE=∠EDP=48°，
∵DE是△ABC的中位線，
∴DE∥AB，
∴∠APD=∠CDE=48°，
故選B.
A
試題解析：
【分析】
本題考查對平行四邊形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系定理等知識點的理解和掌握，求出OA、OB后得出OA-OB<m<oa+ob是解此題的關(guān)鍵.< p="">
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出OA、OB，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得到OA-OB<m<oa+ob，代入求出即可.< p="">
【解答】
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=12，BD=10，
∴OA=OC=6，OD=OB=5，
在△OAB中，OA-OB<m<oa+ob，< p="">
∴6-5<m<6+5，< p="">
∴1<m<11.< p="">
故選A.
B
試題解析：
【分析】
本題考查了矩形的性質(zhì)，比較簡單，根據(jù)矩形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)解答即可.根據(jù)已知條件，可得出△AEP∽△ADC;△DFP∽△DAB，從而可得出PE，PF的關(guān)系式，然后整理即可解答本題.
【解答】
解：設(shè)AP=x，PB=3-x.
∵∠EAP=∠EAP，∠AEP=∠ABC;
∴△AEP∽△ABC，故 = ①;
同理可得△BFP∽△DAB，故 = ②.
①+②得 = ，
∴PE+PF= .
故選B.
A
試題解析：
【分析】
此題主要考查了正方形的對角線平分對角的性質(zhì).解題關(guān)鍵是熟練掌握三角形的外角的性質(zhì).
根據(jù)正方形的對角線的性質(zhì)，可得∠ACD=∠ACB=45°，進而可得∠ACE的大小，再根據(jù)三角形外角定理，結(jié)合CE=AC，易得∠CEF=22.5°，再由三角形外角定理可得∠AFC的大小.
【解答】
解：AC是正方形的對角線，
∴∠ACD=∠ACB=45°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=135°，
又∵CE=AC，
∴∠CEF=22.5°，
∴∠AFC=90°+22.5°=112.5°.
故選A.
B
試題解析：
【分析】
本題主要考查了三角形的面積公式和平行四邊形的性質(zhì)(平行四邊形的兩組對邊分別相等).要求能靈活的運用等量代換找到需要的關(guān)系.根據(jù)三角形面積公式可知，圖中陰影部分面積等于平行四邊形面積的一半.所以S陰影= S四邊形ABCD.
【解答】
解：設(shè)兩個陰影部分三角形的底為AB，CD，高分別為h1，h2，則h1+h2為平行四邊形的高，
∴S△EAD+S△ECB
= ADh1+ CBh2= AD(h1+h2)
= S四邊形ABCD
=4.
故選B.
D
試題解析：
【分析】
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和三角形的面積，平行四邊形的對角線將平行四邊形分成面積相等的兩個三角形，本題解題關(guān)鍵是利用三角形的面積計算公式找出所求三角形與已知三角形的面積關(guān)系.
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知△ABC的面積是平行四邊形面積的一半，再進一步確定△BEF和△ABC的面積關(guān)系即可.
【解答】
解：∵SABCD=12，
∴S△ABC= SABCD=6，
∴S△ABC= ×AC×高= ×3EF×高=6，
得到： ×EF×高=2，
∵△BEF的面積= ×EF×高=2.
∴△BEF的面積為2.
故選D.
10、C
試題解析：
【分析】
本題考查是矩形、菱形、正方形的判定定理，如：一組鄰邊相等的矩形是正方形;對角線互相平分且一組鄰邊相等的四邊形是菱形;對角線互相平分且一個角是直角的四邊形是矩形.根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定定理對四個選項逐一分析.
【解答】
解：A.由 <1> <4>得，一組鄰邊相等的矩形是正方形，故A正確;
B.由 <3>得，四邊形ABCD是平行四邊形，再由 <1> ，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故B正確;
C.由 <1><2>不能判斷四邊形是正方形，故C錯誤;
D.由 <3>得，四邊形是平行四邊形，再由 <2>，一個角是直角的平行四邊形是矩形，故D正確;
故選C.
11、
試題解析：
【分析】
本題利用了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理求解.
根據(jù)正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)求得陰影部分的邊長，從而即可求得陰影部分的面積.
【解答】
解：
正方形的邊長為1，則CD=1，CF= ，
由勾股定理得，DF= ，
由同角的余角相等，易得△FCW∽△FDC，
∴CF：DF=CW：DC=WF：CF，得WF= ，CW= ，
同理，DS= ，
∴SW=DF-DS-WF= ，
∴陰影部分小正方形的面積( )2= .
故答案為 .
12、45°
試題解析：
【分析】
本題考查了正方形的性質(zhì)，通過作輔助線構(gòu)造特殊三角形求解是解決角度問題的一般做法，要求熟練掌握.由題意知，各正方形的邊長均為1，連接BC，利用角度關(guān)系可以得出△ABC為等腰直角三角形，進而得出∠BAC=45°.
【解答】
解：如圖，根據(jù)題意可知，∠BAD=∠FBC、∠ABD=∠BCF，
∴∠ABD+∠FBC=90°，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=45°.
故答案為45°.
13、①②③④
試題解析：
【分析】
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和平行線等分線段定理與全等三角形的判定，中等難度，解答此類題目的關(guān)鍵是熟記平行四邊形的幾個重要的性質(zhì).
根據(jù)三角形全等的判定，由已知條件可證①△ABE≌△CDF;繼而證得②AG=GH=HC;又根據(jù)三角形的中位線定理可證△ABG≌△DCH，得③EG= BG.而④S△ABE=3S△AGE正確，從而判斷出了答案.
【解答】
解：①在ABCD中，∵E、F分別是AD、BC的中點，
∴ED∥BF，ED=BF，
∴四邊形BFDE是，
∴BE=DF，
∴①是正確的;
②∵BE∥DF，在△ADH中，E是AD邊的中點，
∴G是AH邊的中點，
∴AG=GH，
同理可證CH=GH，
即AG=GH=HC，
∴②是正確的;
�、塾散诘慕Y(jié)論可判斷EG= DH，
再根據(jù)已知條件及結(jié)論得AD=BC，AH=CG，∠DAC=∠BCG，
∴△ADH≌△CBG，
∴BG=DH，
故EG= BG，
∴③是正確的;
�、茉凇鰽BE與△AGE中，分別以BE、GE為底邊時，
∴它們的高相等，面積之比即為底邊BE與GE之比，
根據(jù)③的結(jié)論，BE：GE=1：3，
∴S△ABE=3S△AGE，
∴④是正確的.
故答案為①②③④.
14、x+y=7，x=y+2，(x+y)2=(2y+2)2(答案不唯一)
試題解析：
【分析】
本題考查了列代數(shù)式.根據(jù)正方形的邊長和面積列式即可.
【解答】
解：∵圖案的面積為49，小正方形的面積為4，
∴圖案的邊長為7，小正方形的邊長為2，
∴可列等式可以為：x+y=7，x=y+2，(x+y) 2=49，(x+y) 2=(2y+2) 2，(x+y) 2=4xy+4(任選三個即可).
故答案為x+y=7，x=y+2，(x+y) 2=(2y+2) 2.(答案不唯一)
15、正確答案：
(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，AO=BO= AC= BD，
∵AE是∠BAD的角平分線，
∴∠BAE=45°，
∵∠CAE=15°，
∴∠BAC=60°，
∴△AOB是等邊三角形;
(2)解：∵在Rt△ABE中，∠BAE=45°，
∴AB=BE，
∵△ABO是等邊三角形，
∴AB=BO，
∴OB=BE，
∵∠OBE=30°，OB=BE，
∴∠BOE= (180°-30°)=75°.
試題解析：
本題考查了矩形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理.熟記各性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵.
(1)因為四邊形ABCD是矩形，所以O(shè)A=OB，則只需求得∠BAC=60°，即可證明三角形是等邊三角形;
(2)因為∠B=90°，∠BAE=45°，所以AB=BE，又因為△ABO是等邊三角形，則∠OBE=30°，故∠BOE度數(shù)可求.
16、正確答案：
解：∵BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD，
∴∠1=∠3= ∠ABC，∠DCE=∠BCE= ∠BCD，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠2=∠3，∠BCE=∠CED，∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠1=∠2，∠DCE=∠CED，∠3+∠BCE=90°，
∴AB=AE，CD=DE，∠BEC=90°，
在直角三角形BCE中，根據(jù)勾股定理得：BC=13，
根據(jù)平行四邊形的對邊相等，得到：AB=CD，AD=BC，
∴平行四邊形的周長等于：13+13+13=39.
作EF⊥BC于F.根據(jù)直角三角形的面積公式得：EF= = ，
所以平行四邊形的面積= =60.
即平行四邊形的周長為39cm，面積為60cm2.
試題解析：
本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，在平行四邊形中，當出現(xiàn)角平分線時，一般可構(gòu)造等腰三角形，進而利用等腰三角形的性質(zhì)解題.根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得到等腰三角形ABE和等腰三角形CDE和直角三角形BCE.根據(jù)直角三角形的勾股定理得到BC=13.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AB=CD= AD= BC=6.5，從而求得該平行四邊形的周長;根據(jù)直角三角形的面積可以求得平行四邊形BC邊上的高.
17、正確答案：
解：(1)重疊四邊形ABCD是菱形.
(2)當菱形ABCD為正方形時，s最小=42=16(cm2);
當菱形ABCD如圖時，面積最大.
設(shè)CD=x，根據(jù)勾股定理得x2=(8-x)2+42，
解得x=5.
∴s最大=BC×DE=5×4=20(cm2).
試題解析：
此題考查了菱形的判定方法、矩形的性質(zhì)及面積的計算問題.應(yīng)明白在什么情況下重疊面積最小或最大，這是此題的難點.
(1)易證ABCD為平行四邊形;根據(jù)矩形等寬，說明平行四邊形的各邊上的高相等，利用等積表示法證明鄰邊相等.根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得證;
證明：根據(jù)矩形對邊平行，可得ABCD是平行四邊形;
因為矩形等寬，即ABCD各邊上的高相等.
根據(jù)平行四邊形的面積公式可得鄰邊相等，
所以ABCD是菱形;
(2)當ABCD為正方形時面積最小;當對角線重合時的菱形面積最大.分別計算求解.
18、正確答案：
解：∵小蟲P由A向B沿AB以1cm/秒的速度爬行，
∴AP=tcm，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3cm，
∴PF= AP= tcm，AC=BC÷tan30°=3÷ =3 cm，AF= AP= tcm，
∴PE=FC=(3 - t)cm，
∴矩形PECF的周長y=2(PF+PE)=2( t+3 - t)=(1- )t+6 ，
∴ 矩形PECF的.周長y(cm)與爬行時間t(秒)的函數(shù)關(guān)系式為y=(1- )t+6 ;
(2)當小蟲爬行(9-3 )秒時，四邊形PECF是正方形，理由如下：
由(1)知四邊形PECF是矩形，若四邊形PECF是正方形，
則有PE=PF，
∵根據(jù)題意可知AP=tcm，由(1)知PF= AP= tcm，PE=FC=(3 - t)cm
∴ t=3 - t時，四邊形PECF是正方形，
解得t=9-3 ，
∴當小蟲爬行(9-3 )秒時，四邊形PECF是正方形.
試題解析：
本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定及解直角三角形，一元一次方程的應(yīng)用.
(1)根據(jù)題意可得出PF= tcm，PE=FC=(3 - t)cm，然后利用周長y=2(PF+PE)求出即可;
(2)由(1)知四邊形PECF是矩形，若四邊形PECF是正方形，則有PE=PF，即 t=3 - t，解出方程即可.
19、正確答案：
解：(1)
結(jié)論：過平行四邊形對角線交點的任意一條直線都將平行四邊形分成相等的兩部分;
(2)解：連接AC、BD相交于點O，過O、P作直線分別交AD、BC于E、F，
則一人分四邊形ABFE，另一人分四邊形CDEF.
試題解析：
此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行四邊形是中心對稱圖形.本題需仔細分析題意，結(jié)合圖形，利用平行四邊形的中心對稱性即可解決問題.
(1)1、利用平行四邊形的對角線;2、連接一組對邊的中點
3、過平行四邊形的對稱中心作一條直線即可.根據(jù)中心對稱圖形的性質(zhì)得結(jié)論;
(2)先找出平行四邊形的對稱中心，過中心和P作直線即可 .
20、正確答案：
證明：∵D是AC的中點，
∴AD=CD，
∵AE∥BD，DE∥BC，
∴∠EAD=∠BDC，∠ADE=∠DCB，
∴△ADE≌△DCB，
∴AE=DB，
∴四邊形ADBE是平行四邊形，
∵AB=CB，
∴BD⊥AC即∠ADB=90°，
∴平行四邊形ADBE是矩形.
試題解析：
本題考查了矩形的判定定理，即有一個角是直角的平行四邊形是矩形.根據(jù)矩形的判定定理，欲證四邊形ADBE是矩形，先證明四邊形ADBE是平行四邊形，再根據(jù)等腰三角形底邊的中線垂直底邊得出四邊形ADBE的一個角是90°，得出四邊形ADBE是矩形.
21、正確答案：
(1)證明：如圖，
∵CE平分∠ACB，
∴∠1=∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴EO=CO，
同理，F(xiàn)O=CO，
∴EO=FO;
(2)解：當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形.
理由： ∵EO=FO，點O是AC的中點.
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵CF平分∠BCA的外角，
∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠4= ×180°=90°.
即∠ECF=90°，
∴四邊形AECF是矩形.
試題解析：
本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定、矩形的判定定理，解答此類題的關(guān)鍵是要突破思維定勢的障礙，運用發(fā)散思維，多方思考，探究問題在不同條件下的不同結(jié)論，挖掘它的內(nèi)在聯(lián)系，向“縱、橫、深、廣”拓展，從而尋找出添加的條件和所得的結(jié)論.
(1)根據(jù)平行線性質(zhì)和角平分線的定義，以及等角對等邊可得結(jié)論;
(2)根據(jù)矩形的判定方法，即一個角是直角的平行四邊形是矩形可證.
22、正確答案：
解：(1)圖1：∠AMF=∠ENB;
圖2：∠AMF=∠ENB;
圖3：∠AMF+∠ENB=180°.
(2)證明：如圖2，取AC的中點H，連接HE、HF.
∵F是DC的中點，H是AC的中點，
∴HF∥AD，HF= AD，
∴∠AMF=∠HFE，
同理，HE∥CB，HE= CB，
∴∠ENB=∠HEF.
∵AD=BC，
∴HF=HE，
∴∠HEF=∠HFE，
∴∠ENB=∠AMF.
如圖3：取AC的中點H，連接HE、HF.
∵F是DC的中點，H是AC的中點，
∴HF∥AD，HF= AD，
∴∠AMF+∠HFE=180°，
同理，HE∥CB，HE= CB，
∴∠ENB=∠HEF.
∵AD=BC，
∴HF=HE，
∴∠HEF=∠HFE，
∴∠AMF+∠ENB=180°.
試題解析：
此題考查了中位線定理，平行線的性質(zhì)等概念，解答此題的關(guān)鍵是需要作出兩條輔助線.(1)(2)思路基本相同，都需要作出兩條輔助線，兩次運用中位線定理解答即可.
23、正確答案：
(1)證明：∵點A1，D1分別是AB、AD的中點，
∴A1D1是△ABD的中位線，
∴A1D1∥BD，A1D1= BD，
同理：B1C1∥BD，B1C1= BD，
∴A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1= BD，
∴四邊形A1B1C1D1是平行四邊形.
∵AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1，
∴A1B1⊥A1D1即∠B1A1D1=90°，
∴四邊形A1B1C1D1是矩形;
(2)12;6;24× ; .
試題解析：
【分析】
本題利用了三角形的中位線的性質(zhì)，相似圖形的面積比等于相似比的平方求解.
(1)由A 1D 1分別是△ABD的中位線，B 1C 1是△CBD的中位線知，A 1D 1∥B 1C 1，A 1D 1=B 1C 1= BD，故四邊形A 1B 1C1D 1是平行四邊形，由AC⊥BD，AC∥A 1B 1，BD∥A 1D 1知，四邊形A 1B 1C 1D 1是矩形;
(2)由三角形的中位線的性質(zhì)知，B 1C 1= BD=4，B 1A 1= AC=3，故矩形A 1B 1C 1D 1的面積為12，可以得到故四邊形A 2B 2C 2D 2的面積是A 1B 1C 1D 1的面積的一半，為6;由三角形的中位線的性質(zhì)可以推得，每得到一次四邊形，它的面積變?yōu)樵瓉淼囊话�，故四邊形A nB nC nD n的面積為24× ;由相似圖形的面積比等于相似比的平方可得到矩形A 5B 5C 5D 5的邊長，再求得它的周長.
【解答】
(1)證明見答案;
(2)解：由三角形的中位線的性質(zhì)知，B1C1= BD=4，B1A1= AC=3，
得：四邊形A1B1C1D1的面積為24× =12;
四邊形A2B2C2D2的面積為24× =6;
四邊形AnBnCnDn的面積為24× ;
四邊形A5B5C5D5的面積為24× = ，
由(1)得矩形A1B1C1D1的長為4，寬為3.邊長為14，
∵矩形A5B5C5D5∽矩形A1B1C1D1
∴矩形A5B5C5D5的面積：矩形A1B1C1D1的面積=(矩形A5B5C5D5的周長)2：(矩形A1B1C1D1的周長)2
即 ：12=(矩形A5B5C5D5的周長)2：142，
∴矩形A5B5C5D5的周長= = .
故答案為12;6;24× ; .
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