分形

幾何學術語

分形(幾何學術語)

分形，具有以非整數(shù)維形式充填空間的形態(tài)特征。分形（Fractal）一詞，是芒德勃羅創(chuàng)造出來的，其原意具有不規(guī)則、支離破碎等意義。1973年，芒德勃羅（B.B.Mandelbrot）在法蘭西學院講課時，首次提出了分維和分形的設想。分形是一個數(shù)學術語，也是一套以分形特征為研究主題的數(shù)學理論。分形理論既是非線性科學的前沿和重要分支，又是一門新興的橫斷學科，是研究一類現(xiàn)象特征的新的數(shù)學分科，相對于其幾何形態(tài)，它與微分方程與動力系統(tǒng)理論的聯(lián)系更為顯著。分形的自相似特征可以是統(tǒng)計自相似，構(gòu)成分形也不限于幾何形式，時間過程也可以，故而與鞅論關系密切。分形幾何是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學。由于不規(guī)則現(xiàn)象在自然界普遍存在，因此分形幾何學又被稱為描述大自然的幾何學。分形幾何學建立以后，很快就引起了各個學科領域的關注。不僅在理論上，而且在實用上分形幾何都具有重要價值。

目錄 簡介 由來 探討 概況 收縮展開 簡介

“誰不知道熵概念就不能被認為是科學上的文化人，將來誰不知道分形概念，也不能稱為有知識。”——物理學家惠勒 分形理論是在上世紀70年代由芒德布羅幾乎集一己之力創(chuàng)立的，但其嚴格的數(shù)學基礎之一——芒德布羅集，卻是70年代末芒德布羅及布魯克斯、馬蒂爾斯基以及道阿迪、哈伯德、沙斯頓等人幾乎同時分別建立完善的，他們的思想都源自上世紀前葉一些前輩如法圖、萊維、朱利亞的有關思想。 中文文獻中芒德布羅的譯名一直不統(tǒng)一，芒德布羅本人使用的中文名字是“本華·曼德博”，可見于其耶魯大學網(wǎng)站個人主頁照片，為豎排繁體漢字手寫體。全國科學技術名詞審定委員會在數(shù)學、物理學、力學等幾個學科術語的譯名中，使用的都是“芒德布羅”。本華·曼德博（1924－2010，法語原文Beno?t B. Mandelbrot），生于波蘭的立陶宛裔猶太家庭，主要成長教育經(jīng)歷是在法國完成的，后長期在美國工作。如果追求音譯的準確，還應考慮Mandelbrot姓氏最初的來源，這是一個明顯地具有阿什肯那茲猶太姓氏特征的姓（德語“杏仁”+“面包”）。 分形現(xiàn)已成為應用極為廣泛的學科。芒德布羅個人風格獨特，對各類看似“無定形”、“不光滑”的“怪東西”皆富有興趣，也正是這樣他才能最終抽象創(chuàng)立出分形這門學科。曼德布羅特來訪過中國大陸一次以上，稱中國文字個個是圖形，與他路數(shù)相合（芒德布羅本人習用法語）。中國最早使用分形理論的可能是金屬學界。 現(xiàn)今人們熟悉的分形的著名實例，如用“鏤空”辦法制成的康托爾集、謝爾賓斯基三角形(Waclaw Sierpinski,1882-1969，波蘭數(shù)學家)及門格奶酪或稱門格海綿（Menger，1902-1985，為著名經(jīng)濟學家門格之子），它們的非整數(shù)維數(shù)是漸增的，分別為0.63、1.58、2.72，而它們長度、面積、體積令人吃驚的皆為0。另一個用“凸起”辦法制作的科赫曲線(H.von Koch,1870-1924，瑞典數(shù)學家)，其維數(shù)是1.26，它的長度則是無限的，可它圍住的面積卻有限！ 分形作為一種數(shù)學工具，現(xiàn)已應用于各個領域，如應用于計算機輔助使用的各種分析軟件中。

由來

據(jù)芒德布羅教授自己說，fractal一詞是1975年夏天的一個寂靜夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他兒子的拉丁文字典時，突然想到的。此詞源于拉丁文形容詞fractus，對應的拉丁文動詞是frangere（“破碎”、“產(chǎn)生無規(guī)碎片”）。此外與英文的fraction（“碎片”、“分數(shù)”）及fragment（“碎片”）具有相同的詞根。在70年代中期以前，芒德布羅一直使用英文fractional一詞來表示他的分形思想。因此，取拉丁詞之頭，擷英文之尾的fractal，本意是不規(guī)則的、破碎的、分數(shù)的。芒德布羅是想用此詞來描述自然界中傳統(tǒng)歐幾里德幾何學所不能描述的一大類復雜無規(guī)的幾何對象。例如，彎彎曲曲的海岸線、起伏不平的山脈，粗糙不堪的斷面，變幻無常的浮云，九曲回腸的河流，縱橫交錯的血管，令人眼花繚亂的滿天繁星等。它們的特點都是，極不規(guī)則或極不光滑。直觀而粗略地說，這些對象都是分形。

探討

幾何學

分形幾何與傳統(tǒng)幾何相比有什么特點： ⑴從整體上看，分形幾何圖形是處處不規(guī)則的。例如，海岸線和山川形狀，從遠距離觀察，其形狀是極不規(guī)則的。 ⑵在不同尺度上，圖形的規(guī)則性又是相同的。上述的海岸線和山川形狀，從近距離觀察，其局部形狀又和整體形態(tài)相似，它們從整體到局部，都是自相似的。當然，也有一些分形幾何圖形，它們并不完全是自相似的。其中一些是用來描述一般隨機現(xiàn)象的，還有一些是用來描述混沌和非線性系統(tǒng)的。

什么是分維

在歐氏空間中，人們習慣把空間看成三維的，平面或球面看成二維，而把直線或曲線看成一維。也可以稍加推廣，認為點是零維的，還可以引入高維空間，但通常人們習慣于整數(shù)的維數(shù)。分形理論把維數(shù)視為分數(shù)，這類維數(shù)是物理學家在研究混沌吸引子等理論時需要引入的重要概念。為了定量地描述客觀事物的“非規(guī)則”程度，1919年，數(shù)學家從測度的角度引入了維數(shù)概念，將維數(shù)從整數(shù)擴大到分數(shù)，從而突破了一般拓撲集維數(shù)為整數(shù)的界限。 分維的概念我們可以從兩方面建立起來：一方面，我們首先畫一個線段、正方形和立方體，它們的邊長都是1。將它們的邊長二等分，此時，原圖的線度縮小為原來的.1/2，而將原圖等分為若干個相似的圖形。其線段、正方形、立方體分別被等分為2^1、2^2和2^3個相似的子圖形，其中的指數(shù)1、2、3，正好等于與圖形相應的經(jīng)驗維數(shù)。一般說來，如果某圖形是由把原圖縮小為1/a的相似的b個圖形所組成，有： a^D=b,D=(ln b)/(ln a) 的關系成立，則指數(shù)D稱為相似性維數(shù)，D可以是整數(shù)，也可以是分數(shù)。另一方面，當我們畫一根直線，如果我們用0維的點來量它，其結(jié)果為無窮大，因為直線中包含無窮多個點；如果我們用一塊平面來量它，其結(jié)果是0，因為直線中不包含平面。那么，用怎樣的尺度來量它才會得到有限值哪？看來只有用與其同維數(shù)的小線段來量它才會得到有限值，而這里直線的維數(shù)為1（大于0、小于2）。與此類似，如果我們畫一個Koch曲線，其整體是一條無限長的線折疊而成，顯然，用小直線段量，其結(jié)果是無窮大，而用平面量，其結(jié)果是0（此曲線中不包含平面），那么只有找一個與Koch曲線維數(shù)相同的尺子量它才會得到有限值，而這個維數(shù)顯然大于1、小于2，那么只能是小數(shù)（即分數(shù)）了，所以存在分維。Koch曲線的每一部分都由4個跟它自身比例為1:3的 形狀相同的小曲線組成，那么它的豪斯多夫維數(shù)（分維數(shù)）為d=log(4)/log(3)=1.26185950714...

概況

定義

芒德布羅曾經(jīng)為分形下過兩個定義： （1）滿足下式條件 Dim(A)>dim(A) 的集合A，稱為分形集。其中，Dim(A)為集合A的Hausdoff維數(shù)（或分維數(shù)），dim(A)為其拓撲維數(shù)。一般說來，Dim(A)不是整數(shù)，而是分數(shù)。 （2）部分與整體以某種形式相似的形，稱為分形。 然而，經(jīng)過理論和應用的檢驗，人們發(fā)現(xiàn)這兩個定義很難包括分形如此豐富的內(nèi)容。實際上，對于什么是分形，到目前為止還不能給出一個確切的定義，正如生物學中對“生命”也沒有嚴格明確的定義一樣，人們通常是列出生命體的一系列特性來加以說明。對分形的定義也可同樣的處理。 分形一般有以下特質(zhì)： 在任意小的尺度上都能有精細的結(jié)構(gòu)； 太不規(guī)則，以至難以用傳統(tǒng)歐氏幾何的語言描述； （至少是大略或任意地）自相似豪斯多夫維數(shù)會大於拓撲維數(shù)（但在空間填充曲線如希爾伯特曲線中為例外）； 有著簡單的遞歸定義。 （i）分形集都具有任意小尺度下的比例細節(jié)，或者說它具有精細的結(jié)構(gòu)。 （ii）分形集不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述，它既不是滿足某些條件的點的軌跡，也不是某些簡單方程的解集。 （iii）分形集具有某種自相似形式，可能是近似的自相似或者統(tǒng)計的自相似。 （iv）一般，分形集的“分形維數(shù)”，嚴格大于它相應的拓撲維數(shù)。 （v）在大多數(shù)令人感興趣的情形下，分形集由非常簡單的方法定義，可能以變換的迭代產(chǎn)生。

意義

上世紀80年代初開始的“分形熱”經(jīng)久不息。分形作為一種新的概念和方法，正在許多領域開展應用探索。美國物理學大師約翰·惠勒說過：今后誰不熟悉分形，誰就不能被稱為科學上的文化人。由此可見分形的重要性。 中國著名學者周海中教授認為：分形幾何不僅展示了數(shù)學之美，也揭示了世界的本質(zhì)，還改變了人們理解自然奧秘的方式；可以說分形幾何是真正描述大自然的幾何學，對它的研究也極大地拓展了人類的認知疆域。 分形幾何學作為當今世界十分風靡和活躍的新理論、新學科，它的出現(xiàn)，使人們重新審視這個世界：世界是非線性的，分形無處不在。分形幾何學不僅讓人們感悟到科學與藝術的融合，數(shù)學與藝術審美的統(tǒng)一，而且還有其深刻的科學方法論意義。

張濟忠著圖書

分形(張濟忠著圖書)

目錄 簡介 目錄 簡介

《分形（第2版）》是《分形》的第2版，第1版在1995年8月由清華大學出版社出版�！斗中危ǖ�2版）》以自然界中普遍存在的非平衡非線性復雜系統(tǒng)中自發(fā)形成的各種時空有序狀態(tài)（或結(jié)構(gòu)）為研究對象，介紹了分形理論的基本概念、數(shù)學基礎和研究方法，及其在凝聚態(tài)物理學、材料科學、化學、生物學、醫(yī)學、地震學、經(jīng)濟學等學科中的應用。 《分形（第2版）》內(nèi)容豐富、生動形象，并附有適量的計算機模擬程序，可作為對非平衡非線性研究感興趣的各學科研究工作者學習分形理論的入門書，也可作為大學本科生和研究生學習分形理論的教材和參考書。

目錄

緒論 第1章 非線性復雜系統(tǒng)與非線性熱力學 1.1 自組織現(xiàn)象 1.2 自相似性 1.3 標度不變性 1.4 非線性非平衡態(tài)熱力學 第2章 分形的數(shù)學基礎 2.1 非歐氏幾何學 2.2 Hausdorff測度和維數(shù) 2.3 維數(shù)的其他定義 2.4 非均勻線性變換 2.5 重正化群 第3章 經(jīng)典分形與Mandelbrot集 3.1 Cantot集 3.2 Koch曲線 3.3 Sierpinski集 3.4 Julia集 3.5 Mandelbrot集 第4章 分形維數(shù)的測定 4.1 基該方法 4.1.1 改變觀察尺度求維數(shù) 4.1.2 根據(jù)測度關系求維數(shù) 4.1.3 根據(jù)相關函數(shù)求維數(shù) 4.1.4 根據(jù)分布函數(shù)求維數(shù) 4.1.5 根據(jù)頻譜求維數(shù) 4.2 盒維數(shù) 4.3 函數(shù)圖的維數(shù) 4.4 碼尺與分形維數(shù)的關系 第5章 產(chǎn)生分形的物理機制與生長模型 5.1 產(chǎn)生分形的物理機制 5.2 分形與混沌 5.3 分支與自組織 5.4 有限擴散凝聚（DI。A)模型 5.5 彈射凝聚（BA)模型 5.6 反應控制凝聚（RI。A)模型 5.7 粘性指延與滲流 第6章 分形生長的計算機模擬 6.1 DLA生長的Monte Carlo模擬 6.2 DLCA生長模擬 6.3 各向異性DLA凝聚 6.4 擴散控制沉積的模擬 6.5 復雜生物形態(tài)的模擬 第7章 氣固相變與分形 7.1 氧化鉬的分形生長 7。2碘的分形生長 7.3 氧化鎢的分形生長 7.4 核晶凝聚（NA)模型 第8章 分形生長的實驗研究 8一合金薄膜 8.2 電解沉積 8.3 濺射凝聚 8.4 非晶態(tài)膜的晶化 8.5 粘性指延 8.6 電介質(zhì)擊穿 8.7 水溶液結(jié)晶 第9章 不同體系中的分形生長 9.1 氧化亞錫從結(jié)晶生長到分形生長 9.1.1 快速冷卻 9.1.2 慢速冷卻 9.2 豬膽汁從結(jié)晶生長到分形生長 9.3 人膽汁的分形生長 9.4 硼酸晶體的分形生長 9.5 真空中非晶碳的分形生長 9.6 電子輻照在聚丙烯中引發(fā)的分形生長 第10章 自組織生長 10.1 自然界的自組織生長 10.1.1 北極的地表礫石組成的.環(huán)形圖形 10.1.2 沙漠的有序圖形 10.1.3 變幻莫測的云 10.1.4 人類基因DNA序列圖 10.1.5 海貝殼 10.1.6 珊瑚表面的有序結(jié)構(gòu) 10.2 氧化鎘的自組織生長 第11章 分形理論的應用 11.1 生物學 11.2 地球物理學 11.3 物理學和化學 11.4 天文學 11.5 材料科學 11.6 計算機圖形學 11.7 經(jīng)濟學 11.8 語言學與情報學 11.9 音樂 第12章 分形理論的發(fā)展 12.1 廣義維數(shù)和廣延維數(shù) 12.2 多重分形 12.3 分形子與無序系統(tǒng) 12.3.1 分形固體的振動（分形子的引入） 12.3.2 分形子的實驗觀察 12.3.3 分形子動力學理論 12.3.4 分形子與譜維數(shù) 12.4 小波變換的應用 12.5 漲落與有序 12.5.1 漲落 12.5.2 漲落和關聯(lián) 12.5.3 漲落的放大 12.6 研究方向 附錄計算機模擬源程序 參考文獻

日產(chǎn)動畫

分形(日產(chǎn)動畫)

目錄 基本信息 劇情介紹 基本信息

動漫名稱：分形 英文名稱：Fractale 動漫類型：日產(chǎn)動畫 制作發(fā)行：東映 地區(qū)：日本 對白語言：日語發(fā)音 中文字幕 劇情類別：冒險 出品年份：2011 主　角：克勞岱爾

劇情介紹

自從能夠管理世界的“Fractale System(分形系統(tǒng))”完成以來，讓人類在世上能夠不需要工作就能生存下去，使他們能夠真真正正地踏足于樂園之上。而這樣的生活在持續(xù)了千年之后，這個時至今日仍然運作的系統(tǒng)，雖然仍在運行，卻已經(jīng)到達沒有人能夠解析的地步了。在這個樂園上，大多數(shù)的人都相信他們之所以擁有幸福，全因為這個系統(tǒng)仍在持續(xù)運行著。而故事的'開端，就開始在Fractale System開始崩壞，于某大陸的某一小島之上…… 詳見百科詞條 ：fractale

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