斐波那契數(shù)列

斐波那契數(shù)列

斐波那契數(shù)列(斐波那契數(shù)列)

斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，指的是這樣一個數(shù)列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在數(shù)學(xué)上，斐波納契數(shù)列以如下被以遞歸的方法定義：F0=0，F(xiàn)1=1，F(xiàn)n=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域，斐波納契數(shù)列都有直接的應(yīng)用，為此，美國數(shù)學(xué)會從1960年代起出版了《斐波納契數(shù)列》季刊，專門刊載這方面的研究成果。

斐波那契數(shù)列指的是這樣一個數(shù)列 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... 特別指出：0是第0項，不是第1項。 這個數(shù)列從第二項開始，每一項都等于前兩項之和。 斐波那契數(shù)列的發(fā)明者，是意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci），生于公元1170年，卒于1240年，籍貫是比薩。他被人稱作“比薩的列昂納多”。1202年，他撰寫了《珠算原理》（Liber Abacci）一書。他是第一個研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業(yè)團體聘任為外交領(lǐng)事，派駐地點相當(dāng)于今日的阿爾及利亞地區(qū)，列昂納多因此得以在一個阿拉伯老師的指導(dǎo)下研究數(shù)學(xué)。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯等地研究數(shù)學(xué)。

遞推公式

斐波那契數(shù)列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... 如果設(shè)F(n）為該數(shù)列的第n項（n∈N*），那么這句話可以寫成如下形式： 顯然這是一個線性遞推數(shù)列。

通項公式

(如上，又稱為“比內(nèi)公式”，是用無理數(shù)表示有理數(shù)的一個范例。) 注：此時a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n>=3,n∈N*）

通項公式的推導(dǎo)

方法一：利用特征方程（線性代數(shù)解法） 線性遞推數(shù)列的特征方程為： 解得 則 解得： 方法二：待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列1（初等代數(shù)解法） 設(shè)常數(shù)r，s。 使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。 則r+s=1， -rs=1。 n≥3時，有。 F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。 F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。 F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。 …… F⑶-r*F⑵=s*[F⑵-r*F⑴]。 聯(lián)立以上n-2個式子，得： F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F⑵-r*F⑴]。 ∵s=1-r，F(xiàn)⑴=F⑵=1。 上式可化簡得： F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。 那么： F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。 = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2）。 = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3）。 …… = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F⑴。 = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1）。 （這是一個以s^(n-1）為首項、以r^(n-1）為末項、r/s為公比的等比數(shù)列的各項的和）。 =[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s）。 =(s^n - r^n)/(s-r）。 r+s=1， -rs=1的一解為 s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2。 則F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。 方法三：待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列2（初等代數(shù)解法） 已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3），求數(shù)列{an}的通項公式。 解 ：設(shè)an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））。 得α+β=1。 αβ=-1。 構(gòu)造方程x^2-x-1=0，解得α=(1-√5)/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。 所以。 an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。 an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2。 由式1，式2，可得。 an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。 an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4。 將式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2，化簡得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。 方法四：母函數(shù)法。 考察函數(shù)Sn（x）=F1 x+F2 x?+F3 x?+……+Fn x^n……………………………① 則 xSn（x）=F1 x?+F2 x?+……+F{n﹣1} x^n+Fn x^(n+1)……………………② x?Sn（x）=F1 x?+……+F{n﹣2} x^n+F{n﹣1} x^(n+1)+Fn x^(n+2)………③ ①﹣②﹣③得（1﹣x﹣x?）Sn（x）=x﹣F{n+1} x^(n+1)﹣Fn x^(n+2)……④ 令1﹣x﹣x?=0（即x=或x=） 于是，④式右邊=0即x﹣F{n+1} x^(n+1)﹣Fn x^(n+2)=0 移項，兩邊同除以x^(n+1)，得到…………………………⑤ 將x的兩個值分別代入⑤，并作差，得到（x1﹣x2）Fn=﹣ 代入具體數(shù)值得到

關(guān)系

有趣的是：這樣一個完全是自然數(shù)的數(shù)列，通項公式卻是用無理數(shù)來表達的。而且當(dāng)n趨向于無窮大時，后一項與前一項的'比值越來越逼近黃金分割0.618.（或者說后一項與前一項的比值小數(shù)部分越來越逼近黃金分割0.618、前一項與后一項的比值越來越逼近黃金分割0.618） 1÷1=1，2÷1=2，3÷2=1.5，5÷3=1.666...，8÷5=1.6，…………，89÷55=1.6181818…，…………233÷144=1.618055…75025÷46368=1.6180339889…... 越到后面，這些比值越接近黃金比.

證明

a[n+2]=a[n+1]+a[n]。 兩邊同時除以a[n+1]得到： a[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]。 若a[n+1]/a[n]的極限存在，設(shè)其極限為x， 則lim[n->；；∞](a[n+2]/a[n+1])=lim[n->；；∞](a[n+1]/a[n])=x。 所以x=1+1/x。 即x²=x+1。 所以極限是黃金分割比..

平方與前后項

從第二項開始，每個奇數(shù)項的平方都比前后兩項之積多1，每個偶數(shù)項的平方都比前后兩項之積少1。 如：第二項1的平方比它的前一項1和它的后一項2的積2少1，第三項2的平方比它的前一項1和它的后一項3的積3多1。 （注：奇數(shù)項和偶數(shù)項是指項數(shù)的奇偶，而并不是指數(shù)列的數(shù)字本身的奇偶，比如從數(shù)列第二項1開始數(shù)，第4項5是奇數(shù)，但它是偶數(shù)項，如果認(rèn)為5是奇數(shù)項，那就誤解題意，怎么都說不通） 證明經(jīng)計算可得：[f(n)]^2-f(n-1)f(n+1)=(-1)^(n-1)

與集合子集

斐波那契數(shù)列的第n+2項同時也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相鄰正整數(shù)的子集個數(shù)。

求和

證明： 當(dāng)n=0時，有f(0) = f(0 + 2) - 1 = f(2) - 1,顯然成立。 假設(shè)當(dāng)n=k(k>=0且k為整數(shù))時，等式成立，則有 f(0)+f(1)+f(2)+....+f(k)=f(k+2)-1，兩邊同時加上f(k+1),得 f(0)+f(1)+f(2)+....+f(k)+f(k+1)=f(k+2)+f(k+1)-1=f(k+3)-1 則此時n=k+1時，等式成立 綜上，等式成立

隔項關(guān)系

f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1，且n≥1]

兩倍項關(guān)系

f(2n)/f(n)=f(n-1)+f(n+1) 與組合數(shù)關(guān)系

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