數(shù)學(xué)美的哲學(xué)斷想 數(shù)學(xué)中處處蘊涵著美——形式的美與內(nèi)容的美，內(nèi)隱的美與外顯的美，婉約的美與奇異的美，獨立的美與統(tǒng)一的美，這些美自然而不矯作，高貴而不俗庸，沉穩(wěn)而不浮躁，冷峻中不失靈動，奇異中又不乏和諧，這些美反映了一種自然的秩序與規(guī)律，同時也更加彰顯了人的最深層次的本質(zhì)力量對象化的外部結(jié)果。如果將彪炳史冊的數(shù)學(xué)大家們比作美的締造者與傳播者，我想，這一點也不為過。這是因為，在他們深沉的筆觸之下所流淌出來的和諧而雋永的數(shù)學(xué)樂章，歷久彌新，時刻能讓后學(xué)者感受到……

　　一組精要的數(shù)學(xué)符號，一個簡單的數(shù)學(xué)公式，一條言簡深邃的數(shù)學(xué)定理，一種精彩絕倫的數(shù)學(xué)構(gòu)想……，無不閃現(xiàn)著這些數(shù)學(xué)巨人們思想深處那汩汩不息的美感之源所散發(fā)出的激情與脈動，其升騰出的美的氤氳，籠罩著一種思維上的靈逸和深遠，帶給人們一絲迷醉其中的淡淡情愫。拉丁格言說得好：“美是真理的光輝。”如果將這句話投射在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，我想，大量的事例都可印證其簡約的表述之下所蘊涵的深遠意境。但從更廣泛的意義看，美又何嘗不是一種力量，一種蓄以待發(fā)的、存乎自然與人最深處的追求本真的力量，一種屬性固有與理性追求的完美統(tǒng)一。不難體會到，數(shù)學(xué)的美——一種獨特的、兼具震撼力的美，本質(zhì)上包含了兩個側(cè)面的含義：主觀意義上的數(shù)學(xué)美與客觀意義上的數(shù)學(xué)美，即數(shù)學(xué)美既是一種人的能動的主觀感受與思維表達，又是內(nèi)蘊于客觀世界的現(xiàn)實存在。從這兩個側(cè)面出發(fā)，以一種全面、深刻、辯證的數(shù)學(xué)美學(xué)認識為基礎(chǔ)，站在哲學(xué)平臺上，對數(shù)學(xué)美的本質(zhì)做進一步的剖析與探討工作，既有理論的完善意義，又具有數(shù)學(xué)美育實踐的指導(dǎo)與促進意義。鑒于此，筆者拙筆寫下了這篇斷想。

　　1 數(shù)學(xué)美的存在性——客觀世界的反映

　　在客觀世界紛繁蕪雜的各種變化與現(xiàn)象中，時刻貫穿、孕育著各種各樣的美。美是雜亂中的秩序，是變化中的規(guī)律。美是客觀世界的本質(zhì)屬性，是引領(lǐng)整個客觀世界向前發(fā)展的內(nèi)在動力。數(shù)學(xué)美作為科學(xué)美的重要方面，就是對自然界中客觀存在的秩序與規(guī)律從數(shù)與形的角度給予反映和揭示。具體來說，對于美的存在性，我們可以從兩個方面來認識與考察。

　　首先，客觀世界中處處滲透與體現(xiàn)著數(shù)學(xué)美，數(shù)學(xué)美是對客觀世界內(nèi)在規(guī)律的反映。對于數(shù)學(xué)美與客觀世界之間的相互聯(lián)系，其實早在古希臘時期，畢達哥拉斯學(xué)派就開始著手研究。畢氏學(xué)派在研究音樂樂理的諧音與天體運行的軌道時，發(fā)現(xiàn)二者在數(shù)量關(guān)系上都滿足整數(shù)比，從而就此得出結(jié)論“宇宙間萬物的總規(guī)律，其本質(zhì)就是數(shù)的嚴整性和和諧性”，“美是和諧與比例”。在這樣的認識基礎(chǔ)上，畢氏學(xué)派試圖從數(shù)和數(shù)的比例中求得美和美的形式，并終于從五角星形中發(fā)現(xiàn)了“黃金分割”，進而得到黃金比。這是數(shù)學(xué)美學(xué)認識史上的一大突破。從古希臘到現(xiàn)在，黃金比在各種造型藝術(shù)中都有著重要的美學(xué)價值�，F(xiàn)代科學(xué)研究甚至表明，黃金比在現(xiàn)代最優(yōu)化理論中也有著應(yīng)用價值，如優(yōu)選法中的0.618法。即使在現(xiàn)代醫(yī)學(xué)保健領(lǐng)域中，都可以處處感受到它的存在與神奇。最令人驚奇的是，很多生物的形體比例也是等于黃金比。難道它們都懂得優(yōu)選法，自覺采用黃金比？不！這只能證明美學(xué)家的斷言：“美是一切事物生存和發(fā)展的本質(zhì)特征。”

　　其次，溯源于客觀世界的數(shù)學(xué)理論內(nèi)部也充滿著數(shù)學(xué)美。這種美本質(zhì)上間接地表征了客觀世界的固有規(guī)律。徐利治教授曾說過：“作為科學(xué)語言的數(shù)學(xué)、具有一般語言文學(xué)與藝術(shù)所共有的美的特點，即數(shù)學(xué)在其內(nèi)容結(jié)構(gòu)和方法上也都具有自身的某種美……如數(shù)學(xué)概念的簡單性、統(tǒng)一性，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性、對稱性，數(shù)學(xué)命題與數(shù)學(xué)模型的概括性、典型性和普遍性，還有數(shù)學(xué)中的奇異美等�！惫糯�哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家普洛克拉斯甚至斷言：“哪里有數(shù)，哪里就有美�！钡拇_，數(shù)學(xué)中美的例子可謂俯拾即是。例如，皮亞諾算術(shù)公理系統(tǒng)，就是邏輯結(jié)構(gòu)簡單美的典范；希爾伯特以非構(gòu)造方法成功解決了代數(shù)不變量理論中的戈丹問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)方法的簡單美；代數(shù)中的共扼根式、共扼復(fù)數(shù)、對稱多項式、對稱矩陣等。幾何中的軸對稱、中心對稱、鏡面對稱等，都表現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的對稱美；運算、變換、函數(shù)，這三個分別隸屬代數(shù)、幾何、分析等不同數(shù)學(xué)分支的重要概念。在集合論建立之后，便可以統(tǒng)一于映射的概念，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的統(tǒng)一美……。近代科學(xué)家開普勒更是一針見血地指出：“數(shù)學(xué)是這個世界之美的原型�！毖院喴赓W、意蘊深遠的一句話，給人以深刻的思想啟迪。

　　2數(shù)學(xué)美的獨特性——內(nèi)隱而深邃的理智美與理性精神

　　英國著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家羅素曾經(jīng)這樣描述過數(shù)學(xué)的美：“數(shù)學(xué)，如果正確地看它，不但擁有真理，而且也具有至高的美，正象雕刻的美，是一種冷而嚴肅的美、這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或音樂那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達到嚴格的只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完滿的境地。”羅素的這番精彩論述以“冷而嚴肅”“純凈”“崇高”“嚴格”“完滿的境地”等字眼來形容數(shù)學(xué)的美，辭藻華麗且思想深刻，將數(shù)學(xué)美的與眾不同淋漓盡致地展現(xiàn)在人們面前，再進一步看，正如前面所論述的數(shù)學(xué)美的本質(zhì)包含了兩個側(cè)面（主觀意義和客觀意義）。因此，從主觀與客觀及其相互聯(lián)系統(tǒng)一的角度來研究數(shù)學(xué)美的獨特性，必然會有助于我們更好地去理解與認識數(shù)學(xué)美的內(nèi)在本質(zhì)。

　　第一，數(shù)學(xué)的美是內(nèi)在的美、隱蔽的美、深邃的美，美在數(shù)學(xué)思想內(nèi)部，數(shù)學(xué)美是客觀規(guī)律的反映，但這種反映不是像照鏡子那樣直接反映，而是人的能動反映，是自然社會化的結(jié)果，是人的本質(zhì)力量對象化的結(jié)果。它所反映的不單純是客觀事物，而是融合了人的思維創(chuàng)造。因此，要領(lǐng)悟數(shù)學(xué)美必須透過，“抽象、枯燥”的符號、公式及定理等洞察其內(nèi)部的數(shù)學(xué)思想：比如愛因斯坦創(chuàng)立的相對論可謂內(nèi)容豐富之極，但如果用式子表示的話，卻極其簡單：

　　E=mc[2],P=mv(E為能量，P為動量，m為質(zhì)量，c為真空中的光速）并非所有人都能意識到其中的美。其實，這兩個公式代表了愛因斯坦對人類貢獻的精華，它們深刻地揭示了微觀、宏面、宇觀的無數(shù)質(zhì)能變化現(xiàn)象的規(guī)律，但式子卻非常簡單。其用字之少，內(nèi)容之豐富，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡單美。再比如，數(shù)學(xué)家們把等式e[πi]+1=0視為最優(yōu)美的公式，美在哪里？其實，這個式子將算術(shù)中的"1""0"，代數(shù)中的"i"，幾何中的“π”，分析中的"e"神奇地統(tǒng)一在了一起，即它們相會于天橋：e[iθ]=cosθ+isinθ（在該式中令θ=π就可得到上式），它溝通了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。

　　第二，從價值追求的角度看，數(shù)學(xué)美實質(zhì)上體現(xiàn)了人的審美精神，這種精神說到底是一種理性的精神，恰恰是這種精神，“使得人類的思想得以運用到非常完善至美的程度”，即“完滿的境地”；正是這種精神，“從一定程度上影響人類的物質(zhì)、道德和社會生活，以試圖回答有關(guān)人類自身提出的一些問題”；正是這種精神，“使得人們能盡可能地去理解、了解、控制自然，掌握客觀世界的規(guī)律”；正是這種精神，“使人們有可能去探求和確立已經(jīng)獲得的知識的最深刻的、最完美的學(xué)科內(nèi)涵”，并使之“純凈到崇高的地步”。這是筆者從羅素的論述中感悟到的數(shù)學(xué)美的精神層面的獨特內(nèi)涵。

　　3 數(shù)學(xué)美的驅(qū)動性——個人創(chuàng)新與數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)部動力

　　對于數(shù)學(xué)美的追求歷來是科學(xué)家進行發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新的重要內(nèi)部驅(qū)動力。阿達瑪與彭加勒都曾從心理學(xué)角度闡釋美與發(fā)明創(chuàng)造之間的關(guān)系。他們認為，創(chuàng)造的本質(zhì)就是做出選擇，就是要拋棄不合適的方案，保留合適的方案，而支配這種選擇的正是科學(xué)美感。正如阿達瑪所說的：“科學(xué)美感，這種特殊的美感，是我們必須信任的向?qū)�，”因為，“唯有美感能預(yù)示將來的研究結(jié)果是否會富有成果�！睌�(shù)學(xué)史的研究表明，希臘幾何學(xué)家之所以研究橢圓，可以說除了美感之外，再沒有什么其他動力了。著名物理學(xué)家麥克斯韋在沒有任何實驗依據(jù)的情況之下，僅從數(shù)學(xué)美的考慮出發(fā)，將實驗得出的電磁理論方程重新改寫，以求得方程形式上的對稱優(yōu)美。令人驚異的是，改寫的方程競被后來的實驗證實了，而且利用方程還可推導(dǎo)出一系列令人陶醉的結(jié)果，電磁理論決定性的一步就這樣跨出了。這不能不讓人相信美的確具有如此巨大的推動力與支配力。誠如愛因斯坦所言：“照亮我的道路，并且不斷地給我新的勇氣去愉快地正視生活的理想，是善、美和真�！笔聦嵣�，愛因斯坦所提出的科學(xué)思想，有很多是出于美學(xué)而不是邏輯的考慮。他對實驗和理論不相符的憂慮，甚至遠遠不及對基本原理的不簡潔、不和諧所引起的憂慮，而這正是刺激他的思想的源泉。

　　從廣泛的意義上看，對數(shù)學(xué)美的追求也在不斷推動整個數(shù)學(xué)向前發(fā)展，數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史不啻是一部追求數(shù)學(xué)美的前進史。比如，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中，數(shù)學(xué)家們堅持不懈地追求數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性，從而相繼誕生出三部數(shù)學(xué)巨著：歐幾里德的《幾何原本》，羅素與懷德海合著的《數(shù)學(xué)原理》，布爾巴基學(xué)派的《數(shù)學(xué)原本》。再如，出于邏輯簡單性的考慮，數(shù)學(xué)家們很早就對歐氏平行公理的自明性和獨立性產(chǎn)生懷疑，經(jīng)過幾個世紀的研究，最終導(dǎo)致非歐幾何的建立。此外，對于奇異性的追求也同樣推動了數(shù)學(xué)發(fā)展，對此，哥德爾不完備定理的提出可以說是一個極好的例子，紐曼和耐格爾曾把這一定理稱為“數(shù)學(xué)與邏輯學(xué)發(fā)展史中的里程碑”。著名物理學(xué)家惠勒則更認為：“即使到了公元5000年，如果宇宙仍然存在，知識也仍然放射出光芒的話，人們就將仍把哥德爾的工作……看成一切知識的中心�！�

　　綜上所述，無論是對個人的創(chuàng)新，還是對數(shù)學(xué)科學(xué)的整體發(fā)展，數(shù)學(xué)美的推動作用都是毋庸質(zhì)疑的。從本質(zhì)上說，對于統(tǒng)一性、簡單性、奇異性的追求過程就是個人與群體認識不斷深化和發(fā)展的過程。正如鄭額信教授所說：“無論是對于統(tǒng)一性、簡單性、奇異性或抽象性的追求，事實上都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)家的這樣一種特性：他們永不滿足于已取得的成果，而總是希望能獲得更深刻、更全面、更正確的認識。因此，他們總是希望能將復(fù)雜的東西予以簡單化，將分散、零亂的東西予以統(tǒng)一，也總是希望能開拓新的研究領(lǐng)域……正是在這樣的過程中，數(shù)學(xué)家們感受到了數(shù)學(xué)的美，而這事實上也就是認識不斷得到發(fā)展和深化的過程�！�

　　4 數(shù)學(xué)美的甄別性——評價數(shù)學(xué)理論的重要標準之一

　　古往今來的很多數(shù)學(xué)家、科學(xué)家都將數(shù)學(xué)美視作衡量自己或他人研究成果的重要評價尺度之一。數(shù)學(xué)美猶如一個篩子，數(shù)學(xué)家們利用這個篩子對理論中的各種因素做總體上的甄別與評判，剔除丑陋保留美好，力圖最終獲得“美”與“真”的完美統(tǒng)一。著名數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼就曾說過：“我認為數(shù)學(xué)家無論是選擇題材還是判斷成功的標準，主要都是美學(xué)的�！饼嬁ㄈR則更明確地說：“數(shù)學(xué)家們非常重視他們的方法和理論是否優(yōu)美，這并非華而不實的作風(fēng)……一個解答、一個證明的和諧、對稱以及恰到好處的平衡……能使我們對整體以及細節(jié)都能有清楚的認識和理解，這正是產(chǎn)生偉大成果的地方�！�

　　數(shù)學(xué)家與科學(xué)家們之所以如此看重數(shù)學(xué)美，就是因為數(shù)學(xué)美的甄別性在一定程度上為該理論的發(fā)展前景作出了預(yù)測，同時也在一定程度上為科學(xué)家們的工作指明了方向。如眾所知，概率論的產(chǎn)生始于17世紀，在當(dāng)時，由于人們對概率概念所存有的不同理解，所以建立的理論體系也不完全一樣。在這些理論體系中，最迷人的是前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫建立在公理集合論上的測度論的概率論。以數(shù)學(xué)美的標準來評價，柯氏的理論體系，無疑極大地顯示了數(shù)學(xué)的簡單美與統(tǒng)一美，不僅對論述無限隨機實驗序列或一般的隨機過程給出了足夠的邏輯基礎(chǔ)，而且應(yīng)用于統(tǒng)計學(xué)也很方便。歷史的發(fā)展充分地證明了，在這些理論中，惟有柯氏的概率論不斷得到進一步發(fā)展，而且后來還產(chǎn)生了不少新的分支。正如Nobel物理學(xué)獎獲得者狄拉克所言：“一種理論如果是正確的，它就應(yīng)該是美的，一種美的理論有普適性，它有能力預(yù)言、解釋、提供范例，可用它來進行工作，因而數(shù)學(xué)美能激起人們的熱情，對它的追求就好像是一種信仰行為……數(shù)學(xué)美是對理論具有決定取舍作用的一個準則�！�

　　5 數(shù)學(xué)美的層次性——主觀客觀彼此交融的重要特征之一

　　根據(jù)前面的分析，數(shù)學(xué)美的本質(zhì)體現(xiàn)在兩個側(cè)面，即它既是一種客觀世界的本質(zhì)屬性，又是人對于這種本質(zhì)屬性的主觀認識與感受，且二者之間是辯證的融合。站在這樣的一種辨證的數(shù)學(xué)美的本質(zhì)觀（數(shù)學(xué)的主觀美、客觀美及其你中有我、我中有你）平臺上，筆者認為，從客體作用于主體的角度考察，客觀世界存在的各種數(shù)學(xué)美的外部呈現(xiàn)與反映體現(xiàn)出典型的層次性特征。從本質(zhì)上說，這種美的層次性特征既表達了客體美對人的感官、思維的沖擊上的層次差異性，又體現(xiàn)了個體對數(shù)學(xué)美的主觀認識上的階段性與發(fā)展性。張猷宙和木振武兩位教授可謂對這一課題做了獨特而深入的研究，他們結(jié)合數(shù)學(xué)美育，從主觀認識與客觀反映之間辨證聯(lián)系的角度出發(fā)，提出了數(shù)學(xué)美的四個層次：美觀、美好、美妙、完美，并以此為基點，探究優(yōu)化課堂教學(xué)的策略與構(gòu)想。在此，筆者相信，對該課題的研究將會是繼續(xù)深入、不斷完善的。

　　6 結(jié)束語

　　在教育部剛剛制定并頒布的《數(shù)學(xué)課程標準》中，有關(guān)數(shù)學(xué)美的要求已開始有所涉及，這反應(yīng)了一種趨勢，即數(shù)學(xué)美育在數(shù)學(xué)教學(xué)中的比重將逐漸加大。

[數(shù)學(xué)美的哲學(xué)斷想是什么]