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高一數(shù)學期末考試題及答案(3)
∴學生注意力不低于55的持續(xù)時間為 ﹣ = <10.
∴老師能不能在學生一直達到所需注意力的狀態(tài)下講完這道題.
【點評】本題考查了分段函數(shù)的應用,分類討論思想.屬于基礎題.
21.設f(x)=mx2+(m+4)x+3.
(1)試確定m的值,使得f(x)有兩個零點,且f(x)的兩個零點的差的絕對值最小,并求出這個最小值;
(2)若m=﹣1時,在[0,λ](λ為正常數(shù))上存在x使f(x)﹣a>0成立,求a的取值范圍.
【分析】(1)f(x)為二次函數(shù),令△>0得出m的取值范圍,根據根與系數(shù)得關系用m表示兩根的絕對值,求出新函數(shù)的最小值即可.
(2)求出f(x)在[0,λ]上的最大值fmax(x),則a
【解答】解:(1)∵f(x)有兩個零點,∴ ,解得m≠0.
設f(x)的兩個零點為x1,x2,則x1+x2=﹣ ,x1x2= .
∴|x1﹣x2|2=(x1+x2)2﹣4x1x2=( )2﹣ = ﹣ +1=16( ﹣ )2+ .
∴當m=8時,∴|x1﹣x2|2取得最小值 .∴|x1﹣x2|的最小值為 .
(2)當m=﹣1時,f(x)=﹣x2+3x+3,f(x)的對稱軸為x= .
、偃0 ,則fmax(x)=f(λ)=﹣λ2+3λ+3,
②若 ,則fmax(x)=f( )= .
∵在[0,λ](λ為正常數(shù))上存在x使f(x)﹣a>0成立,∴a
綜上,當0 時,a的取值范圍是(﹣∞,﹣λ2+3λ+3);
當 時,a的取值范圍是(﹣∞, ).
【點評】本題考查了二次函數(shù)的零點個數(shù)與系數(shù)的關系,二次函數(shù)的單調性與最值,屬于中檔題.
22.定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M,都有f(x)≥M成立,則稱f(x)是D上的有下界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的一個下界.已知函數(shù)f(x)= (a>0).
(1)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù),求a的值;
(2)求函數(shù)f(x)在[lna,+∞)上所有下界構成的集合.
【分析】(1)根據函數(shù)奇偶性的定義求出a的值即可;
(2)通過定義證明函數(shù)f(x)在區(qū)間[lna,+∞)上是增函數(shù),求出函數(shù)的最小值,從而求出滿足條件的集合即可.
【解答】解:(1)函數(shù)f(x)= (a>0)是R上的偶函數(shù),f(﹣x)=f(x),
即 (ex﹣e﹣x)=a( ﹣ )=a(ex﹣e﹣x)在R恒成立,
∴ =a,解得:a=1,(a>0),
(2)在[lna,+∞)上任取x1,x2,且x1
f(x1)﹣f(x2)= ( ﹣ )﹣a =( ﹣ ) ,
∵y=ex是增函數(shù),lna≤x1
∴ ﹣ <0,∴x1+x2>2lna=lna2,
∴ > =a2,∴ ﹣a2>0,
∵a >0,
∴f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)
∴函數(shù)f(x)在[lna,+∞)上是增函數(shù),
∴f(x)min=f(lna)= + =2,
∴函數(shù)f(x)在[lna,+∞)上所有下界構成的集合是(﹣∞,2].
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