關(guān)于數(shù)學(xué)建�？偨Y(jié)一

　　經(jīng)過這段時間的學(xué)習(xí)，了解了更多的關(guān)于這門學(xué)科的知識，可以說是見識了很多很多，作為一個數(shù)學(xué)系的學(xué)生，一直都有一個疑問，數(shù)學(xué)的應(yīng)用在那里。對了，就在這里，在這里，我看到了很多，也學(xué)到了很多，關(guān)于各個學(xué)科，各個領(lǐng)域，都少不了數(shù)學(xué)，都是用建模的思想，來解決實(shí)際問題，很神奇。

　　數(shù)學(xué)建模給了我很多的感觸：它所教給我們的不單是一些數(shù)學(xué)方面的知識，更多的其實(shí)是綜合能力的培養(yǎng)、鍛煉與提高。它培養(yǎng)了我們?nèi)�面、多角度考慮問題的能力，使我們的邏輯推理能力和量化分析能力得到很好的鍛煉和提高。它還讓我了解了多種數(shù)學(xué)軟件，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件對模型進(jìn)行求解。

　　數(shù)學(xué)模型主要是將現(xiàn)實(shí)對象的信息加以翻譯，歸納的產(chǎn)物。通過對數(shù)學(xué)模型的假設(shè)、求解、驗(yàn)證，得到數(shù)學(xué)上的解答，再經(jīng)過翻譯回到現(xiàn)實(shí)對象，給出分析、決策的結(jié)果。其實(shí)，數(shù)學(xué)建模對我們來說并不陌生，在我們的日常生活和工作中，經(jīng)常會用到有關(guān)建模的概念。例如，我們平時出遠(yuǎn)門，會考慮一下出行的路線，以達(dá)到既快速又經(jīng)濟(jì)的目的；一些廠長經(jīng)理為了獲得更大的利潤，往往會策劃出一個合理安排生產(chǎn)和銷售的最優(yōu)方案這些問題和建模都有著很大的聯(lián)系。而在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練以前，我們面對這些問題時，解決它的方法往往是一種習(xí)慣性的思維方式，只知道該這樣做，卻不很清楚為什么會這樣做，現(xiàn)在，我們這種陳舊的思考方式己經(jīng)在被數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練中培養(yǎng)出的多角度、層次分明、從本質(zhì)上區(qū)分問題的新穎多維的思考方式所替代。這種凝聚了許多優(yōu)秀方法為一體的思考方式一旦被你把握，它就轉(zhuǎn)化成了你自身的素質(zhì)，不僅在你以后的學(xué)習(xí)工作中繼續(xù)發(fā)揮作用，也為你的成長道路印下了閃亮的一頁。

　　數(shù)學(xué)建模所要解決的問題決不是單一學(xué)科問題，它除了要求我們有扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識外，還需要我們不停地去學(xué)習(xí)和查閱資料，除了我們要學(xué)習(xí)許多數(shù)學(xué)分支問題外，還要了解工廠生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)投資、保險(xiǎn)事業(yè)等方面的知識，這些知識決不是任何專業(yè)中都能涉獵得到的。它能極大地拓寬和豐富我們的內(nèi)涵，讓我們感到了知識的重要性，也領(lǐng)悟到了“學(xué)習(xí)是不斷發(fā)現(xiàn)真理的過程”這句話的真諦所在，這些知識必將為我們將來的學(xué)習(xí)工作打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。從現(xiàn)在我們的學(xué)習(xí)來看，我們都是直接受益者。就拿數(shù)學(xué)建模比賽寫的論文來說。原本以為這是一件很簡單的事，但做起來才發(fā)覺事情并沒有想象中的簡單。因?yàn)橐�解決問題，憑我們現(xiàn)有的知識根本不夠。于是，自己必須要充分利用圖書館和網(wǎng)絡(luò)的作用，查閱各種有關(guān)資料，以盡量獲得比較全面的知識和信息。在這過程中，對自己眼界的開闊，知識的擴(kuò)展無疑大有好處，各學(xué)科的交叉滲透更有利于自己提高解決復(fù)雜問題的能力。毫不夸張的說，建模過程挖掘了我們的潛能，使我們對自己的能力有了新的認(rèn)識，特別是自學(xué)能力得到了極大的提高，而且思想的交鋒也迸發(fā)出了智慧的火花，從而增加了繼續(xù)深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動性和積極性。再次，數(shù)學(xué)建模也培養(yǎng)了我們的概括力和想象力，也就是要一眼就能抓住問題的本質(zhì)所在。我們只有先對實(shí)際問題進(jìn)行概括歸納，同時在允許的情況下盡量忽略各種次要因素，緊緊抓住問題的本質(zhì)方面，使問題盡可能簡單化，這樣才能解決問題。其實(shí)，在我們做論文之前，考慮到的因素有很多，如果把這一系列因數(shù)都考慮的話，將會花費(fèi)更多的時間和精神。因此，在我們考慮一些因素并不是本質(zhì)問題的時候，我就將這些因數(shù)做了假設(shè)以及在模型的推廣時才考慮。這就使模型更加合理和理想。數(shù)學(xué)建模還能增強(qiáng)我們的抽象能力以及想象力。對實(shí)際問題再進(jìn)行“翻譯”，即進(jìn)行抽象，要用我們熟悉的數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)公式將它

　　們準(zhǔn)確的表達(dá)出來。

　　下面用一個具體的實(shí)例，來介紹建模的具體應(yīng)用：

　　傳染病問題的研究

　　一﹑模型假設(shè)

　　1.在疾病傳播期內(nèi)所考察的地區(qū)范圍不考慮人口的出生、死亡、流動等種群動力因素�？�?cè)丝跀?shù)N(t)不變，人口始終保持一個常數(shù)N。人群分為以下三類：易感染者(Susceptibles)，其數(shù)量比例記為s(t)，表示t時刻未染病但有可能被該類疾病傳染的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例；感染病者(Infectives)，其數(shù)量比例記為i(t)，表示t時刻已被感染成為病人而且具有傳染力的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例；恢復(fù)者(Recovered)，其數(shù)量比例記為r(t)，表示t時刻已從染病者中移出的人數(shù)（這部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有傳染性，也不會再次被感染，他們已退出該傳染系統(tǒng)。）占總?cè)藬?shù)的比例。

　　2.病人的日接觸率（每個病人每天有效接觸的平均人數(shù)）為常數(shù)λ，日治愈率（每天被治愈的病人占總病人數(shù)的比例）為常數(shù)μ，顯然平均傳染期為1／μ，傳染期接觸數(shù)為σ=λ／μ。該模型的缺陷是結(jié)果常與實(shí)際有一定程度差距，這是因?yàn)槟Ｐ椭屑僭O(shè)有效接觸率傳染力是不變的。

　　二﹑模型構(gòu)成

　　在以上三個基本假設(shè)條件下，易感染者從患病到移出的過程框圖表示如下：

　　在假設(shè)1

　　s(t) + i(t) + r(t) = 1

　　對于病愈免疫的移出者的數(shù)量應(yīng)為

　　NdrNi dt

　　不妨設(shè)初始時刻的易感染者，染病者，恢復(fù)者的比例分別為s0（s0＞0），i0（i0＞0），r0=0. SIR基礎(chǔ)模型用微分方程組表示如下：

　　didtsii

　　dssi

　　dt

　　drdti

　　s(t) ， i(t)的求解極度困難，在此我們先做數(shù)值計(jì)算來預(yù)估計(jì)s(t) ， i(t)的一般變化規(guī)律。

　　三﹑數(shù)值計(jì)算

　　在方程（3）中設(shè)λ=1，μ=0.3，i（0）= 0.02，s（0）=0.98，用MATLAB軟件編程： function y=ill(t,x)

　　a=1;b=0.3;

　　y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2)];

　　ts=0:50;

　　x0=[0.20,0.98];

　　[t,x]=ode45(ill,ts,x0);

　　四﹑相軌線分析

　　我們在數(shù)值計(jì)算和圖形觀察的基礎(chǔ)上，利用相軌線討論解i（t）,s（t）的性質(zhì)。

　　D = ｛（s，i）| s≥0，i≥0 ， s + i ≤1｝

　　在方程（3）中消去dt并注意到σ的定義，可得

　　di11i|ss0i0（5） dssσ

　　所以：diis111ds di1ds（6） i0s0sσsσ

　　利用積分特性容易求出方程(5)的解為：i(s0i0)s1

　　lns （7） s0

　　在定義域D內(nèi),(6)式表示的曲線即為相軌線,如圖3所示.其中箭頭表示了隨著時間t的增加

　　s(t)和i(t)的變化趨向

　　下面根據(jù)(3),(17)式和圖9分析s(t),i(t)和r(t)的變化情況(t→∞時它們的極限值分別記作s, i和r).

　　1. 不論初始條件s0,i0如何,病人消失將消失,即：i00

　　2.最終未被感染的健康者的比例是 ,在(7)式中令i=0得到, 是方程

　　s0i0s1

　　lns0 s0

　　在(0,1/σ)內(nèi)的根.在圖形上 是相軌線與s軸在(0,1/σ)內(nèi)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

　　3.若s0>1/σ,則開始有di1d11o，i(t)先增加, 令i1=0，可得當(dāng)dssσdssσ

　　s=1/σ時,i(t)達(dá)到最大值：

　　1ims0i01lns0)

　　然后s<1/σ時，有di11o ，所以i(t)減小且趨于零,s(t)則單調(diào)減小至s,dssσ

　　如圖3中由P1(s0，i0)出發(fā)的軌線

　　4.若s0 1/σ,則恒有di110，i(t)單調(diào)減小至零,s(t)單調(diào)減小至s,如圖3dssσ

　　中由P2(s0,i0)出發(fā)的軌線

　　可以看出,如果僅當(dāng)病人比例i(t)有一段增長的時期才認(rèn)為傳染病在蔓延,那么1/σ是一個閾值,當(dāng)s0>1/σ(即σ>1/s0)時傳染病就會蔓延.而減小傳染期接觸數(shù)σ,即提高閾值1/σ使得s0≤1/σ(即σ ≤1/s0),傳染病就不會蔓延(健康者比例的初始值s0是一定的,通�？�

　　認(rèn)為s0接近1)。

　　并且,即使s0>1/σ,從(19),(20)式可以看出, σ減小時, s增加(通過作圖分析), im降低,也控制了蔓延的程度.我們注意到在σ=λμ中,人們的衛(wèi)生水平越高,日接觸率λ越小;醫(yī)療水平越高,日治愈率μ越大,于是σ越小,所以提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有助于控制傳染病的蔓延.

　　從另一方面看, ss1/是傳染期內(nèi)一個病人傳染的健康者的平均數(shù),稱為交換數(shù),其含義是一病人被s個健康者交換.所以當(dāng) s01/即s01時必有 .既然交換數(shù)不超過1,病人比例i(t)絕不會增加,傳染病不會蔓延。

　　五﹑群體免疫和預(yù)防

　　根據(jù)對SIR模型的分析,當(dāng)s01/時傳染病不會蔓延.所以為制止蔓延,除了提高衛(wèi)生和醫(yī)療水平,使閾值1/σ變大以外,另一個途徑是降低s0 ,這可以通過比如預(yù)防接種使群體免疫的辦法做到.

　　忽略病人比例的初始值i0有s01r0,于是傳染病不會蔓延的條件s01/可以表為 r011

　　這就是說，只要通過群體免疫使初始時刻的移出者比例（即免疫比例）滿足（11）式，就可以制止傳染病的蔓延。

　　這種辦法生效的前提條件是免疫者要均勻分布在全體人口中，實(shí)際上這是很難做到的。據(jù)估計(jì)當(dāng)時印度等國天花傳染病的接觸數(shù) σ=5，由（11）式至少要有80%的人接受免疫才行。據(jù)世界衛(wèi)生組織報(bào)告，即使花費(fèi)大量資金提高r0，也因很難做到免疫者的均勻分布，使得天花直到1977年才在全世界根除。而有些傳染病的σ更高，根除就更加困難。

　　六﹑模型驗(yàn)證

　　上世紀(jì)初在印度孟買發(fā)生的一次瘟疫中幾

　　乎所有病人都死亡了。死亡相當(dāng)于移出傳染系統(tǒng)，有關(guān)部門記錄了每天移出者的人數(shù)，即有了

　　模型作了驗(yàn)證。

　　首先，由方程（2），（3）可以得到dr的實(shí)際數(shù)據(jù)，Kermack等人用這組數(shù)據(jù)對SIRdtdsdsisisr dtdt

　　1上式兩邊同時乘以dt可dsdr，兩邊積分得 s

　　r1srsde lns|rsrss0sr000s0s

　　所以： s(t)s0er(t) (12)

　　關(guān)于數(shù)學(xué)建模總結(jié)二

　　系 別

　　班 級

　　姓 名

　　學(xué) 號

　　教 師時 間

　　認(rèn)識學(xué)習(xí)總結(jié)

　　數(shù)學(xué)建模隨著人類的進(jìn)步，科技的發(fā)展和社會的日趨數(shù)字化，應(yīng)用領(lǐng)域越來越廣泛，人們身邊的數(shù)學(xué)內(nèi)容越來越豐富。強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用及培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)意識對推動素質(zhì)教育的實(shí)施意義十分巨大。數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)教育中的地位被提到了新的高度，通過數(shù)學(xué)建模解數(shù)學(xué)應(yīng)用題，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。

　　一、數(shù)學(xué)應(yīng)用題的特點(diǎn)

　　我們常把來源于客觀世界的實(shí)際，具有實(shí)際意義或?qū)嶋H背景，要通過數(shù)學(xué)建模的方法將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)形式表示，從而獲得解決的一類數(shù)學(xué)問題叫做數(shù)學(xué)應(yīng)用題。數(shù)學(xué)應(yīng)用題具有如下特點(diǎn)：

　　第一、數(shù)學(xué)應(yīng)用題的本身具有實(shí)際意義或?qū)嶋H背景。這里的實(shí)際是指生產(chǎn)實(shí)際、社會實(shí)際、生活實(shí)際等現(xiàn)實(shí)世界的各個方面的實(shí)際。如與課本知識密切聯(lián)系的源于實(shí)際生活的應(yīng)用題；與模向?qū)W科知識網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)有聯(lián)系的應(yīng)用題；與現(xiàn)代科技發(fā)展、社會市場經(jīng)濟(jì)、環(huán)境保護(hù)、實(shí)事政治等有關(guān)的應(yīng)用題等。

　　第二、數(shù)學(xué)應(yīng)用題的求解需要采用數(shù)學(xué)建模的方法，使所求問題數(shù)學(xué)化，即將問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)形式來表示后再求解。

　　第三、數(shù)學(xué)應(yīng)用題涉及的知識點(diǎn)多。是對綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法解決實(shí)際問題能力的檢驗(yàn)，考查的是學(xué)生的綜合能力，涉及的知識點(diǎn)一般在三個以上，如果某一知識點(diǎn)掌握的不過關(guān)，很難將問題正確解答。

　　第四、數(shù)學(xué)應(yīng)用題的命題沒有固定的模式或類別。往往是一種新穎的實(shí)際背景，難于進(jìn)行題型模式訓(xùn)練，用“題海戰(zhàn)術(shù)”無法解決變化多端的實(shí)際問題。必須依靠真實(shí)的能力來解題，對綜合能力的考查更具真實(shí)、有效性。因此它具有廣闊的發(fā)展空間和潛力。

　　二、數(shù)學(xué)應(yīng)用題如何建模

　　建立數(shù)學(xué)模型是解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)鍵，如何建立數(shù)學(xué)模型可分為以下幾個層次：

　　第一層次：直接建模。

　　根據(jù)題設(shè)條件，套用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)公式、定理等數(shù)學(xué)模型。

　　第二層次：直接建模�？衫�用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型，但必須概括這個數(shù)學(xué)模型，對應(yīng)用題進(jìn)行分析，然后確定解題所需要的具體數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)模型中所需數(shù)學(xué)量需進(jìn)一步求出，然后才能使用現(xiàn)有數(shù)學(xué)模型。

　　第三層次：多重建模。對復(fù)雜的關(guān)系進(jìn)行提煉加工，忽略次要因素，建立若干個數(shù)學(xué)模型方能解決問題。

　　第四層次：假設(shè)建模。要進(jìn)行分析、加工和作出假設(shè)，然后才能建立數(shù)學(xué)模型。如研究十字路口車流量問題，假設(shè)車流平穩(wěn)，沒有突發(fā)事件等才能建模。

　　三、建立數(shù)學(xué)模型應(yīng)具備的能力

　　從實(shí)際問題中建立數(shù)學(xué)模型，解決數(shù)學(xué)問題從而解決實(shí)際問題，這一數(shù)學(xué)全過程的教學(xué)關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)建模能力的強(qiáng)弱，直接關(guān)系到數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解題質(zhì)量，同時也體現(xiàn)一個學(xué)生的綜合能力。

　　3．1提高分析、理解、閱讀能力。

　　閱讀理解能力是數(shù)學(xué)建模的前提，數(shù)學(xué)應(yīng)用題一般都創(chuàng)設(shè)一個新的背景，也針對問題本身使用一些專門術(shù)語，并給出即時定義。如1999年高考題第22題給出冷軋鋼帶的過程敘述，給出了“減薄率”這一專門術(shù)語，并給出了即時定義，能否深刻理解，反映了自身綜合素質(zhì)，這種理解能力直接影響數(shù)學(xué)建模質(zhì)量。

　　3．2強(qiáng)化將文字語言敘述轉(zhuǎn)譯成數(shù)學(xué)符號語言的能力。

　　將數(shù)學(xué)應(yīng)用題中所有表示數(shù)量關(guān)系的文字、圖象語言翻譯成數(shù)學(xué)符號語言即數(shù)、式子、方程、不等式、函數(shù)等，這種譯釋能力是數(shù)學(xué)建成模的基礎(chǔ)性工作。 例如：一種產(chǎn)品原來的成本為a元，在今后幾年內(nèi)，計(jì)劃使成本平均每一年比上一年降低p%，經(jīng)過五年后的成本為多少

　　將題中給出的文字翻譯成符號語言，成本y=a(1-p%)5

　　3．3增強(qiáng)選擇數(shù)學(xué)模型的能力。

　　選擇數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)能力的反映。數(shù)學(xué)模型的建立有多種方法，怎樣選擇一個最佳的模型，體現(xiàn)數(shù)學(xué)能力的強(qiáng)弱。建立數(shù)學(xué)模型主要涉及到方程、函數(shù)、不等式、數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式、曲線方程等類型。結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，以函數(shù)建模為例，以下實(shí)際問題所選擇的數(shù)學(xué)模型列表：

　　函數(shù)建模類型 實(shí)際問題

　　一次函數(shù) 成本、利潤、銷售收入等

　　二次函數(shù) 優(yōu)化問題、用料最省問題、造價最低、利潤最大等

　　冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù) 細(xì)胞分裂、生物繁殖等

　　三角函數(shù) 測量、交流量、力學(xué)問題等 。

　　3．4加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

　　數(shù)學(xué)應(yīng)用題一般運(yùn)算量較大、較復(fù)雜，且有近似計(jì)算。有的盡管思路正確、建模合理，但計(jì)算能力欠缺，就會前功盡棄。所以加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算推理能力是使數(shù)學(xué)建模正確求解的關(guān)鍵所在，忽視運(yùn)算能力，特別是計(jì)算能力的培養(yǎng)，只重視推理過程，不重視計(jì)算過程的做法是不可取的。

　　數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)應(yīng)用的橋梁，研究和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型，能幫助學(xué)生探索數(shù)學(xué)的應(yīng)用，產(chǎn)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力，加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模教學(xué)與學(xué)習(xí)對學(xué)生的智力開發(fā)具有深遠(yuǎn)的意義，現(xiàn)就如何加強(qiáng)高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)談幾點(diǎn)體會。

　　一．要重視各章前問題的教學(xué)，使學(xué)生明白建立數(shù)學(xué)模型的實(shí)際意義。

　　教材的每一章都由一個有關(guān)的實(shí)際問題引入，可直接告訴學(xué)生，學(xué)了本章的教學(xué)內(nèi)容及方法后，這個實(shí)際問題就能用數(shù)學(xué)模型得到解決，這樣，學(xué)生就會產(chǎn)生創(chuàng)新意識，對新數(shù)學(xué)模型的渴求，實(shí)踐意識，學(xué)完要在實(shí)踐中試一試。

　　如新教材“三角函數(shù)”章前提出：有一塊以O(shè)點(diǎn)為圓心的半圓形空地，要在這塊空地上劃出一個內(nèi)接矩形ABCD辟為綠冊，使其冊邊AD落在半圓的直徑上，另兩點(diǎn)BC落在半圓的圓周上，已知半圓的半徑長為a，如何選擇關(guān)于點(diǎn)O對稱的點(diǎn)A、D的位置，可以使矩形面積最大？

　　這是培養(yǎng)創(chuàng)新意識及實(shí)踐能力的好時機(jī)要注意引導(dǎo)，對所考察的實(shí)際問題進(jìn)行抽象分析，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并通過新舊兩種思路方法，提出新知識，激發(fā)學(xué)生的知欲，如不可挫傷學(xué)生的積極性，失去“亮點(diǎn)”。

　　這樣通過章前問題教學(xué)，學(xué)生明白了數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)，研究和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，同時培養(yǎng)學(xué)生追求新方法的意識及參與實(shí)踐的意識。因此，要重視章前問題的教學(xué)，還可據(jù)市場經(jīng)濟(jì)的建設(shè)與發(fā)展的需要及學(xué)生實(shí)踐活動中發(fā)現(xiàn)的問題，補(bǔ)充一些實(shí)例，強(qiáng)化這方面的教學(xué)，使學(xué)生在日常生活及學(xué)習(xí)中重視數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識。

　　二．通過幾何、三角形測量問題和列方程解應(yīng)用題的教學(xué)滲透數(shù)學(xué)建模的思想與思維過程。

　　學(xué)習(xí)幾何、三角的測量問題，使學(xué)生多方面全方位地感受數(shù)學(xué)建模思想，讓學(xué)生認(rèn)識更多現(xiàn)在數(shù)學(xué)模型，鞏固數(shù)學(xué)建模思維過程、教學(xué)中對學(xué)生展示建模的如下過程：

　　現(xiàn)實(shí)原型問題

　　數(shù)學(xué)模型

　　數(shù)學(xué)抽象

　　簡化原則

　　演算推理

　　現(xiàn)實(shí)原型問題的解

　　數(shù)學(xué)模型的解

　　反映性原則

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　　列方程解應(yīng)用題體現(xiàn)了在數(shù)學(xué)建模思維過程，要據(jù)所掌握的信息和背景材料，對問題加以變形，使其簡單化，以利于解答的思想。且解題過程中重要的步驟是據(jù)題意更出方程，從而使學(xué)生明白，數(shù)學(xué)建模過程的重點(diǎn)及難點(diǎn)就是據(jù)實(shí)際問題特點(diǎn)，通過觀察、類比、歸納、分析、概括等基本思想，聯(lián)想現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型或變換問題構(gòu)造新的數(shù)學(xué)模型來解決問題。如利息（復(fù)利）的數(shù)列模型、利潤計(jì)算的方程模型決策問題的函數(shù)模型以及不等式模型等。

　　三．結(jié)合各章研究性課題的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的能力，拓展數(shù)學(xué)建模形式的多樣性式與活潑性。

　　高中新大綱要求每學(xué)期至少安排一個研究性課題，就是為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，如“數(shù)列”章中的“分期付款問題”、“平面向是章中向量在物理中的應(yīng)用”等，同時，還可設(shè)計(jì)類似利潤調(diào)查、洽談、采購、銷售等問題。設(shè)計(jì)了如下研究性問題。

　　例1根據(jù)下表給出的數(shù)據(jù)資料，確定該國人口增長規(guī)律，預(yù)測該國2000年的人口數(shù)。

　　時間(年份) 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990

　　人中數(shù)(百萬) 39 50 63 76 92 106 123 132 145

　　分析：這是一個確定人口增長模型的問題，為使問題簡化，應(yīng)作如下假設(shè)：

　�。�1）該國的政治、經(jīng)濟(jì)、社會環(huán)境穩(wěn)定；（2）該國的人口增長數(shù)由人口的生育，死亡引起；（3）人口數(shù)量化是連續(xù)的�；�于上述假設(shè)，我們認(rèn)為人口數(shù)量是時間函數(shù)。建模思路是根據(jù)給出的數(shù)據(jù)資料繪出散點(diǎn)圖，然后尋找一條直線或曲線，使它們盡可能與這些散點(diǎn)吻合，該直線或曲線就被認(rèn)為近似地描述了該國人口增長規(guī)律，從而進(jìn)一步作出預(yù)測。

　　通過上題的研究，既復(fù)習(xí)鞏固了函數(shù)知識更培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和實(shí)踐能力及創(chuàng)新意識。在日常教學(xué)中注意訓(xùn)練學(xué)生用數(shù)學(xué)模型來解決現(xiàn)實(shí)生活問題；培養(yǎng)學(xué)生做生活的有心人及生活中“數(shù)”意識和觀察實(shí)踐能力，如記住一些常用及常見的數(shù)據(jù)，如：人行車、自行車的速度，自己的身高、體重等。利用學(xué)校條件，組織學(xué)生到操場進(jìn)行實(shí)習(xí)活動，活動一結(jié)束，就回課堂把實(shí)際問題化成相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來解決。如：推鉛球的角度與距離關(guān)系；全班同學(xué)手拉手圍成矩形圈，怎樣圍使圍成的面積最大等，用磚塊搭成多米諾牌骨等。

　　四、培養(yǎng)學(xué)生的其他能力，完善數(shù)學(xué)建模思想。

　　由于數(shù)學(xué)模型這一思想方法幾乎貫穿于整個中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程之中，小學(xué)解算術(shù)運(yùn)用題中學(xué)建立函數(shù)表達(dá)式及解析幾何里的軌跡方程等都孕育著數(shù)學(xué)模型的思想方法，熟練掌握和運(yùn)用這種方法，是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)分析問題、解決問題能力的關(guān)鍵，我認(rèn)為這就要求培養(yǎng)學(xué)生以下幾點(diǎn)能力，才能更好的完善數(shù)學(xué)建模思想：

　　（1）理解實(shí)際問題的能力；

　�。�2）洞察能力，即關(guān)于抓住系統(tǒng)要點(diǎn)的能力；

　�。�3）抽象分析問題的能力；

　�。�4）“翻譯”能力，即把經(jīng)過一生抽象、簡化的實(shí)際問題用數(shù)學(xué)的語文符號表達(dá)出來，形成數(shù)學(xué)模型的能力和對應(yīng)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行推演或計(jì)算得到注結(jié)果能自然語言表達(dá)出來的能力；

　�。�5）運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力；

　　（6）通過實(shí)際加以檢驗(yàn)的能力。

　　只有各方面能力加強(qiáng)了，才能對一些知識觸類旁通，舉一反三，化繁為簡，如下例就要用到各種能力，才能順利解出。

　　數(shù)學(xué)建模隨著人類的進(jìn)步，科技的發(fā)展和社會的日趨數(shù)字化，應(yīng)用領(lǐng)域越來越廣泛，人們身邊的數(shù)學(xué)內(nèi)容越來越豐富。強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用及培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)意識對推動素質(zhì)教育的實(shí)施意義十分巨大。數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)教育中的地位被提到了新的高度，通過數(shù)學(xué)建模解數(shù)學(xué)應(yīng)用題，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。