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勾股定理的證明方法
勾股定理的證明方法。
這種證明方法由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明更加簡(jiǎn)潔，它在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話。
的平方=3的平方+4的平方
在圖一中，D ABC 為一直角三角形，其中 A 為直角。我們?cè)谶?AB、BC 和 AC 之上分別畫(huà)上三個(gè)正方形 ABFG、BCED 和 ACKH。過(guò) A 點(diǎn)畫(huà)一直線 AL 使其垂直於 DE 并交 DE 於 L，交 BC 於 M。不難證明，D FBC 全等於 D ABD(S.A.S.)。所以正方形 ABFG 的面積 = 2 D FBC 的面積 = 2 D ABD 的面積 = 長(zhǎng)方形 BMLD 的面積。類(lèi)似地，正方形 ACKH 的面積 = 長(zhǎng)方形 MCEL 的面積。即正方形 BCED 的面積 = 正方形 ABFG 的面積 + 正方形 ACKH 的面積，亦即是 AB2 + AC2 = BC2。由此證實(shí)了勾股定理。
這個(gè)證明巧妙地運(yùn)用了全等三角形和三角形面積與長(zhǎng)方形面積的關(guān)系來(lái)進(jìn)行。不單如此，它更具體地解釋了，「兩條直角邊邊長(zhǎng)平方之和」的幾何意義，這就是以 ML 將正方形分成 BMLD 和 MCEL 的兩個(gè)部分!
這個(gè)證明的另一個(gè)重要意義，是在於它的出處。這個(gè)證明是出自古希臘大數(shù)學(xué)歐幾里得之手。
歐幾里得(Euclid of Alexandria)約生於公元前 325 年，卒於約公元前 265 年。他曾經(jīng)在古希臘的文化中心亞歷山大城工作，并完成了著作《幾何原本》。《幾何原本》是一部劃時(shí)代的著作，它收集了過(guò)去人類(lèi)對(duì)數(shù)學(xué)的知識(shí)，并利用公理法建立起演繹體系，對(duì)后世數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。而書(shū)中的第一卷命題 47，就記載著以上的一個(gè)對(duì)勾股定理的證明。
圖二中，我們將4個(gè)大小相同的直角三角形放在一個(gè)大正方形之內(nèi)，留意大正方形中間的淺黃色部分，亦都是一個(gè)正方形。設(shè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)度為 c，其余兩邊的長(zhǎng)度為 a 和 b，則由於大正方形的面積應(yīng)該等於 4 個(gè)直角三角形和中間淺黃色正方形的面積之和，所以我們有
(a + b)2 = 4(1/2 ab) + c2
展開(kāi)得 a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
化簡(jiǎn)得 a2 + b2 = c2
由此得知勾股定理成立。
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