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用導(dǎo)數(shù)證明不等式
用導(dǎo)數(shù)證明不等式最基本的方法就是 將不等式的的一邊移到另一邊，然后將這個(gè)式子令為一個(gè)函數(shù) f(x). 對(duì)這個(gè)函數(shù)求導(dǎo)，判斷這個(gè)函數(shù)這各個(gè)區(qū)間的單調(diào)性，然后證明其最大值(或者是最小值)大于 0. 這樣就能說明原不等式了成立了!
1.當(dāng)x>1時(shí),證明不等式x>ln(x+1)
設(shè)函數(shù)f(x)=x-ln(x+1)
求導(dǎo)，f(x)\'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0
所以f(x)在(1，+無窮大)上為增函數(shù)
f(x)>f(1)=1-ln2>o
所以x>ln(x+1
2..證明：a-a^2>0 其中0
F(a)=a-a^2
F\'(a)=1-2a
當(dāng)00;當(dāng)1/2
因此，F(xiàn)(a)min=F(1/2)=1/4>0
即有當(dāng)00
3.x>0,證明：不等式x-x^3/6
先證明sinx
因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，sinx-x=0
如果當(dāng)函數(shù)sinx-x在x>0是減函數(shù)，那么它一定<在0點(diǎn)的值0，
求導(dǎo)數(shù)有sinx-x的導(dǎo)數(shù)是cosx-1
因?yàn)閏osx-1≤0
所以sinx-x是減函數(shù)，它在0點(diǎn)有最大值0，
知sinx
再證x-x/6
對(duì)于函數(shù)x-x/6-sinx
當(dāng)x=0時(shí)，它的值為0
對(duì)它求導(dǎo)數(shù)得
1-x/2-cosx如果它<0那么這個(gè)函數(shù)就是減函數(shù)，它在0點(diǎn)的值是最大值了。
要證x/2+cosx-1>0 x>0
再次用到函數(shù)關(guān)系，令x=0時(shí)，x/2+cosx-1值為0
再次對(duì)它求導(dǎo)數(shù)得x-sinx
根據(jù)剛才證明的當(dāng)x>0 sinx
x/2-cosx-1是減函數(shù)，在0點(diǎn)有最大值0
x/2-cosx-1<0 x>0
所以x-x/6-sinx是減函數(shù)，在0點(diǎn)有最大值0
得x-x/6
利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)單調(diào)性證明不等式X-X>0，X∈(0,1)成立
令f(x)=x-x x∈[0,1]
則f\'(x)=1-2x
當(dāng)x∈[0,1/2]時(shí),f\'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增
當(dāng)x∈[1/2,1]時(shí),f\'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減
故f(x)的最大值在x=1/2處取得，最小值在x=0或1處取得
f(0)=0,f(1)=0
故f(x)的最小值為零
故當(dāng)x∈(0,1)f(x)=x-x>0。
i、m、n為正整數(shù)，且1
求證(1+m)^n > (1+n)^m
方法一：利用均值不等式
對(duì)于m+1個(gè)數(shù)，其中m個(gè)(2+m)，1個(gè)1,它們的算術(shù)平均數(shù)大于幾何平均數(shù)，即
[(2+m)+(2+m)+...+(2+m)+1]/(m+1)>[(2+m)^m]^[1/(1+m)]
即1+m>(2+m)^[m/(1+m)]
即(1+m)^(1/m)>[1+(m+1)]^[1/(1+m)]
由此說明數(shù)列{(1+m)^(1/m)}是單調(diào)遞減的。
方法二：導(dǎo)數(shù)方法
令f(x)=(1+x)^(1/x),x>0
求導(dǎo)數(shù)
f\'(x)=(1+x)^(1/x)*[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2
為了考察f\'(x)的正負(fù)
令g(x)=x/(1+x)-ln(1+x),x>=0
g\'(x)=-x/(1+x)^2<0,x>0
因此g(x)0,亦即f\'(x)<0
因此f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減。
令A(yù)*B*C=K的3次方
求證(1+A)的-(1/2)次方 加(1+B)的-(1/2)次方 加(1+C)的-(1/2)次方 >=(1+K)的-(1/2)次方
化成函數(shù)，f(x)，求導(dǎo)，可知其單調(diào)區(qū)間，然后求最大最小值即可。
理論上所有題目都可以用導(dǎo)數(shù)做，但有些技巧要求很高。
(1+A)^-1/2+(1+B)^-1/2+(1+C)^-1/2
=(1+A)^-1/2+(1+B)^-1/2+(1+K^3/AB)^-1/2=f(A,B)
對(duì)A求導(dǎo)，f'(A,B)A=0，可得一個(gè)方程，解出即得。
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