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正弦定理證明方法
正弦定理證明方法方法1:用三角形外接圓
證明： 任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.
作直徑BD交⊙O于D. 連接DA.
因?yàn)橹睆剿鶎Φ膱A周角是直角,所以∠DAB=90度
因?yàn)橥∷鶎Φ膱A周角相等,所以∠D等于∠C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
類似可證其余兩個(gè)等式。
∴a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
方法2: 用直角三角形
證明：在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H
CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC ∴a/sinA=b/sinB=c/sinC
在直角三角形中,在鈍角三角形中(略)。
方法3：用向量
證明：記向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c ∴a+b+c=0 則i(a+b+c) =i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(C-90))+0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0 ∴a/sinA =c/sinC (b與i垂直,i·b=0)
方法4：用三角形面積公式
證明：在△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CD⊥AB垂足為點(diǎn)D，作BE⊥AC垂足為點(diǎn)E，則CD=a·sinB，BE= c sinA,由三角形面積公式得：AB·CD=AC·BE
即c·a·sinB= b·c sinA ∴a/sinA=b/sinB 同理可得b/sinB=c/sinC
∴a/sinA=b/sinB=c/sinC
用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2
COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab
SINc^2=1-COSc^2
SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2
=[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2
同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2
得證
正弦定理：三角形ABC中 BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC
證明如下：在三角形的外接圓里證明會(huì)比較方便
例如，用BC邊和經(jīng)過B的直徑BD，構(gòu)成的直角三角形DBC可以得到：
2RsinD=BC (R為三角形外接圓半徑)
角A=角D
得到：2RsinA=BC
同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB
這樣就得到正弦定理了
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一種是用三角證asinB=bsinA
用面積證
用幾何法，畫三角形的外接圓
聽說能用向量證，咋么證呢?
三角形ABC為銳角三角形時(shí)，過A作單位向量j垂直于向量AB，則j 與向量AB夾角為90，j與向量BC夾角為(90-B),j與向量CA夾角為(90+A),設(shè)AB=c,BC=a,AC=b,
因?yàn)锳B+BC+CA=0
即j*AB+J*BC+J*CA=0
|j||AB|cos90+|j||BC|cos(90-B)+|j||CA|cos(90+A)=0
所以asinB=bsinA
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用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2
COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab
SINc^2=1-COSc^2
SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2
=[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2
同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2
得證用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2 COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab SINc^2=1-COSc^2 SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2 =[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2 同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2 得證
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正弦定理
步驟1.
在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到 a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC
步驟2.
證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.
作直徑BD交⊙O于D.
連接DA.
因?yàn)橹睆剿鶎Φ膱A周角是直角,所以∠DAB=90度
因?yàn)橥∷鶎Φ腵圓周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 類似可證其余兩個(gè)等式。
余弦定理
平面向量證法：
∵如圖，有a+b=c(平行四邊形定則：兩個(gè)鄰邊之間的對角線代表兩個(gè)鄰邊大小)
∴c·c=(a+b)·(a+b)
∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)
(以上粗體字符表示向量)
又∵Cos(π-θ)=-CosC
∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ(注意：這里用到了三角函數(shù)公式)
再拆開，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
同理可證其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是將CosC移到左邊表示一下。
平面幾何證法：
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a
則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根據(jù)勾股定理可得：
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
b^2=sinB·c+a^2+cosB·c^2-2ac*cosB
b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac
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