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向量證明正弦定理
向量證明正弦定理表述：設(shè)三面角∠P-ABC的三個(gè)面角∠BPC，∠CPA，∠APB所對(duì)的二面角依次為∠PA，∠PB，∠PC，則 Sin∠PA/Sin∠BPC=Sin∠PB/Sin∠CPA=Sin∠PC/Sin∠APB。
目錄
1證明2全向量證明
證明
過(guò)A做OA⊥平面BPC于O。過(guò)O分別做OM⊥BP于M與ON⊥PC于N。連結(jié)AM、AN。 顯然，∠PB=∠AMO，Sin∠PB=AO/AM;∠PC=∠ANO，Sin∠PC=AO/AN。 另外，Sin∠CPA=AN/AP，Sin∠APB=AM/AP。 則Sin∠PB/Sin∠CPA=AO×AP/(AM×AN)=Sin∠PC/Sin∠APB。 同理可證Sin∠PA/Sin∠BPC=Sin∠PB/Sin∠CPA。即可得證三面角正弦定理。
全向量證明
如圖1，△ABC為銳角三角形，過(guò)點(diǎn)A作單位向量j垂直于向量AC，則j與向量AB的夾角為90°-A，j與向量CB的夾角為90°-C
由圖1，AC+CB=AB(向量符號(hào)打不出)
在向量等式兩邊同乘向量j,得·
j·AC+CB=j·AB
∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)
=│j││AB│cos(90°-A)
∴asinC=csinA
∴a/sinA=c/sinC
同理，過(guò)點(diǎn)C作與向量CB垂直的單位向量j，可得
c/sinC=b/sinB
∴a/sinA=b/sinB=c/sinC
2步驟1
記向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c
∴a+b+c=0
則i(a+b+c)
=i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)
=-asinC+csinA=0
接著得到正弦定理
其他
步驟2.
在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中，
b/sinB=c/sinC
步驟3.
證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.
作直徑BD交⊙O于D. 連接DA.
因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠DAB=90度
因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
類似可證其余兩個(gè)等式。
3
用向量叉乘表示面積則 s = CB 叉乘 CA = AC 叉乘 AB
=> absinC = bcsinA (這部可以直接出來(lái)哈哈，不過(guò)為了符合向量的做法)
=> a/sinA = c/sinC
2011-7-18 17:16 jinren92 | 三級(jí)
記向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,接著得到正弦定理 其他步驟2. 在銳角△ABC中，證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 任意三角形ABC,
4
過(guò)三角形ABC 的頂點(diǎn)A作BC邊上的高，垂足為D.(1)當(dāng)D落在邊BC上時(shí)，向量AB 與向量AD 的夾角為90°-B ，向量AC 與向量AD 的夾角為90°-C ，由于向量AB、向量AC 在向量AD 方向上的射影相等，有數(shù)量積的幾何意義可知 向量AB*向量AD=向量AC*向量AD即 向量AB的絕對(duì)值*向量AD的絕對(duì)值*COS(90°-B)=向量的AC絕對(duì)值*向量AD的絕對(duì)值*cos(90°-C)所以 csinB=bsinC即b/sinB=c/sinC(2)當(dāng)D落在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，同樣可以證得
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