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弦切角定理證明方法
弦切角定理證明方法(1)連OC、OA，則有OC⊥CD于點(diǎn)C。得OC‖AD，知∠OCA=∠CAD。
而∠OCA=∠OAC，得∠CAD=∠OAC。進(jìn)而有∠OAC=∠BAC。
由此可知，0A與AB重合，即AB為⊙O的直徑。
(2)連接BC，且作CE⊥AB于點(diǎn)E。立即可得△ABC為Rt△，且∠ACB=Rt∠。
由射影定理有AC=AE*AB。又∠CAD=∠CAE，AC公用，∠CDA=∠CEA，得△CEA≌△CDA，有AD=AE，所以，AC=AB*AD。
第一題重新證明如下：
首先證明弦切角定理，即有∠ACD=∠CBA 。
連接OA、OC、BC，則有
∠ACD+∠ACO=90°
=(1/2)(∠ACO+∠CAO+∠AOC)
=(1/2)(2∠ACO+∠AOC)
=∠ACO+(1/2)∠AOC,
所以∠ACD=(1/2)∠AOC，
而∠CBA=(1/2)∠AOC(同弧上的圓周角等于圓心角的一半)，
得∠ACD=∠CBA 。
另外，∠ACD+∠CAD=90°，∠CAD=∠CAB，
所以有∠CAB+∠CBA=90°，得∠BCA=90°，進(jìn)而AB為⊙O的直徑。
2
證明一：設(shè)圓心為O，連接OC，OB,。
∵∠TCB=90-∠OCB
∵∠BOC=180-2∠OCB
∴,∠BOC=2∠TCB(定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角的度數(shù)的一半)
∵∠BOC=2∠CAB(圓心角等于圓周角的兩倍)
∴∠TCB=∠CAB(定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓周角)
證明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，弧是弦切角∠BAC所夾的弧.
求證：(弦切角定理)
證明：分三種情況：
(1)圓心O在∠BAC的一邊AC上
∵AC為直徑，AB切⊙O于A，
∴弧CmA=弧CA
∵為半圓,
∴∠CAB=90=弦CA所對的圓周角 (2)圓心O在∠BAC的內(nèi)部.
過A作直徑AD交⊙O于D,
若在優(yōu)弧m所對的劣弧上有一點(diǎn)E
那么，連接EC、ED、EA
則有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB
∴ ∠CEA=∠CAB
∴ (弦切角定理)
(3)圓心O在∠BAC的外部,
過A作直徑AD交⊙O于D
那么 ∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90
∴∠CDA=∠CAB
∴(弦切角定理)
編輯本段弦切角推論
推論內(nèi)容
若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個(gè)弦切角也相等
應(yīng)用舉例
例1：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB為弦的⊙O與AC相切于點(diǎn)A，∠CBA=60° , AB=a 求BC長.
解：連結(jié)OA，OB.
∵在Rt△ABC中, ∠C=90
∴∠BAC=30°
∴BC=1/2a(RT△中30°角所對邊等于斜邊的一半)
例2：如圖，AD是ΔABC中∠BAC的平分線，經(jīng)過點(diǎn)A的⊙O與BC切于點(diǎn)D，與AB，AC分別相交于E，F(xiàn).
求證：EF∥BC.
證明：連DF.
AD是∠BAC的平分線∠BAD=∠DAC
∠EFD=∠BAD
∠EFD=∠DAC
⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC
∠EFD=∠FDC
EF∥BC
例3：如圖，ΔABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O直徑，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，
求證：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.
證明：∵AB是⊙O直徑
∴∠ACB=90
∵CD⊥AB
∴∠ACD=∠B，
∵M(jìn)N切⊙O于C
∴∠MCA=∠B，
∴∠MCA=∠ACD，
即AC平分∠MCD，
同理：BC平分∠NCD.
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