弦切角定理證明

弦切角定理證明

弦切角定理

編輯本段弦切角定義

頂點在圓上，一邊和圓相交，另 一邊和圓相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切線與弦所夾的角）

如右圖所示，直線PT切圓O于點C，BC、AC為圓O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都為弦切角。

編輯本段弦切角定理

弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半.弦切角定理證明：

證明一：設圓心為O，連接OC，OB,。

∵∠TCB=90-∠OCB

∵∠BOC=180-2∠OCB

∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角的度數(shù)的`一半）

∵∠BOC=2∠CAB(圓心角等于圓周角的兩倍)

∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓周角）

證明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切線，A為切點，弧是弦切角∠BAC所夾的弧.

求證：(弦切角定理)

證明：分三種情況：

(1)圓心O在∠BAC的一邊AC上

∵AC為直徑，AB切⊙O于A，

∴弧CmA=弧CA

∵為半圓,

∴∠CAB=90=弦CA所對的圓周角 (2)圓心O在∠BAC的內(nèi)部.

過A作直徑AD交⊙O于D,

若在優(yōu)弧m所對的劣弧上有一點E

那么，連接EC、ED、EA

則有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB

∴ ∠CEA=∠CAB

∴ (弦切角定理)

(3)圓心O在∠BAC的外部,

過A作直徑AD交⊙O于D

那么 ∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90

∴∠CDA=∠CAB

∴(弦切角定理)

編輯本段弦切角推論

推論內(nèi)容

若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等

應用舉例

例1：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB為弦的⊙O與AC相切于點A，∠CBA=60° , AB=a 求BC長.

解：連結(jié)OA，OB.

∵在Rt△ABC中, ∠C=90

∴∠BAC=30°

∴BC=1/2a(RT△中30°角所對邊等于斜邊的一半)

例2：如圖，AD是ΔABC中∠BAC的平分線，經(jīng)過點A的⊙O與BC切于點D，與AB，AC分別相交于E，F(xiàn).

求證：EF∥BC.

證明：連DF.

AD是∠BAC的平分線∠BAD=∠DAC

∠EFD=∠BAD

∠EFD=∠DAC

⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC

∠EFD=∠FDC

EF∥BC

例3：如圖，ΔABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O直徑，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，

求證：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.

證明：∵AB是⊙O直徑

∴∠ACB=90

∵CD⊥AB

∴∠ACD=∠B，

∵MN切⊙O于C

∴∠MCA=∠B，

∴∠MCA=∠ACD，

即AC平分∠MCD，

同理：BC平分∠NCD.

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