敘述并證明余弦定理

敘述并證明余弦定理

余弦定理(第二余弦定理)余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，直接運(yùn)用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個(gè)邊求角的問題，若對(duì)余弦定理加以變形并適當(dāng)移于其它知識(shí)，則使用起來更為方便、靈活。

直角三角形的一個(gè)銳角的鄰邊和斜邊的比值叫這個(gè)銳角的余弦值

編輯本段余弦定理性質(zhì)

對(duì)于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的兩倍積，若三邊為a，b，c 三角為A，B，C ，則滿足性質(zhì)——

a^2 = b^2+ c^2 - 2·b·c·cosA

b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB

c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC

cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b)

cosB = (a^2 + c^2 -b^2) / (2·a·c)

cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c)

(物理力學(xué)方面的平行四邊形定則中也會(huì)用到)

第一余弦定理(任意三角形射影定理)

設(shè)△ABC的.三邊是a、b、c，它們所對(duì)的角分別是A、B、C，則有

a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A。

編輯本段余弦定理證明

平面向量證法

∵如圖，有a+b=c(平行四邊形定則：兩個(gè)鄰邊之間的對(duì)角線代表兩個(gè)鄰邊大小) ∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

(以上粗體字符表示向量)

又∵Cos(π-θ)=-Cosθ

∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ(注意：這里用到了三角函數(shù)公式)

再拆開，得c2=a2+b2-2*a*b*CosC

即 CosC=(a2+b2-c2)/2*a*b

同理可證其他，而下面的CosC=(c2-b2-a2)/2ab就是將CosC移到左邊表示一下。

平面幾何證法

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所對(duì)的邊為c，∠B所對(duì)的邊為b，∠A所對(duì)的邊為a

則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根據(jù)勾股定理可得：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2

b2=(sinB*c)2+a2-2ac*cosB+(cosB)2*c2

b2=(sinB2+cosB2)*c2-2ac*cosB+a2

b2=c2+a2-2ac*cosB

cosB=(c2+a2-b2)/2ac

編輯本段作用

(1)已知三角形的三條邊長(zhǎng)，可求出三個(gè)內(nèi)角

(2)已知三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊。

(3)已知三角形兩邊及其一邊對(duì)角，可求其它的角和第三條邊。(見解三角形公式，推導(dǎo)過程略。)

判定定理一(兩根判別法)：

若記m(c1,c2)為c的兩值為正根的個(gè)數(shù)，c1為c的表達(dá)式中根號(hào)前取加號(hào)的值，c2為c的表達(dá)式中根號(hào)前取

減號(hào)的值

①若m(c1,c2)=2,則有兩解

②若m(c1,c2)=1,則有一解

③若m(c1,c2)=0,則有零解(即無解)。

注意：若c1等于c2且c1或c2大于0，此種情況算到第二種情況，即一解。

判定定理二(角邊判別法):

一當(dāng)a>bsinA時(shí)

①當(dāng)b>a且cosA>0(即A為銳角)時(shí)，則有兩解

②當(dāng)b>a且cosA<=0(即A為直角或鈍角)時(shí),則有零解(即無解)

③當(dāng)b=a且cosA>0(即A為銳角)時(shí)，則有一解

④當(dāng)b=a且cosA<=0(即A為直角或鈍角)時(shí),則有零解(即無解)

⑤當(dāng)b 二當(dāng)a=bsinA時(shí)

①當(dāng)cosA>0(即A為銳角)時(shí),則有一解

②當(dāng)cosA<=0(即A為直角或鈍角)時(shí)，則有零解(即無解)

三當(dāng)a 例如：已知△ABC的三邊之比為5：4：3，求最大的內(nèi)角。

解 設(shè)三角形的三邊為a,b,c且a:b:c=5:4:3.

由三角形中大邊對(duì)大角可知：∠A為最大的角。由余弦定理

cos A=0

所以∠A=90°.

再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=60度，求BC之長(zhǎng)。

解 由余弦定理可知

BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cos A

=4+9-2×2×3×cos60

=13-12x0.5

=13-6

=7

所以BC=√7. (注：cos60=0.5,可以用計(jì)算器算)

以上兩個(gè)小例子簡(jiǎn)單說明了余弦定理的作用。

編輯本段其他

從余弦定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)可以看出，如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角一定是直角，如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是鈍角，如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是銳角。即，利用余弦定理，可以判斷三角形形狀。同時(shí)，還可以用余弦定理求三角形邊長(zhǎng)取值范圍。

解三角形時(shí)，除了用到余弦定理外還常用正弦定理。

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