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余弦定理及其證明
余弦定理及其證明1.三角形的正弦定理證明：
步驟1.
在銳角△ABC中，設(shè)三邊為a，b，c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到
a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中，
b/sinB=c/sinC
步驟2.
證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.
作直徑BD交⊙O于D.
連接DA.
因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠DAB=90度
因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
a/SinA=BC/SinD=BD=2R
類(lèi)似可證其余兩個(gè)等式。
2.三角形的余弦定理證明：
平面幾何證法：
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所對(duì)的邊為c，∠B所對(duì)的邊為b，∠A所對(duì)的邊為a
則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根據(jù)勾股定理可得：
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB
b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac
3
在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b
則c^2=a^2+b^2-2ab*cosC
a^2=b^2+c^2-2bc*cosA
b^2=a^2+c^2-2ac*cosB
下面在銳角△中證明第一個(gè)等式，在鈍角△中證明以此類(lèi)推。
過(guò)A作AD⊥BC于D，則BD+CD=a
由勾股定理得：
c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2
所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2
=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2
=a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2
=a^2+b^2-2a*CD
因?yàn)閏osC=CD/b
所以CD=b*cosC
所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC
題目中^2表示平方。
2
談?wù)�、余弦定理的多種證法
聊城二中 魏清泉
正、余弦定理是解三角形強(qiáng)有力的工具，關(guān)于這兩個(gè)定理有好幾種不同的證明方法.人教A版教材《數(shù)學(xué)》(必修5)是用向量的數(shù)量積給出證明的，如是在證明正弦定理時(shí)用到作輔助單位向量并對(duì)向量的等式作同一向量的數(shù)量積，這種構(gòu)思方法過(guò)于獨(dú)特，不易被初學(xué)者接受.本文試圖通過(guò)運(yùn)用多種方法證明正、余弦定理從而進(jìn)一步理解正、余弦定理，進(jìn)一步體會(huì)向量的巧妙應(yīng)用和數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合.
定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,則
(1)(正弦定理) = = ;
(2)(余弦定理)
c2=a2+b2-2abcos C,
b2=a2+c2-2accos B,
a2=b2+c2-2bccos A.
一、正弦定理的證明
證法一：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的三條高。則有
AD=bsin∠BCA，
BE=csin∠CAB，
CF=asin∠ABC。
所以S△ABC=abcsin∠BCA
=bcsin∠CAB
=casin∠ABC.
證法二：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的3條高。則有
AD=bsin∠BCA=csin∠ABC，
BE=asin∠BCA=csin∠CAB。
證法三：如圖2，設(shè)CD=2r是△ABC的外接圓
的直徑，則∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。
證法四：如圖3，設(shè)單位向量j與向量AC垂直。
因?yàn)锳B=AC+CB，
所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB.
因?yàn)閖AC=0，
jCB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=asinC，
jAB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=csinA .
二、余弦定理的證明
法一：在△ABC中，已知 ，求c。
過(guò)A作 ，
在Rt 中， ，
法二：
，即：
法三：
先證明如下等式：
⑴
證明：
故⑴式成立，再由正弦定理變形，得
結(jié)合⑴、 有
即 .
同理可證
.
三、正余弦定理的統(tǒng)一證明
法一：證明：建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系，則A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函數(shù)的定義可得：C=(bcos A,bsin A)，以AB、BC為鄰邊作平行四邊形ABCC′，則∠BAC′=π-∠B，
∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B).
根據(jù)向量的運(yùn)算：
=(-acos B,asin B)，
= - =(bcos A-c,bsin A),
(1)由 = ：得
asin B=bsin A,即
= .
同理可得： = .
∴ = = .
(2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A，
又| |=a,
∴a2=b2+c2-2bccos A.
同理：
c2=a2+b2-2abcos C;
b2=a2+c2-2accos B.
法二：如圖5，
,設(shè) 軸、 軸方向上的單位向量分別為 、 ，將上式的兩邊分別與 、 作數(shù)量積，可知
，
即
將(1)式改寫(xiě)為
化簡(jiǎn)得b2-a2-c2=-2accos B.
即b2=a2+c2-2accos B.(4)
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