垂心余弦定理證明

　　在平時的學(xué)習(xí)、工作或生活中，大家對證明都再熟悉不過了吧，證明是以行政機(jī)關(guān)、社會團(tuán)體、企事業(yè)單位或個人的名義憑借確鑿的證據(jù)證明某人的身份、經(jīng)歷或某件事情的真實情況時所使用的一種書面材料。寫證明的注意事項有許多，你確定會寫嗎？下面是小編精心整理的垂心余弦定理證明，僅供參考，大家一起來看看吧。

　　如右圖，在ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對的`邊分別是a、b、c . 以A為原點，AC所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，于是C點坐標(biāo)是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得B點坐標(biāo)是(ccosA，csinA) . ∴CB = (ccosA-b，csinA).

　　現(xiàn)將CB平移到起點為原點A，則AD = CB .

　　而 |AD| = |CB| = a ，∠DAC = π-∠BCA = π-C ，

　　根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點坐標(biāo)是 (acos(π-C)，asin(π-C))

　　即 D點坐標(biāo)是(-acosC，asinC),

　　∴ AD = (-acosC，asinC) 而 AD = CB

　　∴ (-acosC，asinC) = (ccosA-b，csinA)

　　∴ asinC = csinA …………①

　　-acosC = ccosA-b ……②

　　由①得 asinA = csinC ，同理可證 asinA = bsinB ，

　　∴ asinA = bsinB = csinC .

　　由②得 acosC = b-ccosA ，平方得：

　　a2cos2C = b2-2bccosA + c2cos2A ，

　　即 a2-a2sin2C = b2-2bccosA + c2-c2sin2A .

　　而由①可得 a2sin2C = c2sin2A

　　∴ a2 = b2 + c2-2bccosA .

　　同理可證 b2 = a2 + c2-2accosB ，

　　c2 = a2 + b2-2abcosC .

　　到此正弦定理和余弦定理證明完畢。

　　2

　　正、余弦定理是解三角形強(qiáng)有力的工具，關(guān)于這兩個定理有好幾種不同的證明方法.人教A版教材《數(shù)學(xué)》(必修5)是用向量的數(shù)量積給出證明的，如是在證明正弦定理時用到作輔助單位向量并對向量的等式作同一向量的數(shù)量積，這種構(gòu)思方法過于獨(dú)特，不易被初學(xué)者接受.本文試圖通過運(yùn)用多種方法證明正、余弦定理從而進(jìn)一步理解正、余弦定理，進(jìn)一步體會向量的巧妙應(yīng)用和數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合.

　　定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,則

　　(1)(正弦定理) = = ;

　　(2)(余弦定理)

　　c2=a2+b2-2abcos C,

　　b2=a2+c2-2accos B,

　　a2=b2+c2-2bccos A.

　　一、正弦定理的證明

　　證法一：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的三條高。則有

　　AD=bsin∠BCA，

　　BE=csin∠CAB，

　　CF=asin∠ABC。

　　所以S△ABC=abcsin∠BCA

　　=bcsin∠CAB

　　=casin∠ABC.

　　證法二：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的3條高。則有

　　AD=bsin∠BCA=csin∠ABC，

　　BE=asin∠BCA=csin∠CAB。

　　證法三：如圖2，設(shè)CD=2r是△ABC的外接圓

　　的直徑，則∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

　　證法四：如圖3，設(shè)單位向量j與向量AC垂直。

　　因為AB=AC+CB，

　　所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB.

　　因為jAC=0，

　　jCB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=asinC，

　　jAB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=csinA .

　　二、余弦定理的證明

　　法一：在△ABC中，已知 ，求c。

　　過A作 ，

　　在Rt 中， ，

　　法二：

　　，即：

　　法三：

　　先證明如下等式：

　　⑴

　　證明：

　　故⑴式成立，再由正弦定理變形，得

　　結(jié)合⑴、 有

　　即 .

　　同理可證

　　.

　　三、正余弦定理的統(tǒng)一證明

　　法一：證明：建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系，則A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函數(shù)的定義可得：C=(bcos A,bsin A)，以AB、BC為鄰邊作平行四邊形ABCC′，則∠BAC′=π-∠B，

　　∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B).

　　根據(jù)向量的運(yùn)算：

　　=(-acos B,asin B)，

　　= - =(bcos A-c,bsin A),

　　(1)由 = ：得

　　asin B=bsin A,即

　　= .

　　同理可得： = .

　　∴ = = .

　　(2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A，

　　又| |=a,

　　∴a2=b2+c2-2bccos A.

　　同理：

　　c2=a2+b2-2abcos C;

　　b2=a2+c2-2accos B.

　　法二：如圖5，

　　,設(shè) 軸、 軸方向上的單位向量分別為 、 ，將上式的兩邊分別與 、 作數(shù)量積，可知

　　，

　　即

　　將(1)式改寫為

　　化簡得b2-a2-c2=-2accos B.

　　即b2=a2+c2-2accos B.(4)

　　這里(1)為射影定理，(2)為正弦定理，(4)為余弦定理.

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