重要極限的證明

重要極限的證明

極限是e

a>0

在n比較大時(shí)，(1+(1-a)/n)^n<=原式<=(1+1/n)^n

取極限后，e》=原式的上極限》=原式的下極限》=e^(1-a)

由a的任意性，得

極限為e

利用極限存在準(zhǔn)則證明：

(1)當(dāng)x趨近于正無窮時(shí)，(Inx/x^2)的極限為0;

(2)證明數(shù)列{Xn}，其中a>0，Xo>0,Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2,n=1,2,…收斂，并求其極限。

1)用夾逼準(zhǔn)則:

x大于1時(shí),lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2極限為0

故(Inx/x^2)的極限為0

2)用單調(diào)有界數(shù)列收斂:

分三種情況,x0=√a時(shí),顯然極限為√a

x0>√a時(shí),Xn-X(n-1)=[-(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2<0,單調(diào)遞減

且Xn=[(Xn-1)+(a/Xn-1)]/2>√a,√a為數(shù)列下界,則極限存在.

設(shè)數(shù)列極限為A,Xn和X(n-1)極限都為A.

對(duì)原始兩邊求極限得A=[A+(a/A)]/2.解得A=√a

同理可求x0<√a時(shí),極限亦為√a

綜上,數(shù)列極限存在,且為√

(一)時(shí)函數(shù)的極限：

以 時(shí) 和 為例引入.

介紹符號(hào): 的意義, 的直觀意義.

定義 ( 和 . )

幾何意義介紹鄰域 其中 為充分大的正數(shù).然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.

例1驗(yàn)證 例2驗(yàn)證 例3驗(yàn)證 證 ……

(二)時(shí)函數(shù)的極限：

由 考慮 時(shí)的極限引入.

定義函數(shù)極限的“ ”定義.

幾何意義.

用定義驗(yàn)證函數(shù)極限的基本思路.

例4 驗(yàn)證 例5 驗(yàn)證 例6驗(yàn)證 證 由 =

為使 需有 為使 需有 于是, 倘限制 , 就有

例7驗(yàn)證 例8驗(yàn)證 ( 類似有 (三)單側(cè)極限:

1.定義：單側(cè)極限的定義及記法.

幾何意義: 介紹半鄰域 然后介紹 等的幾何意義.

例9驗(yàn)證 證 考慮使 的 2.單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系:

Th類似有: 例10證明: 極限 不存在.

例11設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)單調(diào). 若 存在, 則有

= §2 函數(shù)極限的性質(zhì)(3學(xué)時(shí))

教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。

教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一性、局部保號(hào)性、不等式性質(zhì)以及有理運(yùn)算性等。

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)極限的性質(zhì)及其計(jì)算。

教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)極限性質(zhì)證明及其應(yīng)用。

教學(xué)方法：講練結(jié)合。

一、組織教學(xué)：

我們引進(jìn)了六種極限: , .以下以極限 為例討論性質(zhì). 均給出證明或簡證.

二、講授新課：

(一)函數(shù)極限的性質(zhì):以下性質(zhì)均以定理形式給出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號(hào)性:

4.單調(diào)性( 不等式性質(zhì) ):

Th 4若 和 都存在, 且存在點(diǎn) 的空心鄰域,使 ， 都有 證 設(shè) = ( 現(xiàn)證對(duì) 有 )

註:若在Th 4的條件中, 改“ ”為“ ”, 未必就有 以 舉例說明.

5.迫斂性:

6.四則運(yùn)算性質(zhì):( 只證“+”和“ ”)

(二)利用極限性質(zhì)求極限： 已證明過以下幾個(gè)極限：

(注意前四個(gè)極限中極限就是函數(shù)值 )

這些極限可作為公式用. 在計(jì)算一些簡單極限時(shí), 有五組基本極限作為公式用,我們將陸續(xù)證明這些公式.

利用極限性質(zhì)，特別是運(yùn)算性質(zhì)求極限的原理是：通過有關(guān)性質(zhì), 把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值, 即計(jì)算得所求極限.

例1( 利用極限 和 )

例2例3註:關(guān)于 的有理分式當(dāng) 時(shí)的極限.

例4 [ 利用公式 ]

例5例6例7

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