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初中數(shù)學(xué)定理證明
初中數(shù)學(xué)定理證明數(shù)學(xué)定理
三角形三條邊的關(guān)系
定理：三角形兩邊的和大于第三邊
推論：三角形兩邊的差小于第三邊
三角形內(nèi)角和
三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°
推論1 直角三角形的兩個(gè)銳角互余
推論2 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和
推論3 三角形的一個(gè)外角大雨任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角
角的平分線
性質(zhì)定理 在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等
幾何語(yǔ)言：
∵OC是∠AOB的角平分線(或者∠AOC=∠BOC)
PE⊥OA，PF⊥OB
點(diǎn)P在OC上
∴PE=PF(角平分線性質(zhì)定理)
判定定理 到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上
幾何語(yǔ)言：
∵PE⊥OA，PF⊥OB
PE=PF
∴點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上(角平分線判定定理)
等腰三角形的性質(zhì)
等腰三角形的性質(zhì)定理 等腰三角形的兩底角相等
幾何語(yǔ)言：
∵AB=AC
∴∠B=∠C(等邊對(duì)等角)
推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊
幾何語(yǔ)言：
(1)∵AB=AC，BD=DC
∴∠1=∠2，AD⊥BC(等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊)
(2)∵AB=AC，∠1=∠2
∴AD⊥BC，BD=DC(等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊)
(3)∵AB=AC，AD⊥BC
∴∠1=∠2，BD=DC(等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊)
推論2 等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角等于60°
幾何語(yǔ)言：
∵AB=AC=BC
∴∠A=∠B=∠C=60°(等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°)
等腰三角形的判定
判定定理 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等
幾何語(yǔ)言：
∵∠B=∠C
∴AB=AC(等角對(duì)等邊)
推論1 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形
幾何語(yǔ)言：
∵∠A=∠B=∠C
∴AB=AC=BC(三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形)
推論2 有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形
幾何語(yǔ)言：
∵AB=AC，∠A=60°(∠B=60°或者∠C=60°)
∴AB=AC=BC(有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形)
推論3 在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半
幾何語(yǔ)言：
∵∠C=90°，∠B=30°
∴BC= AB或者AB=2BC(在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半)
線段的垂直平分線
定理 線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等
幾何語(yǔ)言：
∵M(jìn)N⊥AB于C，AB=BC，(MN垂直平分AB)
點(diǎn)P為MN上任一點(diǎn)
∴PA=PB(線段垂直平分線性質(zhì))
逆定理 和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上
幾何語(yǔ)言：
∵PA=PB
∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上(線段垂直平分線判定)
軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形
定理1 關(guān)于某條之間對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形
定理2 如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線
定理3 兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，若它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上
逆定理 若兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱
勾股定理
勾股定理 直角三角形兩直角邊a、b的平方和，等于斜邊c的平方，即
a2 + b2 = c2
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有關(guān)系，那么這個(gè)三角形是直角三角形
四邊形
定理 任意四邊形的內(nèi)角和等于360°
多邊形內(nèi)角和
定理 多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于(n - 2)·180°
推論 任意多邊形的外角和等于360°
平行四邊形及其性質(zhì)
性質(zhì)定理1 平行四邊形的對(duì)角相等
性質(zhì)定理2 平行四邊形的對(duì)邊相等
推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等
性質(zhì)定理3 平行四邊形的對(duì)角線互相平分
幾何語(yǔ)言：
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AD‖BC，AB‖CD(平行四邊形的對(duì)角相等)
∠A=∠C，∠B=∠D(平行四邊形的對(duì)邊相等)
AO=CO，BO=DO(平行四邊形的對(duì)角線互相平分)
平行四邊形的判定
判定定理1 兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形
幾何語(yǔ)言：
∵AD‖BC，AB‖CD
∴四邊形ABCD是平行四邊形
(兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形)
判定定理2 兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形
幾何語(yǔ)言：
∵∠A=∠C，∠B=∠D
∴四邊形ABCD是平行四邊形
(兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形)
判定定理3 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形
幾何語(yǔ)言：
∵AD=BC，AB=CD
∴四邊形ABCD是平行四邊形
(兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形)
判定定理4 對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形
幾何語(yǔ)言：
∵AO=CO，BO=DO
∴四邊形ABCD是平行四邊形
(對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形)
判定定理5 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
幾何語(yǔ)言：
∵AD‖BC，AD=BC
∴四邊形ABCD是平行四邊形
(一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)
矩形
性質(zhì)定理1 矩形的四個(gè)角都是直角
性質(zhì)定理2 矩形的對(duì)角線相等
幾何語(yǔ)言：
∵四邊形ABCD是矩形
∴AC=BD(矩形的對(duì)角線相等)
∠A=∠B=∠C=∠D=90°(矩形的四個(gè)角都是直角)
推論 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
幾何語(yǔ)言：
∵△ABC為直角三角形，AO=OC
∴BO= AC(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)
判定定理1 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形
幾何語(yǔ)言：
∵∠A=∠B=∠C=90°
∴四邊形ABCD是矩形(有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形)
判定定理2 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形
幾何語(yǔ)言：
∵AC=BD
∴四邊形ABCD是矩形(對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形)
菱形
性質(zhì)定理1 菱形的四條邊都相等
性質(zhì)定理2 菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角
幾何語(yǔ)言：
∵四邊形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=AD(菱形的四條邊都相等)
AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ABC和∠ADC
(菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角)
判定定理1 四邊都相等的四邊形是菱形
幾何語(yǔ)言：
∵AB=BC=CD=AD
∴四邊形ABCD是菱形(四邊都相等的四邊形是菱形)
判定定理2 對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形
幾何語(yǔ)言：
∵AC⊥BD，AO=CO，BO=DO
∴四邊形ABCD是菱形(對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形)
正方形
性質(zhì)定理1 正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等
性質(zhì)定理2 正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角
中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形
定理1 關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形
定理2 關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分
逆定理 如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對(duì)稱
梯形
等腰梯形性質(zhì)定理 等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等
幾何語(yǔ)言：
∵四邊形ABCD是等腰梯形
∴∠A=∠B，∠C=∠D(等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等)
等腰梯形判定定理 在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形
幾何語(yǔ)言：
∵∠A=∠B，∠C=∠D
∴四邊形ABCD是等腰梯形(在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形)
三角形、梯形中位線
三角形中位線定理 三角形的中位線平行與第三邊，并且等于它的一半
幾何語(yǔ)言：
∵EF是三角形的中位線
∴EF= AB(三角形中位線定理)
梯形中位線定理 梯形的中位線平行與兩底，并且等于兩底和的一半
幾何語(yǔ)言：
∵EF是梯形的中位線
∴EF= (AB+CD)(梯形中位線定理)
比例線段
1、 比例的基本性質(zhì)
如果a∶b=c∶d，那么ad=bc
2、 合比性質(zhì)
3、 等比性質(zhì)
平行線分線段成比例定理
平行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例
幾何語(yǔ)言：
∵l‖p‖a
(三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例)
推論 平行與三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例
定理 如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行與三角形的第三邊
垂直于弦的直徑
垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧
幾何語(yǔ)言：
∵OC⊥AB，OC過(guò)圓心
(垂徑定理)
推論1
(1) 平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧
幾何語(yǔ)言：
∵OC⊥AB，AC=BC，AB不是直徑
(平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧)
(2) 弦的垂直平分線過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧
幾何語(yǔ)言：
∵AC=BC，OC過(guò)圓心
(弦的垂直平分線過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧)
(3) 平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧
幾何語(yǔ)言：
(平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧)
推論2 圓的兩條平分弦所夾的弧相等
幾何語(yǔ)言：∵AB‖CD
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