用數(shù)學(xué)歸納法證明

1/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2 - n+2/2^n.

1/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2 - (n+2)/2^n.

1、當(dāng)n=1時候，

左邊=1/2;

右邊=2-3/2=1/2

左邊=右邊，成立。

2、設(shè)n=k時候，有：

1/2+2/2^2+3/2^3+......+k/2^k=2 - (k+2)/2^k成立，

則當(dāng)n=k+1時候：有：

1/2+2/2^2+3/2^3+.....+k/2^k+(k+1)/2^(k+1)

=2 - (k+2)/2^k+(k+1)/2^(k+1)

=2-[2(k+2)-(k+1)]/2^(k+1)

=2-(k+3)/2^(k+1)

=2-[(k+1)+2]/2^(k+1)

得證。

我覺得不是所有的猜想都非要用數(shù)學(xué)歸納法.

比如a1=2,a(n+1)/an=2,這顯然是個等比數(shù)列

如果我直接猜想an=2^n,代入檢驗(yàn)正確,而且對所有的n都成立,這時候干嘛還用數(shù)學(xué)歸納法啊.可是考試如果直接這樣猜想是不得分的,必須要用數(shù)學(xué)歸納法證明.

我覺得如果是數(shù)列求和,猜想無法直接驗(yàn)證,需要數(shù)學(xué)歸納法,這個是可以接受的.但是上面那種情況,誰能告訴我為什么啊.我覺得邏輯已經(jīng)是嚴(yán)密的了.

結(jié)果帶入遞推公式驗(yàn)證是對n屬于正整數(shù)成立.

用數(shù)學(xué)歸納法,無論n=1,還是n=k的假設(shè),n=k+1都需要帶入遞推公式驗(yàn)證,不是多此一舉嗎.我又不是一個一個驗(yàn)證,是對n這個變量進(jìn)行驗(yàn)證,已經(jīng)對n屬于正整數(shù)成立了.怎么說就是錯誤的.

怎么又扯到思維上了,論嚴(yán)密性我比誰都在意,雖然是猜出來的,畢竟猜想需要,我的問題是--------這樣的驗(yàn)證方式嚴(yán)不嚴(yán)密,在沒有其他直接證明方法的情況下,是不是一定要用數(shù)學(xué)歸納法-------,并沒有說這樣就是對待數(shù)學(xué)的態(tài)度,沒有猜想數(shù)學(xué)怎么發(fā)展.

這說明你一眼能看出答案，是個本領(lǐng)。

然而，考試是要有過程的，這個本領(lǐng)屬于你自己，不屬于其他人，比如你是股票牛人，直接看出哪支會漲哪支會跌，但是不說出為什么，恐怕也不會令人信服。

比如你的問題，你猜想之后，代入檢驗(yàn)，驗(yàn)證成功說明假設(shè)正確，這是個極端錯誤的數(shù)學(xué)問題，請記�。翰皇球�(yàn)證了一組答案通過，就說明答案是唯一的!比如x + y = 2.我們都知道這是由無數(shù)組解的方程。但是我猜想x=y=1,驗(yàn)證成功，于是得到答案，你覺得對嗎?所以你的證明方法是嚴(yán)格錯誤的!

你的這種思想本身就是經(jīng)不起推敲的，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不是會做多少題，而是給自己建立一套縝密的思維。你的這種思維在學(xué)習(xí)過程中是一個巨大的絆腳石，你現(xiàn)在做的就是假設(shè)某某正確，然后拼死維護(hù)它的正確，即使有不嚴(yán)密的地方你也視而不見。我說過，你有一眼看出答案的本領(lǐng)，這只是本領(lǐng)而已，填空題你有優(yōu)勢。但是如果你缺少了證明的思維，證明的本領(lǐng)，那你就成了一個扶不起來的阿斗。最可怕的是你的這個思想：褒一點(diǎn)說善于投機(jī)取巧，貶一點(diǎn)說，就是思維惰性，懶。

說說你的這道題，最簡單的一道數(shù)列題，當(dāng)然可以一下看出答案，而且你的答案是正確的。但是證明起來就不是那么容易了，答案不是看出來的，是算出來的。你的解法就是告訴大家，所有的答案都是看出來，然后代入證明的。假設(shè)看不出來怎么辦?那就無所適從，永遠(yuǎn)也解不出來了!這就是你的做法帶來的答案，你想想呢?你的這種做法有什么值得推廣的?

OK,了解!

數(shù)學(xué)歸納法使被證明了的，證明數(shù)學(xué)猜想的嚴(yán)密方法，這是毋庸置疑的。在n=1時成立;假設(shè)n=k成立，則n=k+1成立。這兩個結(jié)論確保了n屬于N時成立，這是嚴(yán)密的。

你的例題太簡單，直接用等比數(shù)列的定義就可以得到答案(首項(xiàng)和公比均已知)，不能說明你的證明方法有誤。我的本意是：任何一種證明方法，其本身是需要嚴(yán)格證明的，數(shù)學(xué)歸納法是經(jīng)過嚴(yán)格證明的;而你的證明方法：猜想帶入條件，滿足條件即得到猜想正確的結(jié)論。未經(jīng)證明，(即使它很嚴(yán)密，我說即使)它不被別人認(rèn)可。事實(shí)上，你的證明方法(猜想帶入所有條件均成立)只能得到“必要”答案，并不“充分”，你想一下，A滿足B就說A=B顯然是不充分的。而數(shù)學(xué)歸納法充分必要，或者說“不大不小，不縮不放”，用你的方法可以猜想出多套答案，把所有猜想出來的答案歸納一下就是充分必要。

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