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怎么證明勾股定理
怎么證明勾股定理設(shè)ABC為一直角三角形, 直角于角C. 從點(diǎn)C畫(huà)上三角形的高,并將此高與AB的交叉點(diǎn)稱之為H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似,因?yàn)樵趦蓚(gè)三角形中都有一個(gè)直角,而兩個(gè)三角形都有A這個(gè)共同角,由此可知第三只角都是相等的。同樣道理,三角形CBH和三角形ABC也是相似的。這些相似關(guān)系衍生出以下的比率關(guān)系:因?yàn)锽C=a,AC=b,AB=c所以a/c=HB/a 和 b/c=AH/b可以寫(xiě)成a*a=c*HB 和 b*b=C*AH綜合這兩個(gè)方程式,我們得到a*a+b*b=c*HB+C*AH =a*a+b*b=C*(HB+AH) =a*a+b*b=c*c
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勾股定理是初等幾何中的一個(gè)基本定理。所謂勾股定理,就是指在直角三角形中,兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。這個(gè)定理有十分悠久的歷史,幾乎所有文明古國(guó)(希臘、 中國(guó)、埃及、巴比倫、印度等) 對(duì)此定理都有所研究。勾股定理在西方被稱為畢達(dá)哥拉斯定理,相傳是古希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras,公元前572?~公元前497?) (右圖) 于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。但畢達(dá)哥拉斯對(duì)勾股定理的證明方法已經(jīng)失傳。著名的希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得(Euclid,公元前330~公元前275)在巨著《幾何原本》(第Ⅰ卷,命題47)中給出一個(gè)很好的證明。 (左圖為歐幾里得和他的證明圖) 中國(guó)古代對(duì)這一數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用,遠(yuǎn)比畢達(dá)哥拉斯早得多。中國(guó)最早的一部數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》的開(kāi)頭,記載著一段周公向商高請(qǐng)教數(shù)學(xué)知識(shí)的對(duì)話:周公問(wèn):"我聽(tīng)說(shuō)您對(duì)數(shù)學(xué)非常精通,我想請(qǐng)教一下:天沒(méi)有梯子可以上去,地也沒(méi)法用尺子去一段一段丈量, 那么怎樣才能得到關(guān)于天地得到數(shù)據(jù)呢?" 商高回答說(shuō):"數(shù)的產(chǎn)生來(lái)源于對(duì)方和圓這些形體的認(rèn)識(shí)。其中有一條原理:當(dāng)直角三角形‘矩'得到的一條直 角邊‘勾'等于3,另一條直角邊’股'等于4的時(shí)候, 那么它的斜邊'弦'就必定是5。這個(gè)原理是大禹在治水的時(shí)候就總結(jié)出來(lái)的呵。" 如果說(shuō)大禹治水因年代久遠(yuǎn)而無(wú)法確切考證的話,那么周公與商高的對(duì)話則可以確定在公元前1100年左右的西周時(shí)期, 比畢達(dá)哥拉斯要早了五百多年。其中所說(shuō)的勾3股4弦5,正是勾股定理的一個(gè)應(yīng)用特例。 所以現(xiàn)在數(shù)學(xué)界把它稱為勾股定理是非常恰當(dāng)?shù)摹?在稍后一點(diǎn)的《九章算術(shù)》一書(shū)中( 約在 公元50至100年間) (右圖) ,勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達(dá)。書(shū)中的《勾股章》說(shuō);“把勾和股分別自乘,然后把它們的積加起來(lái),再進(jìn)行開(kāi)方,便可以得到弦! 。 《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢以來(lái)的數(shù)學(xué)成就,共收集了246個(gè)數(shù)學(xué)的應(yīng)用問(wèn)題和各個(gè)問(wèn)題的解法,列為九章,可能是所有中國(guó)數(shù)學(xué)著作中影響最大的一部。 中國(guó)古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理,而且很早就嘗試對(duì)勾股定理作理論的證明。最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的,是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖” ,用形數(shù)結(jié)合得到方法,給出了勾股定理的詳細(xì)證明 (右圖) 。在這幅“勾股圓方圖”中,以弦為邊長(zhǎng)得到正方形ABDE是由4個(gè)相等的直角三角形再加上中間的那個(gè)小正方形組成的。每個(gè)直角三角形的面積為ab/2;中間的小正方形邊長(zhǎng)為b-a,則面積為(b-a) 2 。于是便可得如下的式子: 4×(ab/2)+(b-a) 2 =c 2 化簡(jiǎn)后便可得: a 2 +b 2 =c 2 亦即:c=(a 2 +b 2 ) (1/2) 趙爽的這個(gè)證明可謂別具匠心,極富創(chuàng)新意識(shí)。他用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)來(lái)證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系,既具嚴(yán)密性,又具直觀性,為中國(guó)古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨(dú)特風(fēng)格樹(shù)立了一個(gè)典范。 以后的數(shù)學(xué)家大多繼承了這一風(fēng)格并且有發(fā)展, 只是具體圖形的分合移補(bǔ)略有不同而已。 例如稍后一點(diǎn)的劉徽在證明勾股定理時(shí)也是用以形證數(shù)的方法,劉徽 (右圖) 用了“出入相補(bǔ)法”即剪貼證明法,他把勾股為邊的正方形上的某些區(qū)域剪下來(lái)(出), 移到以弦為邊的正方形的空白區(qū)域內(nèi)(入),結(jié)果剛好填滿,完全用圖解法就解決了問(wèn)題。 (左圖為劉徽的勾股證明圖) 中國(guó)古代數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明,在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來(lái)的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法,更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義。
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