直接證明 綜合法

數(shù)學(xué)方法之綜合與分析法篇

一、使用綜合法

綜合法是從已知出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步推理，最后導(dǎo)出所要達(dá)到的結(jié)論. 可以看出，若使用綜合法求解問(wèn)題，一定要將條件與結(jié)論結(jié)合起來(lái)，看看條件、再看看結(jié)論，如何架好從條件通往結(jié)論的橋梁?

例1：設(shè) ，求證： 證明：由于a，b為非負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)， ，得 .

那么 上述第一個(gè)不等式中等號(hào)成立的條件為2x-3=15-3x，解得 故原不等式成立.

點(diǎn)評(píng)：本題的證明不重要，產(chǎn)生這個(gè)證明方法的思維過(guò)程很重要;你知道怎么產(chǎn)生的嗎?是綜合法的“功勞”，請(qǐng)看：欲從左邊證到右邊，必須消去x;如何消?只有經(jīng)過(guò)平方，才能將x從根號(hào)中“解救”出來(lái)，“解救”出來(lái)后才有消去的可能;于是在基本不等式中開(kāi)始“搜索”與平方有關(guān)的不等式，慢慢的 就“浮出水面”， 解法自然也就誕生了.

二、使用分析法

分析法是從結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件，直到找到一個(gè)明顯成立的條件，這個(gè)條件可以是已知條件、公理、定理、定義等，可以看出，若使用分析求解問(wèn)題，對(duì)結(jié)論的簡(jiǎn)化與轉(zhuǎn)化很重要，它是向條件靠攏的重要措施.

例2：設(shè)a，b，c為任意三角形的三邊邊長(zhǎng)，I=a+b+c，S=ab+bc+ca，求證：3S≤I 2<4S.

證明：由于I 2 = (a+b+c)2= a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca = a2+b2+c2+2S,

故欲證3S≤I 2<4S，只需3S≤a 2+b2+c2+2S<4S， 只需證S≤a 2+b2+c2<2S，

即ab+bc+ca≤ a 2+b2+c2<2ab+2bc+2ca，

只需證a 2+b2+c2≥ab+bc+ca且a 2+b2+c2<2ab+2bc+2ca，

先看a 2+b2+c2≥ab+bc+ca，只需證2a 2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca，

即 ，顯然，此式成立.

再看a 2+b2+c2<2ab+2bc+2ca， 只需證 ，

只需證 ;

只需證 為三角形的三邊長(zhǎng). 顯然，結(jié)論成立

故3S≤I 2<4S.

點(diǎn)評(píng)：本題從表面上看不易“征服”，但通過(guò)分析法將結(jié)論逐步轉(zhuǎn)化，由看上去很難“接受”的3S≤I 2<4S，轉(zhuǎn)化為較為熟悉的ab+bc+ca≤ a 2+b2+c2<2ab+2bc+2ca，顯然，這比原題的結(jié)論看上去要“舒服”多了，當(dāng)然，求解也就順暢了很多.

三、綜合與分析法同時(shí)使用

例3：試證：如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊。并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等.

已知：如右圖，∠BAC∥∠B′A′C′中，

AB∥A′B′且AC∥A′C′，且兩角的方向相同，

求證：∠BAC=∠B′A′C′.

分析：(1)∠BAC與B ′A′C′不可能用

平行線的性質(zhì)，只有考慮構(gòu)造兩個(gè)全等的三角

形，再設(shè)法證明兩三角形全等，為此，分別在

AC，AB，A′C′，A′B′上截取AE =A′E′，

AD =A′D′，連結(jié)DE，D′E′，得到△ADE，

△A′D′E′;

(2)欲證這兩三角形全等，只需證DE=D′E′;

(3)只需證DEE′D′是平行四邊形，也就是DD′

平行且等于EE′;

(4)只需證“DD′平行且等于AA′且EE′平行且

等于AA′”;

(5)只需證ADD′A′與AEE′A′均為平行四邊形，顯然這是一個(gè)成立的結(jié)論.

證明：由于ADD′A′是平行四邊形，則DD′平行且等于AA′; 同理，得

EE′平行且等于AA′.

于是DD′平行且等于EE′，那么DEE′D′是平行四邊形，得DE=D′E′.

在△ADE與△A′D′E′中，由于AE =A′E′，AD =A′D′且DE =D′E′，因此，△ADE全等于△A′D′E′，從而∠BAC =∠B′A′C′.

點(diǎn)評(píng)：分析法找思路較為自然，容易產(chǎn)生解題思路與方法，但由于是“逆行”往往敘述較為復(fù)雜;而綜合法產(chǎn)生的解法往往又顯得很突然，一時(shí)不知此法由何而來(lái). 于是，二者結(jié)合，互相彌補(bǔ)便成了大家提倡的，即“用分析法找思路，用綜合法寫過(guò)程”是十分行之有效的方法.

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