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均值不等式證明
均值不等式證明一、
已知x,y為正實(shí)數(shù)，且x+y=1 求證
xy+1/xy≥17/4
1=x+y≥2√(xy)
得xy≤1/4
而xy+1/xy≥2
當(dāng)且僅當(dāng)xy=1/xy時(shí)取等
也就是xy=1時(shí)
畫(huà)出xy+1/xy圖像得
01時(shí)，單調(diào)增
而xy≤1/4
∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4
得證
繼續(xù)追問(wèn)：
拜托，用單調(diào)性誰(shuí)不會(huì)，讓你用均值定理來(lái)證
補(bǔ)充回答：
我真不明白我上面的方法為什么不是用均值不等式證的
法二：
證xy+1/xy≥17/4
即證4(xy)-17xy+4≥0
即證(4xy-1)(xy-4)≥0
即證xy≥4，xy≤1/4
而x,y∈R+，x+y=1
顯然xy≥4不可能成立
∵1=x+y≥2√(xy)
∴xy≤1/4，得證
法三：
∵同理0
xy+1/xy-17/4
=(4xy-4-17xy)/4xy
=(1-4xy)(4-xy)/4xy
≥0
∴xy+1/xy≥17/4
試問(wèn)怎樣叫“利用均值不等式證明”，是說(shuō)只能用均值不等式不能穿插別的途徑?!
二、
已知a>b>c，求證：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0
a-c=(a-b)+(b-c)≥2√(a-b)*(b-c)
于是c-a≤-2√(a-b)*(b-c)<0
即：1/(c-a)≥-1/【2√(a-b)*(b-c)】
那么
1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)
≥1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2√(a-b)*(b-c)】
≥2/【√(a-b)*(b-c)】-1/【2√(a-b)*(b-c)】=(3/2)/【2√(a-b)*(b-c)】>0
三、
1、調(diào)和平均數(shù)：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、幾何平均數(shù)：Gn=(a1a2...an)^(1/n) 3、算術(shù)平均數(shù)：An=(a1+a2+...+an)/n 4、平方平均數(shù)：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n 這四種平均數(shù)滿足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即為均值不等式。
概念：
1、調(diào)和平均數(shù)：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、幾何平均數(shù)：Gn=(a1a2...an)^(1/n)
3、算術(shù)平均數(shù)：An=(a1+a2+...+an)/n
4、平方平均數(shù)：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]
這四種平均數(shù)滿足Hn≤Gn≤An≤Qn
a1、a2、… 、an∈R +，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2= … =an時(shí)勸=”號(hào)
均值不等式的一般形式：設(shè)函數(shù)D(r)=[(a1^r+a2^r+...an^r)/n]^(1/r)(當(dāng)r不等于0時(shí));
(a1a2...an)^(1/n)(當(dāng)r=0時(shí))(即D(0)=(a1a2...an)^(1/n))
則有：當(dāng)r注意到Hn≤Gn≤An≤Qn僅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)
由以上簡(jiǎn)化，有一個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)論，中學(xué)常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]
方法很多，數(shù)學(xué)歸納法(第一或反向歸納)、拉格朗日乘數(shù)法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等
用數(shù)學(xué)歸納法證明，需要一個(gè)輔助結(jié)論。
引理：設(shè)A≥0，B≥0，則(A+B)^n≥A^n+nA^(n-1)B。
注：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A+B≥0,有興趣的同學(xué)可以想想如何證明(用數(shù)學(xué)歸納法)。
原題等價(jià)于：((a1+a2+…+an )/n)^n≥a1a2…an。
當(dāng)n=2時(shí)易證;
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即
((a1+a2+…+ak )/k)^k≥a1a2…ak。那么當(dāng)n=k+1時(shí)，不妨設(shè)a(k+1)是a1，a2 ，…，a(k+1)中最大者，則
k a(k+1)≥a1+a2+…+ak。
設(shè)s=a1+a2+…+ak，
{[a1+a2+…+a(k+1)]/(k+1)}^(k+1)
={s/k+[k a(k+1)-s]/[k(k+1)]}^(k+1)
≥(s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k[k a(k+1)-s]/k(k+1) 用引理
=(s/k)^k* a(k+1)
≥a1a2…a(k+1)。用歸納假設(shè)
下面介紹個(gè)好理解的方法
琴生不等式法
琴生不等式：上凸函數(shù)f(x)，x1,x2,...xn是函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意n個(gè)點(diǎn)，
則有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]
設(shè)f(x)=lnx，f(x)為上凸增函數(shù)
所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...*xn)^(1/n)]
即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)
在圓中用射影定理證明(半徑不小于半弦)。
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