精心設計教學環(huán)節(jié)，細化概念教學過程
作者：董榮森謝建金
中學數學：高中版 2015年05期
簡單隨機抽樣是高中數學統(tǒng)計內容的起始課.本節(jié)課設計了溫故知新、創(chuàng)設問題情境、學生活動、數學構建、數學應用等教學環(huán)節(jié)，讓學生在這些環(huán)節(jié)中通過活動體驗、理解“抽樣”的必要性，以及如何科學地進行抽樣，逐步歸納總結出抽簽法、隨機數表法等概念的形成過程，并利用關鍵詞和流程圖對抽樣方法的步驟加以提煉.
一、設計理念與目標指向
“簡單隨機抽樣”為普通高中課程標準試驗教科書（蘇教版）必修3第二章“統(tǒng)計”2.1抽樣方法（第1課時）.數學課程標準強調從學生已有的生活經驗出發(fā)，初步學會用數學的思維方式去觀察、分析.概念教學一般可遵循“從實際中來—抽象數學模型—到實際中去”.在“簡單隨機抽樣”這節(jié)課的教學設計中，筆者從日常生活中的實際問題情境入手，通過細化教學環(huán)節(jié)，讓學生親身經歷把實際問題抽象成數學模型，再回到實際問題中解釋與應用.
數學課程標準在刻畫教學目標的動詞中，不僅使用了“了解”“理解”“掌握和靈活運用”等詞，而且還使用了“經歷（感受）”“體驗（體會）”“探索”等動詞.因此，教師在概念教學中應重視知識的形成過程.為此，筆者在設計中通過對每一個概念的形成過程進行細化，讓學生在實踐活動中體驗這些知識（抽樣方法）的由來，對每次學生活動都引導學生進行歸納總結、提煉，理解這些抽樣方法在實踐中的價值.
本節(jié)課的教學目標是讓學生正確理解隨機抽樣的概念，掌握用抽簽法、隨機數表法進行抽樣的一般步驟，引導學生在解決統(tǒng)計問題的過程中，學會用抽簽法和隨機數表法（統(tǒng)稱為“簡單隨機抽樣”）從總體中抽取樣本.通過活動讓學生感受學習抽樣統(tǒng)計的重要性和必要性.
二、內容解讀與教學定位
數據能夠幫助人們認識世界、作出科學的決策，而統(tǒng)計學正是與數據打交道的科學，用一句話來概括統(tǒng)計學：就是用以“收集數據、整理數據、分析數據、由數據得出結論”的概念、法則和方法.由此可以看出：學習統(tǒng)計學有助于學生適應現代社會的需要，有助于培養(yǎng)學生形成數據意識以及運用數據進行推斷的思考方式，有助于學生形成以數學的眼光看世界的習慣，增強學生運用數學分析問題、解決問題的能力.
在學習運用樣本估計總體的過程中，通過對具體數據的分析，讓學生體會到由于樣本數據具有隨機性，樣本所提供的信息在一定程度上反映了總體的有關特征，但與總體有一定的偏差.但是如果抽樣的方法比較合理，樣本信息可以比較好地反映總體的信息，從而為人們合理地決策提供依據.由此讓學生認識統(tǒng)計思維的特點和作用，體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異.
三、教學環(huán)節(jié)設計及其意圖
（一）溫故知新
【說說看】下列調查宜采用普查方式還是抽樣調查方式？
（1）一鍋水餃的味道；（抽查）
（2）旅客上飛機前的安全檢查；（普查）
（3）一批炮彈的殺傷半徑；（抽查）
（4）一批彩電的質量情況；（抽查）
（5）在“H7N9禽流感”期間，學校向上級主管部門匯報每天的病情.（普查）
設計意圖：通過復習初中乃至小學所學過的統(tǒng)計知識，回顧抽查與普查的區(qū)別，引導學生理解為什么有些調查需要普查，有些調查通過抽查就可以，并由此導入新課.
（二）問題情境
【情境1】假設你作為一名食品衛(wèi)生監(jiān)督人員，要對某食品店內的一批小包裝餅干進行衛(wèi)生達標檢驗，你準備怎樣做？
【情境2】學校的投影儀燈泡的平均使用壽命是3000小時，“3000小時”這樣一個數據是如何得出的`呢？
（三）學生活動
對于情境1，由于餅干的數量較大，不可能一一檢測，只要從中抽取一定數量的餅干作為檢驗的樣本即可.
對于情境2，因為考察燈泡的使用壽命帶有破壞性，所以只能從一批燈泡中抽取一部分（例如抽取10個）進行測試，然后用得到的這一部分燈泡的使用壽命的數據去估計這一批燈泡的壽命.
設計意圖：通過情境1、2的設置，加深學生理解統(tǒng)計的基本思想方法是用樣本估計總體，理解“抽樣”的必要性.當總體容量很大時，收集全部數據比較困難或檢測過程具有一定的破壞性.
（四）構建數學
【情境3】在1936年美國總統(tǒng)選舉前，一份頗有名氣的雜志的工作人員做了一次民意測驗，調查蘭頓和羅斯福誰將當選下一屆總統(tǒng).為了了解公眾意向，調查者通過電話簿和車輛登記簿上的名單給一大批人發(fā)了調查表（在1936年電話和汽車只有少數富人擁有），通過分析收回的調查表，顯示蘭頓非常受歡迎.于是此雜志預測蘭頓將在選舉中獲勝.實際選舉結果正好相反，最后羅斯福在選舉中獲勝.其數據如下表：
【問題1】如何科學地進行抽樣呢？
【歸納總結1】要使得樣本能比較準確地反映總體，抽樣時必須堅持科學的抽樣標準：“每一個個體被抽到的機會相同”.
設計意圖：有時抽出的樣本能夠正確反映總體情況，但有時不能全面、客觀、公正，甚至是錯誤地反映總體情況，通過情境3的設計，讓學生認識到如何科學合理地進行抽樣，讓學生去說“調查中只抽富人沒有抽窮人”，教師進行提煉歸納出“每一個個體被抽到的機會相同”.順其自然地過渡到簡單隨機抽樣概念的得出.
1.簡單隨機抽樣的概念
一般地，從個體數為N的總體中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本（n＜N），如果每個個體都有相同的機會被取到，那么這種抽樣方法稱為簡單隨機抽樣.
說明：讓學生通過概念中的字面意思去理解，強調四點：容量有限；逐個抽��；不放回抽樣；機會相同.
2.常見的簡單隨機抽樣
（1）抽簽法
【問題2】為了解某校高一（1）班50名學生的視力狀況，從中抽取10名學生進行檢查，你打算如何實施？
點撥：全查沒有配戴眼鏡的學生行嗎？全查女同學行嗎？全查男同學行嗎？……
【歸納總結2】一般地，用抽簽法從個體總數為N的總體中抽取一個容量為k的樣本的步驟：
①將總體中的N個個體編號；（編號）
②將這N個號碼寫在形狀、大小相同的號簽上；（制簽）
③將號簽放在同一箱中，并攪拌均勻；（攪勻）
④從箱中每次抽取1個號簽，連續(xù)抽取k次；（抽簽）
⑤將總體中與抽到的號簽編號一致的k個個體取出.（取樣）
設計意圖：通過問題2的設計，讓學生大膽地說出自己的想法與打算，教師啟發(fā)從而歸納出從容量為N的總體中抽取一個容量為k的樣本的一般步驟，并引導學生對此進行提煉：編號、制簽、攪勻、抽簽、取樣，并將其用流程圖（如圖1）加以表征.由此將思維的空間留給了學生，將教學創(chuàng)造的空間讓給了教師.
【隨堂檢測】
下列抽取樣本的方式屬于簡單隨機抽樣嗎？為什么？
①從無限多個個體中抽取100個個體作樣本；（不是）
②箱子里共有80個零件，從中選出5個零件進行質量檢驗，在抽樣操作中，從中任意取出一個零件進行質量檢驗后，再把它放回箱子.（不是）
③從8臺電腦中不放回地隨機抽取2臺進行質量檢驗（假設8臺電腦已編好號，對編號隨機抽�。�.（是）
設計意圖：通過三個問題的判斷，讓學生加深對簡單隨機抽樣定義的認識，起到鞏固和反饋的作用.
（2）隨機數表法
【問題3】要考察某公司生產的500克袋裝牛奶的質量是否達標，現從800袋牛奶中抽取60袋進行檢驗，若用抽簽法，你感覺怎么樣？
設計意圖：讓學生感受到當總體容量比較大時，編號、制簽都比較麻煩，那么有沒有簡化制簽的方法呢？由此自然順利地過渡到隨機數表法，起到承上啟下的作用.
閱讀教材第44～45頁，思考下列問題：
①隨機數表的定義？
②隨機數的產生方法主要有哪些？
③運用隨機數表法抽取樣本的一般步驟？
◆隨機數表：制作一個表（由數字0、1、2、…、9組成），表中各個位置上的數都是隨機產生的（隨機數），即每個數字在表中各個位置上出現的機會都是一樣的.
◆隨機數產生：①抽簽法；②拋擲骰子法；③計算機生成法.
◆隨機數表法：用隨機數表進行抽樣的方法.
設計意圖：讓學生帶著問題去閱讀教材和自主學習隨機數表法，目的是培養(yǎng)學生的自學能力、閱讀能力.
對于問題3，若用隨機數表法抽取，如何來具體實施呢？
第一步，先將800袋牛奶編號，可以編為000、001、…、799.
第二步，在隨機數表中任選一個數，例如選出第8行第7列的數7.（為了便于說明，下面選取了教材第124頁附錄1：隨機數表的第6行至第10行）
第三步，從選定的數7開始向右讀（讀數的方向也可以是向左、向上、向下等），得到一個三位數785，由于785＜799，說明號碼785在總體內，將它取出；繼續(xù)向右讀，得到916，由于916＞799，將它去掉，按照這種方法繼續(xù)向右讀，又取出567，199，507，…，依次下去，直到樣本的60個號碼全部取出，這樣我們就得到一個容量為60的樣本.
【歸納總結3】用隨機數表法抽取樣本的步驟：
①將總體中的個體編號（每個號碼位數一致）；（編號）
②在隨機數表內任選一個數作為開始；（定位）
③從選定的數開始按一定的方向讀下去，若得到的號碼在編號中，則取出，若得到的號碼不在編號中或前面已經取出，則跳過，如此繼續(xù)下去，直到取滿為止；（取數）
④根據選定的號碼抽取樣本.（取樣）
設計意圖：加深對隨機數表的理解，啟發(fā)學生如何正確的編號、如何用隨機數表進行取數，把握編號的科學性和取數的隨機性；引導學生對用隨機數表法抽取樣本的步驟進行歸納與提煉：編號、定位、取數、取樣，并將其用流程圖（如圖2）加以表征.
（五）數學運用
某學校高一年級共100名學生，為了了解這些學生的身高狀況，從中抽取一個容量為10的樣本.試分別給出用抽簽法和隨機數表法進行抽樣的操作步驟.
解法1：（抽簽法）將100名學生編號為1、2、…、100，并做好大小、形狀相同的號簽，分別寫上這100個數，將這些號簽放在一起，進行均勻攪拌，接著連續(xù)抽取10個號簽，然后抽取這10個號簽對應的學生.
解法2：（隨機數表法）將100名學生編號為00、01、…、99，在隨機數表中選定一個起始位置，如從第21行第1個數開始，選取10個為68、34、30、13、70、55、74、77、40、44，這10名學生即為所要抽取的樣本.
設計意圖：通過本例題的設計，一是加深學生對用抽簽法與隨機數表法抽取的步驟的理解；二是總結歸納兩種方法的優(yōu)缺點：抽簽法有簡單易行的優(yōu)點，適用于總體個數不多的情形；隨機數表法和抽簽法相比，利用隨機數表簡化了制簽的過程；抽簽法和隨機數表法都是簡單隨機抽樣，都是等可能抽樣，從而保證了抽樣的公平性.
（六）課堂小結
◆學了什么？
一個定義：簡單隨機抽樣.
二種方法：（1）抽簽法；（2）隨機數表法.
三大特性：（1）代表性；（2）等可能性；（3）隨機性.
◆為什么學？
（1）總體容量大，收集全部數據很困難；
（2）檢驗時帶有“破壞性”；
（3）科學預測與決策、文明社會發(fā)展……
◆怎么學？
自主學習、合作學習、體驗學習等.
◆學的怎么樣？
（由學生回答）
設計意圖：課堂小結的方式有很多類型，如流程圖型、知識點梳理型、概括式等.筆者通過漸進式小結，即學了什么（本節(jié)課所學的知識），為什么學（解決學習的目的），怎么學（掌握學習的方法，自主、合作、探究學習等），學的怎么樣（評價問題，最好的評價是學生自評）.
四、思考與感悟
數學概念教學是中學數學教學的重要組成部分.教師一定要根據學生的認知規(guī)律，注重概念的形成過程，保證數學概念教學的質量，提高學生的學習能力.
1.精心設計教學環(huán)節(jié)，讓學生在活動中獲得能力
本節(jié)課開始筆者設計了幾道有關普查與抽查的小題，通過創(chuàng)設三個不同思維層次的情境逐漸深入，讓學生意識到當總體容量較大或檢驗過程帶有破壞性時，只要從中抽取一定數量的個體作為檢驗的樣本；當每個個體被抽到的機會相同時，這樣的簡單隨機抽樣才是科學、合理的抽樣；當抽簽法和隨機數表法的一般步驟由學生進行總結提煉時，才能夠發(fā)現學生的潛能是如此的巨大；當學生能夠向老師提出問題時，學生才獲得真正的能力.如：用隨機數表法第一步是編號：00、01、02、…，有學生問為什么要這樣編號，而不是1、2、3、…？其實這樣編號的目的就是公平、合理的體現，同時也是數學中數字美的展現.
2.細化概念教學過程，揭示數學概念本質
筆者在教學環(huán)節(jié)設計過程中，做到預設與生成、細膩與重點突出，每一部分內容學習過后，對思想方法和知識點進行梳理歸納提煉.知識點之間過渡與銜接中，筆者也花了很大的工夫，如從抽簽法如何過渡到隨機數表法，筆者創(chuàng)設問題3情境，當總體的容量很大時，讓學生感受到編號、制簽都比較麻煩，提出有沒有簡化制簽的方法，順其自然引出隨機數表法.
總之，數學概念是反映現實世界的空間形式和數量關系的本質屬性的思維形式.它是思維的細胞，是構成數學知識大廈的基石，是進行邏輯思維的第一要素，是數學思想和方法的載體，也是解決數學問題的前提.因此，在數學教學中，要重視概念教學，通過精心設計教學環(huán)節(jié)，細化概念教學過程，引導學生親身、主動地經歷概念的形成過程，從而讓學生真正掌握數學概念.
作者介紹：董榮森，謝建金，江蘇省懷仁中學.
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