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數(shù)學(xué)線性規(guī)劃問題探究
作者簡介：周亞鋒（1996.4），男，漢族，湖北武漢市人，學(xué)生，學(xué)校：湖北省實(shí)驗(yàn)中學(xué)。
摘要：通過對實(shí)際生活中有關(guān)優(yōu)化問題的探討，運(yùn)用線性規(guī)劃知識，使問題情景數(shù)學(xué)化，特別是應(yīng)用圖解法有關(guān)可行解的理論，對有關(guān)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型的建立和求解給出了具體方法。
關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃；約束條件；目標(biāo)函數(shù)；圖解法
利用線性規(guī)劃知識建立有關(guān)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型，需要尋求決策變量x，在優(yōu)化問題中，通常有多個(gè)決策變量，常用一組不等式來描述即約束條件。在解決最優(yōu)解問題時(shí)，若用數(shù)量形式描述即目標(biāo)函數(shù)。對不同的問題，其目標(biāo)和條件的表現(xiàn)形式可以是各式各樣，但在數(shù)學(xué)看來，都可以概括為：求某一函數(shù)在一定約束條件下的最大（最小）值的問題。
一、線性規(guī)劃問題
1、不等式Ax+By+C>0
（1）當(dāng)B>0時(shí) y>-A/Bx-C/B表示直線Ax+By+C=0的上部分
（2）當(dāng)B （3）當(dāng)B=0時(shí)，當(dāng)A>0時(shí) x>-C/A表示直線x=-C/A的右方部分
當(dāng)A 2、點(diǎn)在直線同側(cè)還是異側(cè)的判斷
令A(yù)（x1，y1）B（x2，y2）L：Ax+By+C=0
（1）A，B在L的異側(cè)（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C） �。�2）A，B在L的同側(cè)（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）>0
3、不等式表示的平面區(qū)域
例如：|x|+|y|≤2 所表示的平面區(qū)域圖1
|x|+|y|-2≤0
x+y-2≤0
-x-y-2≤0
x-y-2≤0
-x+y-2≤0
圖1
二、建立優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型
下面通過實(shí)例看看如何形成約束條件和目標(biāo)函數(shù)。
例：某工廠甲、乙兩種產(chǎn)品，計(jì)劃每天各種產(chǎn)品的生產(chǎn)量不少于15t，已知如表1所示。
12問應(yīng)如何安排生產(chǎn)才能獲得最大利潤？
設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x（t），y（t），總利潤z（萬元）
則有約束條件：
9x+4y≤300
4x+5y≤200
3x+10y≤300
x≥15
y≥15
目標(biāo)函數(shù)為：zmax=7x+12y
概括上述問題的數(shù)學(xué)模型就是：求一組非負(fù)數(shù)x、y，使之滿足上述約束條件，且使目標(biāo)函數(shù)取得最大值。
三、用圖解法解線性規(guī)劃問題的方法
建立有關(guān)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型后，下一步就需要求解問題。由于目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性函數(shù)，在二維情況下，可行解的區(qū)域?yàn)橹本�段圍成的凸多邊形，于是，最優(yōu)解一定在凸多邊形的某個(gè)頂點(diǎn)處取得。
解決上述的實(shí)際問題：
約束條件：
9x+4y≤300
4x+5y≤200
3x+10y≤300
x≥15
y≥15
目標(biāo)函數(shù)為：zmax=7x+12y
由上述約束條件的5個(gè)不等式來確定可行解的區(qū)域。圖2中陰影部分為凸多邊形，其中每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都是線性規(guī)劃問題的一個(gè)可行解。
求目標(biāo)函數(shù)為：zmax=7x+12y取得最大值。
令z等于某一個(gè)常數(shù)，如z=366.69，411，417.246，428等分別做直線zmax=7x+12y，這些線都是互相平行的直線，即是目標(biāo)函數(shù)的等值線。當(dāng)z越來越大時(shí)，直線離開原點(diǎn)越來越遠(yuǎn)，最后，在滿足約束條件的所有解中，使z取得最大值的解將在可行域的邊界點(diǎn)A（20，24）處得到，即當(dāng)x=20、y=24時(shí)zmax=428（萬元）。
由上述可知，用圖解法解決實(shí)際問題的基本思路是：畫出由約束條件所確定的可行域S，然后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的梯度方向，在可行域S中選取最優(yōu)解（x，y），使所求的目標(biāo)函數(shù)有最大（最�。┲�。
總之，數(shù)學(xué)知識不單單可用于紙上解答問題，還可以解決實(shí)際生活中很多的問題，數(shù)學(xué)對人類的幫助很大。（作者單位：湖北省實(shí)驗(yàn)中學(xué)）
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