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選修2-2微積分基本定理習(xí)題及答案
選修2-2微積分基本定理習(xí)題及答案
一、選擇題
1．(2010·山東日照�？�)a＝?2xdx，b＝?2exdx，c＝?2sinxdx，則a、b、c的大小關(guān)系是
?0
?0?0
( )
A．a(chǎn)
1
[解析] a＝?2xdx＝2|02＝2，b＝?2exdx＝ex|02＝e2－1>2，c＝?2sinxdx＝－cosx|02＝1
2???
B．a(chǎn)
－cos2∈(1,2)，
∴c
2．(2010·山東理，7)由曲線y＝x2，y＝x3圍成的封閉圖形面積為( ) 1
12[答案] A
?y＝x2?
[解析] 由?3得交點(diǎn)為(0,0)，(1,1)． ?y＝x?
1
B. 4
1 3
7D. 12
1314??11
∴S＝?1(x2－x3)dx＝??3x－4x??0＝12. ?
[點(diǎn)評(píng)] 圖形是由兩條曲線圍成的時(shí)，其面積是上方曲線對(duì)應(yīng)函數(shù)表達(dá)式減去下方曲線對(duì)應(yīng)函數(shù)表達(dá)式的積分，請(qǐng)?jiān)僮鱿骂}：
(2010·湖南師大附中)設(shè)點(diǎn)P在曲線y＝x2上從原點(diǎn)到A(2,4)移動(dòng)，如果把由直線OP，直線y＝x2及直線x＝2所圍成的面積分別記作S1，S2.如圖所示，當(dāng)S1＝S2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是( )
416?A.??39? 415?C.??37? [答案] A
t3
[解析] 設(shè)P(t，t)(0≤t≤2)，則直線OP：y＝tx，∴S1＝?(tx－x)dx＝S2＝?2(x2－
6??
2
t
2
t
416B.??59 413D.??57
4168t34
tx)dx＝－2t，若S1＝S2，則t＝P??3，9. 363
3．由三條直線x＝0、x＝2、y＝0和曲線y＝x3所圍成的圖形的面積為( ) A．4
4
B. 3
18
5
D．
6
[答案] A
x4?2
[解析] S＝?xdx＝4?0＝4.
?
230
4．(2010·湖南省考試院調(diào)研)?1－1(sinx＋1)dx的值為( )
?
A．0
B．2 D．2－2cos1
C．2＋2cos1 [答案] B
[解析] ?1－1(sinx＋1)dx＝(－cosx＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.
?5．曲線y＝cosx(0≤x≤2π)與直線y＝1所圍成的圖形面積是( ) A．2π 3π
2[答案] A [解析] 如右圖， S＝∫02π(1－cosx)dx ＝(x－sinx)|02π＝2π.
[點(diǎn)評(píng)] 此題可利用余弦函數(shù)的對(duì)稱性①②③④面積相等解決，但若把積分區(qū)間改為
B．3π D．π
?ππ?，則對(duì)稱性就無(wú)能為力了． ?6?
6．函數(shù)F(x)＝?xt(t－4)dt在[－1,5]上( )
?0
A．有最大值0，無(wú)最小值 32
B．有最大值0和最小值－
332
C．有最小值－，無(wú)最大值
3D．既無(wú)最大值也無(wú)最小值 [答案] B
[解析] F′(x)＝x(x－4)，令F′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4， 73225
∵F(－1)＝－，F(xiàn)(0)＝0，F(xiàn)(4)，F(xiàn)(5)＝－.
33332
∴最大值為0，最小值為－.
3
[點(diǎn)評(píng)] 一般地，F(xiàn)(x)＝?xφ(t)dt的導(dǎo)數(shù)F′(x)＝φ(x)．
?0
1
7．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2＋n，函數(shù)f(x)＝?xdt，若f(x)
的取
?t
1
值范圍是( )
A.?
3? ?6?
－11
B．(0，e21) D．(0，e11)
C．(e，e)
[答案] D
1
[解析] f(x)＝?xdt＝lnt|1x＝lnx，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx
?t
1
8．(2010·福建廈門一中)如圖所示，在一個(gè)長(zhǎng)為π，寬為2的矩形OABC內(nèi)，曲線y＝sinx(0≤x≤π)與x軸圍成如圖所示的陰影部分，向矩形OABC內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)(該點(diǎn)落在矩形
OABC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的)，則所投的點(diǎn)落在陰影部分的概率是( )
1 π
2B. π
3 π
πD. 4
[答案] A
[解析] 由圖可知陰影部分是曲邊圖形，考慮用定積分求出其面積．由題意得S＝?π
?0
sinxdx＝－cosx|0π＝－(cosπ－cos0)＝2，再根據(jù)幾何概型的算法易知所求概率P＝212ππ
SS矩形OABC
x＋2?－2≤x
9．(2010·吉林質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝?的圖象與x軸所圍成的圖形面積S為π
2cosx?0≤x≤??2?( )
3
2
B．1
C．4
1D. 2
[答案] C
ππ
[解析] 面積S＝2f(x)dx＝?0－2(x＋2)dx＋∫2cosxdx＝2＋2＝4.
22?
10．(2010·沈陽(yáng)二十中)設(shè)函數(shù)f(x)＝x－[x]，其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[－1.2]x
＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函數(shù)g(x)＝－，f(x)在區(qū)間(0,2)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為m，f(x)與g(x)
3的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為n，則?ng(x)dx的值是( )
?m
5A．－
2
4B．－
3
5C．－
4[答案] A
7D．－
6
[解析] 由題意可得，當(dāng)0
－dx＝－?14＝－. 所以m＝1，n＝4，則?g(x)dx＝??6?2?m?1?3n
4
2
11．(2010·江蘇鹽城調(diào)研)甲、乙兩人進(jìn)行一項(xiàng)游戲比賽，比賽規(guī)則如下：甲從區(qū)間[0,1]上隨機(jī)等可能地抽取一個(gè)實(shí)數(shù)記為b，乙從區(qū)間[0,1]上隨機(jī)等可能地抽取一個(gè)實(shí)數(shù)記為c(b、c可以相等)，若關(guān)于x的方程x2＋2bx＋c＝0有實(shí)根，則甲獲勝，否則乙獲勝，則在一場(chǎng)比賽中甲獲勝的概率為( )
1
3
2B. 3
1 2
3D. 4
[答案] A
[解析] 方程x2＋2bx＋c＝0有實(shí)根的充要條件為Δ＝4b2－4c≥0，即b2≥c， 由題意知，每場(chǎng)比賽中甲獲勝的概率為pbdb??11×1
12
＝.
3
12．(2010·吉林省調(diào)研)已知正方形四個(gè)頂點(diǎn)分別為O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲線y＝x2(x≥0)與x軸，直線x＝1構(gòu)成區(qū)域M，現(xiàn)將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)地投入正方形中，則質(zhì)點(diǎn)落在區(qū)域M內(nèi)的概率是( )
1 21 3
1 425
[答案] C
[解析] 如圖，正方形面積1，區(qū)域M的面積為S＝?1x2dx
?0
111＝3|01＝，故所求概率p＝. 333
二、填空題
13．(2010·蕪湖十二中)已知函數(shù)f(x)＝3x2＋2x＋1，若?1－1f(x)dx＝2f(a)成立，則a＝
?
________.
1[答案] －1或
3
[解析] ∵?1－1f(x)dx＝?1－1(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|－11＝4，?1－1f(x)dx＝2f(a)，
???
∴6a2＋4a＋2＝4，
1
∴a＝－1或.
3
π1
14．已知a＝∫0(sinx＋cosx)dx，則二項(xiàng)式(a－)6的展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是
2x________．
[答案] －192
ππππ
[解析] 由已知得a＝∫(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)|＝(sin－cos－(sin0－cos0)
2222＝2，
(2x－
16－－
)的展開式中第r＋1項(xiàng)是Tr＋1＝(－1)r×C6r×26r×x3r，令3－r＝2得，r＝1，故其系數(shù)為(－1)1×C61×25＝－192.
15．拋物線y2＝2x與直線y＝4－x圍成的平面圖形的面積為________． [答案] 18
2??y＝2xy2
[解析] 由方程組?解得兩交點(diǎn)A(2,2)、B(8，－4)，選y作為積分變量x＝、
2?y＝4－x?
x＝4－y
∴S＝?
?
2－4[(4－y)－
y2y2y32
＝(4y－－
4＝18. 226
4
16．(2010·安徽合肥質(zhì)檢)拋物線y2＝ax(a>0)與直線x＝1圍成的封閉圖形的面積為3若直線l與拋物線相切且平行于直線2x－y＋6＝0，則l的方程為______．
[答案] 16x－8y＋1＝0
2
[解析] 由題意知?1axdxa＝1，
3?
設(shè)l：y＝2x＋b代入y2＝x中，消去y得， 4x2＋(4b－1)x＋b2＝0， 1
由Δ＝0得，b
8∴l(xiāng)方程為16x－8y＋1＝0.
17．(2010·福建福州市)已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的圖象如圖所示，它與x1
軸在原點(diǎn)處相切，且x軸與函數(shù)圖象所圍成區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為，則a的值為
12________．
[答案] －1
[解析] f ′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f ′(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a
11
S陰影＝－?0(－x3＋ax2)dx4＝，∴a＝－1.
1212?
a
三、解答題
18．如圖所示，在區(qū)間[0,1]上給定曲線y＝x2，試在此區(qū)間內(nèi)確定t的值，使圖中陰影部分的面積S1＋S2最�。�
2
[解析] 由題意得S1＝t·t2－?tx2dx＝t3，
3?
S2?
dx－t2(1－t)＝2t3－t21
2＝?1xt
3＋3，
所以S＝SS41
1＋2＝3t3－t2＋3≤t≤1)．
又S′(t)＝4t2－2t＝4t??t1
2， 令S′(t)＝0，得t1
2
t＝0.
因?yàn)楫?dāng)0
2
0.
所以S(t)在區(qū)間??0，12上單調(diào)遞減，在區(qū)間1
21??上單調(diào)遞增．所以，當(dāng)t＝11
2Smin＝4
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