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高中三角函數(shù)期末精講精練
三角函數(shù)期末精講精練
三角函數(shù)精講
一、基本概念、定義：
1. 角的概念推廣后，包括、、，與α終邊相同的角表示為。 終邊角： x軸上 y軸上 第一象限第二象限 第二四象限直線y＝x上 2. 弧度制：把叫1弧度的角。
公式：|α|＝— 換算：180°＝ 弧度； 1弧度＝ 度； 1°＝ 弧度 扇形： 弧長L＝ ＝ ，面積S＝ ＝ 3. 任意角的三角函數(shù)：
①定義：角α終邊上任意一點P(x，y)，則r＝ ，六個三角函數(shù)的定義依次是 、 、。
②三角函數(shù)線：角的終邊與單位圓交于點P，過點P作 軸的垂線，垂足為M，則 A(1,0)作，交T，則。 ③同角三角函數(shù)關(guān)系式：
平方關(guān)系： 商數(shù)關(guān)系： 倒數(shù)關(guān)系：
（1～2要求能熟練運用：順用、逆用、變形用，3～6要求能證明，不記憶） 1．和、差角公式
sin(???)? cos(???)?
tan(???)?
2．二倍角公式
sin2?? cos2?? ＝ ＝ tan2?? 倍角公式變形：降冪公式
sin?cos?? sin2?? co2s??
3．半角公式(書P45～46)
sin
?
2
??
1?cos???cos???cos?sin?1?cos?
, cos??, tan?? ??22221?cos?1?cos?sin?
2tan
?2
1?tan2
??
；tan??2
2tan1?tan
?2
4．萬能公式： sin??
1?tan
?2
；cos??
1?tan
2
?2
．
5．積化和差公式(書P46～47)
第 1 頁 共 8 頁
11
sin?cos??[sin(???)?sin(???)]； cos?sin??[sin(???)?sin(???)]；
2211
cos?cos??[cos(???)?cos(???)]； sin?sin???[cos(???)?cos(???)]．
22
6．和差化積公式(書P46～47)
????????????
； sin??sin??2cos； sinsin??sin??2sincos
2222
????????????
； cos??cos???2sin． cos??cos??2coscossin
2222
應(yīng)用公式解題的基本題型：化簡、求值、證明 基本技巧：
①1的妙用：1＝ ＝ ＝
②變角： (x+y)＋(x－y)＝ (x+y)＋(x－y)＝ α＝ ＝ ＝ 等 ③變名：切化弦；弦化切
④化一：a sinx＋b cosx＝
1、 作圖：五點法，依次取ωx＋ψ＝ 2、 周期T＝
3、 單調(diào)區(qū)間：A?ω>0時，增區(qū)間：解不等式 ≤ωx＋ψ≤ 減區(qū)間：解不等式 ≤ωx＋ψ≤
A?ω
減區(qū)間：解不等式 ≤ωx＋ψ≤ 4、最大值：A>0時，當ωx＋ψ＝ 時，y取最大值A(chǔ)。 最小值：A>0時，當ωx＋ψ＝ 時，y取最小值－A。
5、概念：振幅T＝；頻率f＝；相位。 6、三角變換： (A>0，ω>0)
將y＝sinx的圖像—————————>y＝sin(x＋ψ) ——————————>y＝sin(ωx＋ψ)
第 2 頁 共 8 頁
——————————>y＝Asin(ωx＋ψ)
或者： 將y＝sinx的圖像—————————>y＝sin(ωx) —————————>y＝sin(ωx＋ψ) ——————————>y＝Asin(ωx＋ψ)
7、聯(lián)系： y＝tan((ωx＋ψ) (ω>0)的周期是T＝ ，單調(diào) 區(qū)間是解不等式 。
五、反三角定義：
1.在閉區(qū)間 上，符合條件sinx＝a (-1≤a≤1)的角x叫a的反正弦，記作：x＝ 在閉區(qū)間 上，符合條件cosx＝a (-1≤a≤1)的角x叫a的反余弦，記作：x＝ 在開區(qū)間 上，符合條件tanx＝a的角x叫a的反正切，記作：x＝ 2.反三角的三角函數(shù)、三角函數(shù)的反三角：
例：sin(arcsinx)＝ ，其中x∈[-1,1]；arcsin（sinx）＝ ，其中x∈[－
??
，]； 22
六、數(shù)學(xué)思想方法： 數(shù)形結(jié)合思想，例如：解三角不等式可以用 、或 ；
整體思想，例如：研究函數(shù)y＝Asin(ωx＋ψ)的圖像和性質(zhì)可以把 看成整體
三角函數(shù)精練
A
α
⒈ 已知α是鈍角，那么 是 （ ）
2
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一與第二象限角 D．不小于直角的正角
2． 角α的終邊過點P（－4k，3k）(k＜0}，則cosα的值是 （ ）
3 434A． B． C．－ D．－ 5555
3．已知點P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，則在［0，2π］內(nèi)，α的取值范圍是 ( )
π3π5πππ5πA．( ∪(π， B．( )∪(π，
244424π3π5π3πππ3πC．( ， )∪， D．( )∪( ，π)
2442424
34
4．若sinx= － cosx = ，則角2x的終邊位置在 ( )
55
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2π
5．若4π＜α＜6π，且α與－ 終邊相同，則α= ．
3
6． 角α終邊在第三象限，則角2α終邊在 象限．
7．已知｜tanx｜=－tanx，則角x的集合為 8．如果θ是第三象限角，則cos(sinθ)?sin(sinθ)的符號為什么？
9．已知扇形AOB的周長是6cm，該扇形中心角是1弧度，求該扇形面積．
B
1．sin600°的值是 （ ）
11A B．－ C． D．－
2222ππ
2． α)sinα）的化簡結(jié)果為 （ ）
44
11
A．cos2α B．cos2α C．sin2α D． sin2α
22
1
3．已知x∈［0，π］，則tanx的值是 （ ）
5
第 3 頁 共 8 頁
34434A．－ B．－ C．± D或－43343
11
4．已知tanα=－，則= ．
3 2sinαcosα+cosα5．
的值為 ．
cos10°－1－cos170°
1+2sinαcosα1+ tanα
6． = cosα－sinα 1－tanα
2sinθ+cosθ
7．已知－5，求3cos2θ+4sin2θ的值．
sinθ－3cosθ
8．已知銳角α、β、γ滿足sinα+sinγ=sinβ，cosα－cosγ=cosβ，求α－β的值．
C.
π34
1．已知0＜αβ＜π，sinα=，cos(α+β)=－sinβ等于 （ ）
255
242424
A．0 B．0或 C． D．0或－
252525
sin7°+cos15°sin8°2． 的值等于 （ ）
cos7°－sin15°sin8°
2－3 2+3
A．2+ B． C．2－ D．
22
3． △ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，則∠C的大小為 （ ）
π5ππ5ππ2πA． B． C． D． 或666633
π1
4．若α是銳角，且sin(α－cosα的值是 ．
63
π2π3π
5．coscos
777
11
6．已知tanθtanφ=，且θ、φ都是銳角．求證：θ+φ=45°．
23
π3π44
7．已知cos(α－β)=－，cos(α+β)= ，且（α－β）∈（，π），α+β∈（2π），求cos2α、
5522
cos2β的值．
tanα11
8． 已知sin(α+β)= sin(π+α－β)= ．
23tanβ
D
1．cos75°+cos15°的值等于 （ ）
6 6 2 2 A． B － C． － D．
22222 2
2．a(chǎn)=（sin17°+cos17°），b=2cos213°－1，c= ，則 （ ）
22
A．c＜a＜b B． b＜c＜a C． a＜b＜c D． b＜a＜c
1+sin2θ-cos2θ
3．
1+sin2θ+cos2θ
4．化簡sin(2α+β)－2sinαcos(α+β．
ACAC
5．在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，則tan3 tantan ．
2222
22
6．化簡sinA+sinB+2sinAsinBcos(A+B)． 7 化簡sin50°3 tan10°)．
8 已知sin(α+β)=1，求證：sin(2α+β)+sin(2α+3β)=0．
E
1．函數(shù)y=lg(2cosx－1)的定義域為 （ ）
第 4 頁 共 8 頁
1－2sin10°cos10°
ππππ
A．{x｜－＜x B．{x｜－x＜
3366
ππππ
C．{x｜2kπ－＜x＜2kπ+k∈Z} D．{x｜2kπ－x＜2kπ+，k∈Z}
3366π
2．如果α
http://www.wenku1.com/news/55D4C7C06FF3FBE2.html 、βπ），且tanα＜cotβ，那么必有 （ ）2
3π3π
A．α＜β B． β＜α C． α+β＜ D． α+β＞
22
3．若f(x)sinx是周期為π的奇函數(shù)，則f(x)可以是 （ ）
A．sinx B． cosx C． sin2x D． cos2x 4．下列命題中正確的是 （ ）
A．若α、β是第一象限角，且α＞β，且sinα＞sinβ
ππ
B．函數(shù)y=sinxcotx的單調(diào)遞增區(qū)間是（2kπ－2kπ+），k∈Z
22
1－cos2x
C．函數(shù)y=的最小正周期是2π
sin2x
kππ
D．函數(shù)y=sinxcos2φ－cosxsin2φ的圖象關(guān)于y軸對稱，則φ=k∈Z
24
xx
5．函數(shù)2π，2π）內(nèi)的遞增區(qū)間是 ．
2266
6．y=sinx+cosx的周期為
ππ
7．比較下列函數(shù)值的大小：（1）sin2，sin3，sin4； (2)cos2θ，sin2θ，tan2θ（＜θ＜）．
42
kπ
8．設(shè)f(x)=sin(x+) (k≠0) ．
53
(1)寫出f(x)的最大值M，最小值m，以及最小正周期T；
（2）試求最小的正整數(shù)k，使得當自變量x在任意兩個整數(shù)間（包括整數(shù)本身）變化時，函數(shù)f(x)至少
有一個M與m．
F. 1
1．函數(shù)y= sin(2x+θ)的圖象關(guān)于y軸對稱的充要條件是 （ ）
2
ππ
A．θ=2kπ+ B．θ=kπ C．θ=2kπ+π D．θ=kπ+π(k∈Z)
22
π
2．先將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象作關(guān)于y軸的對稱變換，則所得函數(shù)圖
3象對應(yīng)的解析式為 （ ）
ππ
A．y=sin(－2x+ ) B．y=sin(－2x－)
33C．y=sin(－2x+
2π2π
) D． y=sin(－2x－) 33
3．右圖是周期為2π的三角函數(shù)y=f(x)的圖象，
那么f(x)可以寫成 （ ）
A．sin(1+x) B． sin(－1－x) C．sin(x－1) D． sin(1－x) 1π
4．y=tan(－)在一個周期內(nèi)的圖象是 （ ）
23
?
O
5．已知函數(shù)y=2cosx(0≤x≤2π)的圖象與直線y=2圍成一個封閉的平面圖形，則該封閉圖形面積
是 ． 6．將y=sin(3x－
ππ
的圖象向（左、右） 個單位可得 63
π4π11
7．已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)，在同一個周期內(nèi)，當x=x= 若A
9292
π
＞0，ω＞0，｜φ｜＜，求該函數(shù)的解析表達式．
2
8．已知函數(shù)y=3 sinx+cosx，x∈R． (1)當y取得最大值時，求自變量x
（2）該函數(shù)的圖象可由y=sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？
9．如圖：某地一天從6時到14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b（1）求這段時間的最大溫差；
（2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式．
G 1．函數(shù)y=A1
的最大值是 （ ）
2+sinx+cosx
2 2 2 2 －1 B． ＋1 C． 1－ D． －1－ 2222
2．若2α+β=π，則y=cosβ－6sinα的最大值和最小值分別為 （ ） A．7，5 B． 7，－
1111
C． 5，－ D． 7，－5 22
πsinx+1
3．當0≤x≤時，函數(shù)f(x)= 的 （ ）
2 cosx+1
1
A．最大值為2，最小值為 B．最大值為2，最小值為0
2C．最大值為2，最小值不存在 D．最大值不存在，最小值為0
π
4．已知關(guān)于x的方程cos2x－sinx+a=0，若0＜x＜a的取值范圍是（ ）
25
A．［－1，1］ B．（－1，1） C．［－1，0］ D．
45．要使sinα3 cosα=
4m－6
有意義，則m的取值范圍是 ． 4－m
π
6．若f(x)=2sinωx(0＜ω＜1），在區(qū)間［0，］上的最大值為2 ，則ω= ．
37．y=sinxcosx+sinx+cosx，求x∈［0，
π
］時函數(shù)y的最大值． 3
第 6 頁 共 8 頁
8．已知函數(shù)f(x)=－sin2x－asinx+b+1的最大值為0，最小值為－4，若實數(shù)a＞0，求a，b的值．
π
9．已知函數(shù)f(x)=2cos23 sin2x+a，若x∈［0，］，且｜f(x)｜＜2，求a的取值范圍．
2
H
1．△ABC中，3 =3 tanAtanB，sinAcosA=
3
（ ） 4
A．等邊三角形 B．鈍角三角形
C．直角三角形 D．等邊三角形或直角三角形
2．在△ABC中，已知（b+c）∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，則此三角形的最大內(nèi)角為 （ ） A．120° B．150° C．60° D．90°
3．若A、B是銳角△ABC的兩個內(nèi)角，則點P（cosB－sinA，sinB－cosA）在 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC=5∶12∶13，則cosA= ．
5．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，則∠C的大小為．
6．已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊，S是△ABC的面積，若a=4，b=5，s=53 ，求c的長度．
7．在△ABC中，sin2A－sin2B+sin2C=sinAsinC，試求角B的大�。� 8．半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上一點，且OA=2， B為半圓上任意一點，以AB為邊向外作等邊△ABC，問B
點在什么位置時，四邊形OACB的面積最大，并求出這個最
大面積．
三角函數(shù)答案
16π
A1． A 2． B 3． B 4． D 5． 6．一、二
37．{2kπ+
π3π
＜x＜2kπ+π或2kπx＜2kπ+2π ，k∈Z＝ 8．負 9． 2cm2． 22
π107
B1． D 2． B 3． B 4． 5． 1 6． 略 7 8353
C1． C 2． C 3． A 4．2
71
7． cos2α=－cos2β=－1 8．
255
－11
5． 6．略 68
D1． A 2． A 3． tan θ 4． sinβ 5． 6． sin2（A＋B）．
7. 1 8 .略．
E1． C 2． C 3． B 4． D 5． [－ 7．（1）sin4 ＜sin3＜ sin2 （2）cos2θ＜sin2θ＜tan2θ
2π10π8．（1）M=1，m=－1，T= k≠0）． （2）k=32．
k | k |5
π
F1． B 2． D 3． D 4． A 5． 4 π 6．左，
3ππ, π) 6． 22
6
第 7 頁 共 8 頁
πππ1
7． y= sin(3x+) 8．（1）{x｜x=+2kπ，k∈Z｝； （2）將y=sinx的圖象向左平移2636
數(shù)y=sin(x+的圖象．
π
6
π
）的圖象，再將所得圖象上各點橫坐標不變，縱坐標伸長到原來的2倍，得到函數(shù)y=2sin(x+6
π3π
9．（1）最大溫差20℃； （2）y=10sin(x+20，x∈[6，14]．
84
37
G1． B 2． D 3． A 4． A 5． －1≤m≤ 6．
3
4
7．1
2+2 8．a(chǎn)=2, b=－2 9．－2＜a＜－1 H1． A 2． A 3． B 4． 12
13 5． π6 6．8． 設(shè)∠AOB=θ，θ=
5π6時，S53
最大值 =2+4
第 8 頁 共 8 頁
21 61 7． π3
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