- 相關(guān)推薦
會議籌備問題數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀模板
青島科技大學(xué)自動化與電子工程學(xué)院測控技術(shù)與儀器131
會議籌備問題
摘 要
本文主要研究會議的籌備問題。一次成功的會議，是以前期充分的籌備為前提的。會議籌備的完善與否，將直接關(guān)系著會議的經(jīng)費(fèi)問題，調(diào)動人員是否方便以及與會代表的滿意程度，因此，會議籌備的優(yōu)化問題具有重要意義。本文對此問題建立了線性擬合，線性規(guī)劃等數(shù)學(xué)模型并利用Matlab軟件及Lingo軟件解決了優(yōu)化問題。
首先根據(jù)以往幾屆會議代表回執(zhí)和與會情況預(yù)測與會人數(shù)，通過線性擬合的方法對近幾屆發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)與實(shí)際的到會人數(shù)之間利用Matlab軟件進(jìn)行了直線擬合和曲線擬合，并通過線性回歸的方法選取較為準(zhǔn)確的預(yù)測值，預(yù)測出第五屆與會人數(shù)為639人。再由與會人數(shù)和代表有關(guān)住房要求預(yù)訂賓館的客房，預(yù)訂時(shí)考慮到經(jīng)濟(jì)，方便和代表是否滿意三方面的優(yōu)化，建立了線性規(guī)劃模型，實(shí)現(xiàn)了賓館的選擇和客房的分配，利用Lingo軟件求解所得結(jié)果見模型求解部分表6。然后對會議室的租借問題進(jìn)行了求解，同樣建立了線性規(guī)劃模型，得到會議只安排結(jié)果為：選擇2號賓館130人間2個，3號賓館150人間1個，7號賓館140人間2個，200人間1個。
由于事先無法知道哪些代表準(zhǔn)備參加哪個分組會，所以在向汽車租賃公司租用客車接送代表時(shí)，首先明確了在每個旅館入住的代表人數(shù)，又計(jì)算出每個旅館需要出行的人數(shù)，再根據(jù)出行代表人數(shù)安排車輛，考慮到經(jīng)濟(jì)和方便兩個方面，得出結(jié)果見模型求解中表9所示。
最后本文對模型進(jìn)行了客觀的評價(jià)，提出了對模型進(jìn)行改進(jìn)的建議，并對模型在其它領(lǐng)域的應(yīng)用做了推廣。
關(guān)鍵詞：線性擬合；精度分析；線性規(guī)劃；優(yōu)化分析
1. 問題重述
某市的一家會議服務(wù)公司負(fù)責(zé)承辦某專業(yè)領(lǐng)域的一屆全國性會議，會議籌備
組要為與會代表預(yù)訂賓館客房，租借會議室，并租用客車接送代表。由于預(yù)計(jì)會議規(guī)模龐大，而適于接待這次會議的幾家賓館的客房和會議室數(shù)量均有限，所以只能讓與會代表分散到若干家賓館住宿。為了便于管理，除了盡量滿足代表在價(jià)位等方面的需求之外，所選擇的賓館數(shù)量應(yīng)該盡可能少，并且距離上比較靠近。 籌備組經(jīng)過實(shí)地考察，篩選出10家賓館作為備選，它們的名稱用代號①至⑩表示，相對位置見附圖，有關(guān)客房及會議室的規(guī)格、間數(shù)、價(jià)格等數(shù)據(jù)見附表1。
根據(jù)這屆會議代表回執(zhí)整理出來的有關(guān)住房的信息見附表2。從以往幾屆會議情況看，有一些發(fā)來回執(zhí)的代表不來開會，同時(shí)也有一些與會的代表事先不提交回執(zhí)，相關(guān)數(shù)據(jù)見附表3。附表2，3都可以作為預(yù)訂賓館客房的參考。
需要說明的是，雖然客房房費(fèi)由與會代表自付，但是如果預(yù)訂客房的數(shù)量大于實(shí)際用房數(shù)量，籌備組需要支付一天的空房費(fèi)，而若出現(xiàn)預(yù)訂客房數(shù)量不足，則將造成非常被動的局面，引起代表的不滿。
會議期間有一天的上下午各安排6個分組會議，籌備組需要在代表下榻的某幾個賓館租借會議室。由于事先無法知道哪些代表準(zhǔn)備參加哪個分組會，籌備組還要向汽車租賃公司租用客車接送代表�，F(xiàn)有45座、36座和33座三種類型的客車，租金分別是半天800元、700元和600元。
請你們通過數(shù)學(xué)建模方法，從經(jīng)濟(jì)、方便、代表滿意等方面，為會議籌備組制定一個預(yù)訂賓館客房、租借會議室、租用客車的合理方案。
2. 模型假設(shè)
1) 由于賓館的會議室最大規(guī)模為200人，所以假設(shè)分組會議的最大規(guī)模為200
人；
2) 假設(shè)備選賓館及車輛閑置，可供我們?nèi)我膺x擇；
3) 假設(shè)代表是否滿意只與是否分到符合自己住房要求的房間有關(guān)； 4) 假設(shè)提出住房要求的代表回執(zhí)數(shù)即為發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)量；
5) 假設(shè)預(yù)測人數(shù)住房要求情況比例與回執(zhí)中代表住房要求比例相同； 6) 假設(shè)每個代表參加每個會議的概率為1/6；
3. 通用符號說明
4.模型的建立與求解
4.1問題分析
若要從經(jīng)濟(jì)、方便、代表滿意幾個方面制定一個合理方案，打算首先預(yù)測今年與會人數(shù)，擬建立線性擬合模型，想要根據(jù)以往幾屆會議代表回執(zhí)和與會情況預(yù)測與會人數(shù)進(jìn)行直線擬合與曲線擬合，求值以后再進(jìn)行比較，通過Matlab軟件求得直線擬合與曲線擬合的方程，得到兩個預(yù)測值，準(zhǔn)備利用靈敏度分析獲得一個更加精確的預(yù)測值；再打算進(jìn)行住房的安排，擬建立線性規(guī)劃模型，根據(jù)經(jīng)濟(jì)原則，兼顧代表回執(zhí)中的住房要求，完成住房安排。同樣打算利用線性規(guī)劃的方法解決會議室租借的問題。在完成客車的租借時(shí)，由于事先無法知道哪些代表準(zhǔn)備參加哪個分組會，首先想要明確在每個旅館入住的代表人數(shù)，再計(jì)算出每個旅館需要出行的人數(shù)，最后在經(jīng)濟(jì)和方便的原則下，根據(jù)出行代表人數(shù)安排車輛。 4.2模型準(zhǔn)備
1) 對附表二中所給出信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)可知，第五屆發(fā)來回執(zhí)數(shù)為755。 2) 在確定賓館、入住房間及人員數(shù)量時(shí)，我們根據(jù)經(jīng)濟(jì)、方便、代表滿意的前
提，遵循選定賓館數(shù)量最少、.各賓館之間距離最近、代表滿意三個原則，對題目所給的數(shù)據(jù)進(jìn)行了預(yù)處理，見附錄2中表1，表2，表3，表4，表5。
通過賓館的位置分布圖可以看出7號賓館的位置與周圍多家賓館相近，交通最為方便，所以，選取了7號賓館為中心尋找其他賓館。
3) 在租借會議室時(shí)，由于會議期間有第一文庫網(wǎng)一天的上下午各安排6個分組會議，籌備組需要在代表下榻的某幾個賓館租借會議室，且事先無法知道哪些代表準(zhǔn)備參加哪個分組會，所以，如不考慮每組會議的人數(shù)我們可以選擇7號賓館，既可以滿足人數(shù)上的需求，又只在一個賓館，比較方便，而且花費(fèi)最少。 4.3模型建立
4.3.1預(yù)測今年與會人數(shù)時(shí)采用線性擬合模型 1) 線性擬合原理[1]
一元線性擬合是指兩個變量x、y之間的直線因果關(guān)系，
Yi??0??1Xi??i(i?1,2,...,n)(1)
其中，(Xi,Yj)表示(X,Y)的第i個觀測值，?0，?1為參數(shù)，?0??1Xi為反映統(tǒng)計(jì)關(guān)系直線的分量，?i為反映在統(tǒng)計(jì)關(guān)系直線周圍散布的隨機(jī)分量，?i~N(0,?2)，式(1)中?0，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對?0和?1進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，?i服從正態(tài)分布。?1均為未知數(shù)，tyrsz?0和?1的估計(jì)值為b0和b1，建立一元線性方程：
Y?b0?b1X(2)
^
一般而言，所求的b0和b1應(yīng)能使每個樣本觀測點(diǎn)(Xi,Yj)與擬合直線之間的偏差盡可能小。
2) 最小二乘原理[1]
利用最小二乘原理，可以選出一條最能反映Y與X之間關(guān)系規(guī)律的直線。令
Q??[Yi?(b0?b1Xi)]2(3)
i?1n
其中Q達(dá)到最小值，b0和b1稱為最小二乘法估計(jì)量，根據(jù)微積分中極值的必要條件
n
?Q
??2?[Yi?(b0?b1Xi)]?0(4) ?b0i?1
n
?Q
??2?[Yi?(b0?b1Xi)]Xi?0(5) ?b1i?1
n
b1?
?(X
i?1
ni?1
i
?X)Yi
(6)
?(X
i
?X)2
b0?Y?b1X(7)
殘差ei?Yi?Y?Yi?b0?b1Xi代表觀測點(diǎn)對于擬合直線的誤差。
可以證明
^
?(Y?Y)??(Y?Y)??(Y?Y)
2
2
i
i
i
i?1
i?1
i?1
nn
^
n
^
2
(8)
殘差越小，各觀測值聚焦在擬合直線周圍的緊密程度就越大，說明直線與觀測值的擬合越好。
3) 選取擬合程度更好的曲線
為了曲線擬合的優(yōu)劣，取m?1,2,3,4四種曲線類型，以便觀測m取值不同時(shí)，多項(xiàng)式擬合程度的好壞，從而選取一條擬合誤差較小的曲線。
擬合優(yōu)度R是衡量所配曲線擬合原始數(shù)據(jù)效果好壞的指標(biāo)，擬合優(yōu)度：
R?(9)
其中，擬合優(yōu)度R的取值為?0,1?，R越接近1時(shí)所配曲線擬合效果越好，根據(jù)擬合優(yōu)度R來選取較為理想的曲線類型。 4.3.2線性規(guī)劃模型[2]
(一) 在確定住房安排時(shí)，模型建立過程如下： 1) 確定目標(biāo)函數(shù)
為了確定賓館i是否被預(yù)定，引入0-1變量，確定賓館數(shù)量，即：
?1fi??(10)
?0
其中1代表預(yù)訂賓館，0代表不預(yù)訂賓館。
根據(jù)題意要求，本文將預(yù)訂賓館數(shù)量最少作為目標(biāo)函數(shù) 即：
minz??fi(11)
i?1
n
2) 確定約束條件
約束條件一：由于單人間數(shù)量不足，獨(dú)住的人可以安排在雙人間，所以雙人間數(shù)量要比實(shí)際合住數(shù)量多,因此：n所賓館的第j類住房數(shù)量之和不小于預(yù)訂第
j類住房的總數(shù)量（j=1,2,3分別代表附表中的前三種情況），即：
?x
i?1
n
ij
?aj(j?1,2,3)(12)
賓館的第j類住房數(shù)量之和不大于預(yù)訂第j類住房的要求總數(shù)量（j=4,5,6分別代表附表中的后三種情況），即：
?x
i?1
n
ij
?aj(j?4,5,6)(13)
約束條件二：預(yù)訂賓館i的房間數(shù)之和不大于賓館i的房間總數(shù)，即：
?x
j?1
6
ij
?bifi(14)
約束條件三：由于單間數(shù)量不足，為滿足代表們獨(dú)住的要求，需使得合住1與獨(dú)住1，合住2與獨(dú)住2，合住3與獨(dú)住3，分別滿足預(yù)訂房間的總和不小于與會代表實(shí)際需求的房間數(shù)k，l，m，即：
?x??x
i1i?1n
i?1n
i5
nn
i4
?k(15)
?x??x
i?1
i?1
i2
?l(16)
?x??x
i3i?1
i?1
nn
i6
?m(17)
約束條件四：預(yù)訂i賓館j類房間的數(shù)量不大于該種的房間數(shù)量，即：
xij?Aij(18)
其中，Aij為賓館i第j種房間的數(shù)量。 3) 綜上所述建立模型
minz??fi(19)
i?1
n
?n
??xij?aj(j?1,2,3)?i?1?n
??xij?aj(j?4,5,6)?i?1?6
??xij?bifi?j?1
n??n
s..t??xi1??xi4?k(20)
i?1?i?1
n?n
??xi5??xi2?l
i?1?i?1
n?n
??xi3??xi6?m
i?1?i?1
?xij?Aij???
(二) 在完成會議室的租借問題時(shí)，建立模型如下： 1) 確定目標(biāo)函數(shù)
為了預(yù)測會議室的選址，再次引入0，1?變量，建立以會議室租金為目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃模型。設(shè)共有n個會議室可以租借，fi代表0或1，其中0代表不租用會議室，1代表租用會議室。根據(jù)經(jīng)濟(jì)性的原則，為了使花費(fèi)最少，則使目標(biāo)函數(shù)為：租用會議室租金?選定各賓館會議室租金乘以fi。即
min??qifi(21)
i?1
n
2) 約束條件
若一共有n間會議室，有p組會議，且會議室可容納人數(shù)大于與會代表總?cè)藬?shù)N，則
?n
??fi?p?i?1
(22) ?n
?cf?N?ii??i?1
4.4模型求解
4.4.1預(yù)測今年與會人數(shù)
我們打算根據(jù)今年發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)量來預(yù)測今年到會的人數(shù)，由于實(shí)際到
會人數(shù)?發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)量?發(fā)來回執(zhí)但未與會的代表數(shù)量?未發(fā)回執(zhí)而與會的代表數(shù)量，故先對以往幾屆會議代表回執(zhí)和與會情況進(jìn)行了整理得到表6如下：
為使預(yù)測值盡可能的精確，分別采用直線擬合與曲線擬合的方法求值以后再進(jìn)行比較。對發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)與實(shí)際的到會人數(shù)之間的關(guān)系使用Matlab軟件進(jìn)行直線擬合與曲線擬合。 由Matlab軟件求解得到： 1) 直線擬合方程
y?0.8096x?26.9620(23)
所以預(yù)測第五屆與會人數(shù)為639人。 2) 曲線擬合方程
y??0.0001x2?0.9345x?2.2607(24)
所以預(yù)測第五屆與會人數(shù)為647人。
為了比較這兩種擬合的優(yōu)劣，利用Matlab軟件進(jìn)行曲線回歸。 線性回歸結(jié)果如圖1，圖2所示：
圖1
圖2
二次曲線回歸結(jié)果如圖3，圖4所示：
圖3
圖4
由此可知，對于線性回歸方程，R?0.9992；對于二次曲線回歸方程，
R?0.9993。比較兩者R值，可以確定二次曲線回歸較為理想，因此，本文考慮
二次曲線回歸模型進(jìn)行研究。所以我們預(yù)測第五屆與會人數(shù)為639人。
4.4.2確定住房安排
目標(biāo)函數(shù)：
minz??fi(25)
i?110
約束條件：
?10
??xij?aj(j?1,2,3)?i?1?10
??xij?aj(j?4,5,6)?i?1?6
??xij?bifi?j?1
10??10
s..t??xi1??xi4?248(26)
i?1?i?1
10?10
??xi5??xi2?152
i?1?i?1
10?10
??xi3??xi6?75
i?1?i?1
?xij?Aij???
運(yùn)用Lingo進(jìn)行求解程序及結(jié)果見附錄4。
根據(jù)Lingo結(jié)果，確定賓館選擇1、2、3、7號，在這4家賓館中，根據(jù)經(jīng)濟(jì)的原則，并考慮到代表回執(zhí)中的住房要求，將賓館房間進(jìn)行了安排，結(jié)果如表7所示：
表7住房的安排
4.4.3租借會議室的安排
由于事先無法預(yù)知哪些代表準(zhǔn)備參加哪個分組會議，我們假設(shè)每名代表參加每個分組會議的概率都為1/6，所以639名代表參加每個會議的人數(shù)約為總數(shù)的
1/6，每組約107人，為保證會議室人數(shù)足夠，我們選用人數(shù)大于等于110人的
會議室，可以使用的會議室有1號3間，記f1，f2，f3，2號3間，記f4，f5，
f6，3號2間，記f7，f8，7號3間，記f9，f10，f11。
目標(biāo)函數(shù)為：
min?1500f1?1200f2?1200f3?1000f4?1000f5?1500f6?1200f7?1000f8?800f9?800f10?1000f11
約束條件為：
?f1?f2?f3?f4?f5?f6?f7? f8?f9?f10?f11?6?
?200f1?150f2?150f3?130f4?130f5?180f6?200f7?150f8?140(f9?f10)?200f11?639
利用Lingo軟件求解，可得租借會議室時(shí)，選擇2號賓館130人間2個，3號賓館150人間1個，7號賓館140人間2個，200人間1個，每半天共花費(fèi)5600元。
4.4.4租用客車的安排
根據(jù)住房安排，先將人員如下歸納：
由于7號賓館的會議室最多，而且交通比較方便，所以，首先選擇7號賓館作為中心，保證7號賓館人足夠多，方便開會，在雙標(biāo)間都安排合住的代表，使人數(shù)達(dá)到上限163人；其次，不能出現(xiàn)空房，所以，需要保證預(yù)定的單人間都有代表入��；在此基礎(chǔ)上，安排剩余的雙標(biāo)間可以代表合住，也可獨(dú)住，2號賓館的會議室有兩間，僅次于7號賓館，所以，在2號賓館也應(yīng)安排盡量多的代表，同時(shí)，考慮代表的滿意程度，兼顧價(jià)格的因素，各個賓館不同規(guī)格的房間人數(shù)安排如圖表8所示：
表8 各個賓館不同規(guī)格的房間安排的人數(shù)
租借客車需要根據(jù)每個賓館有多少人出行來決定，但由于事先不知道那些代表想去哪個會議，所以，對于，6個不同的分組會議，我們只能假設(shè)每個代表去參加每個會議的概率為1/6，所以，每個會議室的人數(shù)都大約有總?cè)藬?shù)的1/6，可以推斷：
1) 1號賓館所有人都要出行，共186，每個會議大約31人，去2號賓館62人，
去3號賓館31人，去7號賓館93人。 2) 2號賓館共167人，每個會議大約28人（為保證每人都有車，小數(shù)進(jìn)一位），
56人在本賓館開會，約112人出行，去3號賓館28人，去7號賓館84人。 3) 3號賓館共127人，每個會議大約22人（為保證每人都有車，小數(shù)進(jìn)一位），
22人在本賓館開會，約110人出行，去2號賓館約44人，去7號賓館約66人。
4) 7號賓館共163人，每個會議大約28人（為保證每人都有車，小數(shù)進(jìn)一位），
84人在本賓館開會，約84人出行，去2號賓館56人，去3賓館28人。 根據(jù)賓館的位置，代表的出行人數(shù)，路線，我們進(jìn)行了優(yōu)化分析：由于1,2號賓館的位置很近，而且去3號賓館經(jīng)過2號，所以，1號去2號賓館不安排客車；7號賓館代表去3號賓館的客車經(jīng)過2號賓館，所以7號到2號不再安排客車。具體車輛安排如表9所示：
綜上所述，可知共需要安排9輛33座客車，5輛45座客車，接送共兩趟，
（9?600?5?800）?2?18800元
花費(fèi)
5.模型的評價(jià)
優(yōu)點(diǎn)：
根據(jù)以往幾屆會議代表回執(zhí)和與會情況預(yù)測與會人數(shù)，建立線性擬合模型預(yù)測今年與會人數(shù)，得到了直線擬合和曲線擬合兩組方程，通過靈敏度分析得到了一個更加準(zhǔn)確的預(yù)測值，此模型可以推廣到化學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)數(shù)據(jù)分析，送電線路航測的GPS高程擬合等問題的解決。
本文還運(yùn)用了線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型，通過目標(biāo)函數(shù)和約束條件的綜合實(shí)現(xiàn)優(yōu)化問題。此類模型可以解決人力資源合理分配以實(shí)現(xiàn)收益最大等問題。 缺點(diǎn)：
沒有充分考慮代表的滿意程度，如果建立滿意度模型，反映出與會代表的滿意程度，則使方案更加具體合理。
參考文獻(xiàn)
[1] 百度文庫,線性擬合公式，線性擬合原理，http://wenku.baidu.com/link?url=rlkg0QNeBaCwRQhcpm4QVT4SteNmM-IyI0-JAMeKkoYTGkMm1M-xgq4F6AhP7fwNILguNzu6aTqkaANrago5vJU6Hc0apnmm7wpWJU3zItC，2015年8月11日。cxx
[2] 王西靜，會議籌備優(yōu)化模型探析，長治學(xué)院學(xué)報(bào)，第27卷，2010年10月。 [3]司守奎，孫璽菁,線性規(guī)劃，整數(shù)規(guī)劃，數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用教材，國防工業(yè)出版社，2011年8月。
附錄
附錄1 問題重述中所涉及到的附表數(shù)據(jù)
說明：表頭第一行中的數(shù)字1、2、3分別指每天每間120~160元、161~200元、201~300元三種不同價(jià)格的房間。合住是指要求兩人合住一間。獨(dú)住是指可安排單人間，或一人單獨(dú)住一個雙人間。
附錄2數(shù)據(jù)的預(yù)處理
說明：表頭第一行中的數(shù)字1、2、3分別指每天每間120~160元、161~200元、201~300元三種不同價(jià)格的房間。合住是指要求兩人合住一間。獨(dú)住是指可安排單人間，或一人單獨(dú)住一個雙人間。
由于有些要求合住的人數(shù)為奇數(shù)，在保證代表的滿意度情況下，我們將合住人多的一位轉(zhuǎn)移到獨(dú)住的相同價(jià)位的房間中。
附錄3線性擬合預(yù)測實(shí)際與會人數(shù)的求解程序
直線擬合的Matlab程序及結(jié)果如下：
曲線擬合的Matlab程序及結(jié)果如下：
附錄4運(yùn)用Lingo求解住房安排的程序及結(jié)果
Lingo程序如下：
附錄5運(yùn)用Lingo求解租借會議室安排的程序及結(jié)果
Lingo程序如下：
求解結(jié)果如下：
建模：趙子毅 寫作：公維春 編程：于沛軒
【會議籌備問題數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀】相關(guān)文章：
（優(yōu)秀）數(shù)學(xué)建模論文15篇07-09
系統(tǒng)工程的建模問題04-26
數(shù)學(xué)建模論文07-02
會議的籌備方案（精選16篇）04-07
數(shù)學(xué)建模范文03-13
數(shù)學(xué)建模論文模板01-25
數(shù)學(xué)建模論文模板07-22