空間中點線面之間的位置關(guān)系導學案

第二章 點、直線與平面的位置關(guān)系

§2.1.1 平面

【學習目標】

（1）利用生活中的實物對平面進行描述； （2）掌握平面的表示法及水平放置的直觀圖； （3）掌握平面的基本性質(zhì)及作用； （4）培養(yǎng)學生的空間想象能力。

【課前導學】閱讀教材40—43頁，完成新知學習：

1.試描述平面及畫法

2.三個公理：

公理1：文字語言： ___________________________ 符號語言： ____________________________ 圖形語言：

公理2：文字語言： ____________________________ 符號語言： ___________________________ 圖形語言：

公理3：文字語言： ____________________________ 符號語言： ____________________________ 圖形語言：

【課中導學】

（一）實物引入、揭示課題

生活中常見的如黑板、平整的操場、桌面、平靜的湖面等等，都給我們以平面的印象，你們能舉出更多例子嗎？ （二）研探新知 1、平面含義

以上實物都給我們以平面的印象，幾何里所說的平面，就是從這樣的一些物體中抽象出來的，但是，幾何里的平面是無限延展的。 2、平面的畫法及表示

在平面幾何中，怎樣畫直線？

類比，將知識遷移，得出平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成450，且橫邊畫成鄰邊的2倍長（如圖）

D C

A B

平面通常用希臘字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。

如果幾個平面畫在一起，當一個平面的一部分被另一個平面遮住時，應畫成虛線或不畫

ββ

·B

課本P41 圖 2.1-4 說明

·A 平面內(nèi)有無數(shù)個點，平面可以看成點的集合。

點A在平面α內(nèi)，記作：A∈α 點B在平面α外，記作：B ?α

2.1-4 3、平面的基本性質(zhì)

把一把直尺邊緣上的任意兩點放在桌邊，可以看到，直尺的整個邊緣就落在了桌面上，用事實歸納出以下公理

公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)，即

A∈L

A

B∈α LA∈α

B∈α·B

公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)

生活中，我們看到三腳架可以牢固地支撐照相機或測量用的平板儀等等…… 歸納出公理2

公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。 A B

·符號表示為：A、B、C三點不共線 => 有且只有一個平面 C ·

·

使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2作用：確定一個平面的依據(jù)。

公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)

§2.1.2 空間中

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直線與直線之間的位置關(guān)系

【學習目標】

（1）了解空間中兩條直線的位置關(guān)系；

（2）理解異面直線的概念、畫法，培養(yǎng)學生的空間想象能力； （3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角定理；

（5）異面直線所成角的定義、范圍及應用。

【課前導學】閱讀教材44—47頁，完成新知學習：

1.用文字語言敘述異面直線的概念

2. 用圖形表示兩條異面直線

3.空間兩條直線的位置關(guān)系有哪三種？

4. 用文字語言敘述公理4

5.用符號語言敘述公理4，并畫出相應圖形

6.用文字語言敘述等角定理：

7.用數(shù)學符號敘述等角定理：

【課中導學】

1、由長方體模型，可以得出得出空間的兩條直線有如下三種關(guān)系： 相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點； 共面直線

平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；

異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。

由異面直線不共面的特點，作圖時通常用一個或兩個平面襯托，如下圖：

2、（1）在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行。在空間中，是否有類似的規(guī)律？

公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。 符號表示為：設a、b、c是三條直線

a∥b =>a∥c c∥b

強調(diào)：（1）公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。

（2）公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。 3.等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。 強調(diào)：并非所有關(guān)于平面圖形的結(jié)論都可以推廣到空間中來。 4、異面直線所成的角的概念：

（1）如圖，已知異面直線a、b，經(jīng)過空間中任一點O作直線a'∥a、b'∥b，我們把a'與b'所成的銳角（或直角）叫異面直線a與b所成的角（夾角）。

（2）強調(diào)：

① a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與O的選擇無關(guān)，為了簡便，點O一般取在兩直線中的一條上； ?② 兩條異面直線所成的角θ∈2， )；

③ 當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b；

④ 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

⑤ 計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。

§2.1.3 — 2.1.4 空間中直線與平面、 平面與平面之間的位置關(guān)系

【學習目標】

（1）了解空間中直線與平面的位置關(guān)系； （2）了解空間中平面與平面的位置關(guān)系； （3）培養(yǎng)學生的空間想象能力。

【課前導學】閱讀教材48—50頁，完成新知學習：

1. 直線與平面平行的概念：

2. 空間中直線與平面之間的位置關(guān)系有那三種？以公共點個數(shù)如何劃分？ 分別用圖形和符號表示它們。

3.平面與平面之間的位置關(guān)系有哪幾種？以交線怎樣劃分？分別用圖形和符號表示它們。

【課中導學】

1、觀察、思考身邊的實物，從而直觀、準確地歸納出直線與平面有三種位置關(guān)系：

（1）直線在平面內(nèi) —— 有無數(shù)個公共點

（2）直線與平面相交 —— 有且只有一個公共點 （3）直線在平面平行 —— 沒有公共點

強調(diào)：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a α來表示

a α a∩α=A a∥α

完成例4

例4的給出加深了學生對這幾種位置關(guān)系的理解。

2、對生活實例以及對長方體模型的觀察、思考，準確歸納出兩個平面之間有兩種位置關(guān)系：

（1）兩個平面平行 —— 沒有公共點

（2）兩個平面相交 —— 有且只有一條公共直線

用類比的方法，很快地理解與掌握了新內(nèi)容，這兩種位置關(guān)系用圖形表示為：

Lα βα∥β α∩β= L

強調(diào)：畫兩個相互平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應邊

平行。

完成教材P51 探究，加深對這兩種位置關(guān)系的理解

§2.1.1 平面

A組

1．下列圖形不一定是平面圖形的是( ) A．三角形 B．梯形 C．四邊形 D．菱形

2．如圖所示，用符號語言可表示為( )

A．α∩β＝m，n?α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C．α∩β＝m，n?α，A?m，A?n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n 3．平面α∩平面β＝l，點A∈α，點B∈α，點C∈β，點C?l，又AB∩l＝R．設A，B，C三點確定的平面為γ，則β∩γ是( )

A．直線AC B．直線BC C．直線CR D．以上均錯

4．已知點A，直線a，平面α，①A∈a，a?α?A?α；②A∈a，a∈α?A∈α；③A?a，a?α?A?α；④A∈a，a?α?A?α．

以上命題表達正確的個數(shù)是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知α，β為平面，A，B，M，N為點，a為直線，下列推理錯誤的是( ) A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?β

B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MN C．A∈α，A∈β?α∩β＝A D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共線?α，β重合 6．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c ＝C，則直線a，b，c，l的位置關(guān)系是__________．

B組

1．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為DB的中點，直線A1C交平面C1BD于點M，則點C1，M，O的關(guān)系是________．

2．給出下列四個命題：

①空間四點共面，則其中必有三點共線；

②空間四點中有三點共線，則此四點必共面； ③空間四點中任何三點不共線，則此四點不共面； ④空間四點不共面，則任意三點不共線． 其中正確命題的序號是________．

3．根據(jù)下列條件畫出圖形：平面α∩平面β＝AB，直線CD?α，CD∥AB，E∈CD，直線EF∩β＝F，F(xiàn)?AB．

4．定線段AB所在的直線與定平面α相交，P為直線AB外任一點，且P?α，

直線AP，PB分別與α交于A′，B′，求證：無論P在什么位置，A′B′恒過一定點．

§2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

A組

1．分別和兩條異面直線都相交的兩條直線一定( )

A．異面 B．相交 C．不相交 D．不平行

2．已知空間四邊形的兩條對角線互相垂直，那么順次連接空間四邊形各邊中點所得的四邊形是( )

A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．平行四邊形

3．已知異面直線a與b滿足a?α，b?β，且α∩β＝c，則c與a，b的位置關(guān)系一定是( )

A．c與a，b都相交

B．c至少與a，b中的一條相交 C．c至多與a，b中的一條相交

D．c至少與a，b中的一條平行

4．有兩個三角形不在同一平面內(nèi)，它們的邊兩兩對應平行，那么這兩個三角形( )

A．全等 B．相似 C．有一個角相等 D．無法判斷

5．如圖所示，為一正方體的平面展開圖，在這個正方體中，

①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線； ③CN與BM成60°角；④DM與BE垂直． 以上4個命題中，正確命題的序號是( )

A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④

6．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，與棱AA1垂直且異面的棱有________．

B組

1．已知a，b為不垂直的異面直線，α是一個平面，則a，b在α上的射影有可能是：

①兩條平行直線；②兩條互相垂直的直線；③同一條直線；④一條直線及其外一點．

在上面結(jié)論中，正確結(jié)論的編號是________(寫出所有正確結(jié)論的編號)． 2．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點，則異面直線EF與B1D1所成的角為________．

3．已知正方體ABCD－A1B1C1D1，E，F(xiàn)分別為AA1，CC1的中點．求證：BFED1．

4．如圖所示，空間四邊形ABCD的對角線AC＝8，BD＝6，M，N分別為AB，CD的中點，MN＝5，求異面直線AC與BD所成的角．

§2.1.3 — 2.1.4 空間中直線與平面、 平面與平面之間的位置關(guān)系

A組

1．平面外一條直線上有兩點到平面的距離相等，則這條直線與平面的位置關(guān)系是( )

A．平行 B．相交

C．相交或平行 D．以上均不正確

2．對于任意的直線l與平面α，在平面α內(nèi)必有直線m，使m與l( ) A．平行 B．相交

C．垂直 D．互為異面直線 3．已知下列命題：

①若直線l平行于α內(nèi)的無數(shù)條直線，則l∥α；

②若直線a在平面α外，則a∥α； ③若直線a∥b，直線b?α，則a∥α；

④若直線a∥b，b?α，則直線a平行于α內(nèi)的無數(shù)條直線． 其中正確的個數(shù)為( ) A．1 B．2 C．3 D．4

4．若直線l不平行于平面α，且l?α，則( ) A．α內(nèi)的所有直線與l異面

B．α內(nèi)不存在與l平行的直線 C．α內(nèi)存在惟一的直線與l平行 D．α內(nèi)的直線與l都相交

5．與兩個相交平面的交線平行的直線和這兩個平面的位置關(guān)系是( ) A．都平行

B．都相交

C．在兩個平面內(nèi)

D．至少和其中一個平行

6．在下列四個命題中，是真命題的有( )

①若a?α，b?α，a∥β，b∥β，則α∥β；②若對任一直線，a?α，均有a∥β，則α∥β；③a?α，a∩β＝A，則α與β不平行；④a?α，α∩β＝l，則a與β不平行．

A．1個 B．2個

C．3個 D．4個

A組

1．兩平面α與β平行，a?α，下列四個命題：

①a與β內(nèi)的所有直線平行；②a與β內(nèi)的無數(shù)條直線平行；③a與β內(nèi)的任何一條直線都不垂直；④a與β無公共點．

其中是真命題的有__________．(填序號)

2．過平面外一點，能作出__________條直線和此平面平行．

3．已知直線a，b，若a∥b，則過a且與b平行的平面有________個．

4．如圖，平面α，β，γ滿足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判斷a與b，a與β的關(guān)系并證明你的結(jié)論．

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